1、 高二数学下册 期 末考 试 试卷 高二数学（理科）试卷 考试时间： 120分钟 满分： 150分 一、选择题：（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求）。 1 已知 a、 b 表示两条不同的直线， , 表示两个不同的平面，则下列命题正确的是 ( ) A若 baba /,/,/,/ 则 B若 /,/, 则baba C 若 , ba 则 ba D若 , ，ba ,则 ba 2. 12 )12(31lim 2 nn nn ( ) A. 21 B.2 C.23 D. 32 3 过曲线 3 2y x x 上的点 PO 的切线平行于直线 y =
2、 4x 1，则切点 PO 的坐标为（ ） A (0， 1)或 (1， 0) B （ 1， 0）或（ 1， 4） C（ 1， 4）或（ 0， 2） D（ 1， 0）或（ 2， 8） 4. 函数 lny x x m的单调递增区间是 A 1(0, )e B (,0)e C 1( , )e D 1( , )ee 5. 设 )(xf 在 R 上是以 5 为周期的可导偶函数，则曲线 5)( xxfy 在 处的切线的斜率为( ) A 51 B 0 C 51 D 5 6 在 2009 年“两会”记者招待会上，主持人要从 5 名国内记者与 4 名国外记者中选 出 3 名进行提问，要求 3 人中既有国内记者又国外
3、记者，且国内记者不能连续提问，则不同的提问方式有 （ ） A 420 种 B 260 种 C 180 种 D 80 种 7. 已知函数 1)6()( 23 xaaxxxf 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. 21 a B. 63 a C. 63 aa 或 D. 21 aa 或 8. 某学校在一次数学基础测试统计中 ,所有学生成绩服从正态分布 (100, 4)N （单位：分），现任选一名学生 ,该生成绩在 96 分到 104 分内的概率是 ( ) A (2) ( 2)FF B 1 (2) C 2 (2) 1 D 2 (1) 1 9 已知函数 )(xfy 的