1、 高二数学下册 期中考试 题 数学 第 卷 （选择题 共 60分） 一、 选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 . （ 1）一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是 （ ） A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交 （ 2）如果 a 、 b 是异面直线，那么过直线 a 且与 b 平行的平面 （ ） A.不存在 B.有且只有一个 C.有两个 D.有无数个 （ 3） 已知 )1,1,1(A ， )4,0,1(B ， )3,2,2( C ，则 CAAB, 的大小为 （ ） A. 61 B. 65
2、C. 31 D. 32 （ 4） 已知 ABC 的三个顶点 )2,3,3(A ， )7,3,4( B ， )1,5,0(C ，则边 BC 上的中线长为 （ ） A.2 B.3 C.4 D.5 （ 5）已知点 P 是两条异面直线 a ， b 外一点，则过 P 点且与 a ， b 都平行的平面的个数为 （ ） A.0 B.1 C.0 或 1 D.2 （ 6）设 ,mn是两条不同的直线， , 是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 m ， n/ ，则 nm ； 若 / ， / ， m ，则 m ； 若 m/ ， n/ ，则 mn/ ； 若 ， ，则 /. 其中正确命题的序号是 （ ） A.和 B.
3、和 C.和 D.和 （ 7）若长方体的三个面的对角线长分别是 ,abc，则长方体体对角线长为 （ ） A. 2 2 2abc B. 2 2 212 abc C. 2 2 222 abc D. 2 2 232 abc （ 8） 在四面体 ABCD 中，已知棱 AC 的长为 2 ，其余各棱长都为 1，则二面角 w.w.w.k.s.5.u.c. o.m CBDA 的余弦值为 （ ） A.31 B. 31 C. 33 D. 23 （ 9）在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 ，底面是边长为 2 的正方形，高为 4 ，则点 1A 到截面 11ABDM 1A A C D B 1B 1D 1
4、C 的距离为 （ ） A.83 B.38 C.43 D.34 （ 10）一个正方体的体积是 8，则这个正方体的内切球的表面积是 （ ） w.w.w.k.s.5.u.c. o.m A.8 B.6 C.4 D. （ 11 ） 如 图 ， 在 平 行 六 面 体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， M 为 1 1 1 1AC BD与 的 交 点 . 若,aAB , bAD cAA1 ，则下列向量中与 DM 相等的向量是 （ ） A. cba 2121 B. cba 2121 C. cba 2121 D. cba 2121 （ 12）地球半径为 R ，在北纬 30圈上， A 点经度为东经 1
5、20， B 点的经度为西经 60，则 A 、B 两点的球面距离为 （ ） A. R3 B. R23 C. R21 D R32 第 卷 （非选择题 共 90 分） 二 .填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 .把答案填在题中横线上 . （ 13）空间四边形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点，若,aBDAC 且 AC 与 BD 所成的角为 60o，则四边形 EFGH 的面积是 （ 14） 正方形的面积与其水平放置的直观图的面积的比为 . (15) 平行六面体 1111 DCBAAB C D 中，向量 AB ， AD ， 1
6、AA 两两夹角均为 60，且,3|,2|,1| 1 AAADAB 则 | 1AC . (16) 设 a ， b 是平面 外的两条直线，给出下列四个命题： 若 ba/ ， /a ，则 /b ； w.w.w.k.s.5.u. c.o. m 若 /a ， /b ，则 ba/ ； 若 ba/ ， b 与 相交，则 a 与 也相交； 若 a 与 b 异面， /a ，则 /b 其中正确命题的序号是 _ 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 . （ 17）（本小题满分 10 分） 得分 评卷人 得分 评卷人 已知 ),2,5,1(),5,2,3( ba 求：
7、.,6,|,| baababaa w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m （ 18）（本小题满分 12 分） 在三棱锥 ABCS 中， 90 A CBS A CS A B ， ,2AC ,4BC 24SB . w.w.w.k.s.5. u.c. o. m （ ）证明： SC BC ； （ ） 求二面角 A BC S的大小 . 得分 评卷人 S A B C （ 19）（本小题满分 12 分） 在四面体 ABCD 中， CDCB ， AD BD ，且 E ， F 分别是 AB ， BD 的中点， （ ）求证直线 EF 平面 ACD ； （ ）求证平面 EFC 平面 BCD . w.w.w.k
8、.s.5. u.c. o. m （ 20）（本小题满分 12 分） 如图所示， AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上一点， PA 平面 ABC ，若 AE PC ， E 为垂足， F 为 PB 上任意一点 . 求证：平面 AEF 平面 PBC . w.w.w.k.s.5. u.c. o.m P 得分 评卷人 得分 评卷人 A B C E F O D EFC AB（ 21）（本小题满分 12 分） 已知四边形 ABCD 为直角梯形， AD BC ， ABC =90, PA 平面 ABCD ，且.2,1 BCABADPA w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( )求 PC 的长； ( )求异
9、面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值的大小 . （ 22）（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，底面 ABCD 为直角梯形，且/AB CD ， 90BAD， 2PA AD D C , 4AB . w.w.w.k.s.5. u.c. o. m （ ）求证： BC PC ； （ ）求 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值； （ ）求点 A 到平面 PBC 的距离 . 得分 评卷人 得分 评卷人 D CBAPP A B C D 甘谷四中 2008 2009 学年度第二学期期中考试高二数学评分参考 一、 选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60
10、 分 . (1)B (2)B (3)D (4)B (5)C (6)A (7)C (8)B (9)C (10)C (11)D (12)D 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . （ 13） 283a ； （ 14） 22：； （ 15） 5； （ 16） . 三、解答题： (17) （本小题满分 10 分） w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m 解： ,3852)3(| 222 a 2 分 ),3,7,2( ba 4 分 ),7,3,4( ba 6 分 ),30,12,18(6 a 8 分 .310103 ba 10 分 (18) （本小题满分 12 分） 证明：（
11、） , ,S A A B S A A C且 ,A B A C A S A 平面 ABC . AC 为 SC 在平面 ABC 内的射影 . 又 AC BC , BC SC . 6 分 （ ） 由（ ） BC SC ，又 BC AC ， SCA 为所求二面角的平面角 . 又 SB = ,24 BC =4, w.w.w.k.s.5.u. c.o. m SC =4 . AC =2 , SCA =60. 即二面角 A BC S大小为 60. 12 分 注：也可用向量做，可按以上规则给分 . (19) （本小题满分 12 分） 证明：（ ） E， F 分别为 AB， BD 的中点 EF AD , w.w.
12、w.k.s.5. u.c.o. m E F A DA D A C D E F A C DE F A C D 面 面面 6 分（ II）E F A DE F B DA D B DC D C BC F B D B D E F CF B DE F C F F 面为 的 中 点，又 BD BCD面 ， EFC D面 面 BC 12 分 注：也可用向量做，可按以上规则给分 . (20) （本小题满分 12 分） 证明： C 是以 AB 为直径的圆 O 的圆周上一点， w.w.w.k.s.5. u.c. o.m BC AC 又 PA 平面 ABC， BC 平面 ABC BC PA BC 平面 PAC 6
13、分 又 AE 平面 PAC BC AE 又 AE PC， BCPC=C AE 平面 PBC 又 AE 平面 AEF 平面 AEF 平面 PBC 12 分 (21) （本小题满分 12 分） 解： ( )因为 PA 平面 AC， AB BC, PB BC,即 PBC=90,由勾股定理 PB= 222 ABPA . PC= 622 PCPB . 6 分 ( )如图，过点 C 作 CE BD 交 AD 的延长线于 E，连结 PE，则 PC 与 BD 所成的角为 PCE或它 的补角 . CE=BD= 2 ，且 PE= 1022 AEPA 由余弦定理得 cosPCE= 632 222 CEPC PECE
14、PC PC 与 BD 所成角的余弦值为 63 . 12 分 (22) （本小题满分 12 分） 方法一： （ ）证明：在直角梯形 ABCD 中， /AB CD ， 90BAD， 2AD DC 90ADC ，且 22AC . 取 AB 的中点 E ，连结 CE ， 由题意可知，四边形 AECD 为正方形，所以 2AE CE， 又 1 22BE AB，所以 12CE AB ， 则 ABC 为等腰直角三角形， 所以 AC BC ， 又因为 PA 平面 ABCD ，且 AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影， BC 平面 ABCD ，由三垂线定理得， BC PC 4 分 ( )由 ( )可知， B
15、C PC ， BC AC ， PC AC C ，所以 BC 平面 PAC ， PC 是 PB 在平面 PAC 内的射影，所以 CPB 是 PB 与平面 PAC 所成的角， 6 分 又 22CB ， 2 2 2 20P B P A A B ， 25PB ， 10sin 5CPB ，即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦为 105 8 分 (III)由 (II)可知， BC 平面 PAC ， BC 平面 PBC ， 所以平面 PBC 平面 PAC ， 过 A 点在平面 PAC 内作 AF PC 于 F ，所以 AF 平面 PBC ， 则 AF 的长即为点 A 到平面 PBC 的距离， 在直角三角形
16、 PAC 中， 2PA ， 22AC ， 23PC ， 所以 263AF 即点 A 到平面 PBC 的距离为 263 12 分 方法 2 AP 平面 ABCD ， 90BAD 以 A 为原点， AD、 AB、 AP 分别为 x、 y、 z 轴，建立空间直角坐标系 1 分 2PA AD D C ， 4AB . B (0,4,0), D (2,0 ,0) , C (2,2,0) , P ( 0,0,2) 2 分 （ I） ( 2 , 2 , 0 ) , ( 2 , 2 , 2 )B C P C 0BC PC BC PC , 即 BC PC 4 分 (II) ( 0 , 0 , 2 ) , ( 2
17、, 2 , 0 )A P A C设面 APC 法向量 ( , , )x y zn 00APAC nn 0,2 2 0zxy 设 1, 1xy ( 1,1,0)n (0,4, 2)PB c o s ,| | |PBPB PB nn n|= 105 即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为 105 8 分 (III)由 ( 0 , 4 , 2 ) , ( 2 , 2 , 2 )P B P C 设面 PBC 法向量 ( , , )abcm 00PBPC mm 4 2 0,2 2 2 0bca b c 设 1, 2, 1a c b (1,1,2)m 点 A 到平面 PBC 的距离为 |ABd m|m|= 263 点 A 到平面 PBC 的距离为 263 12 分
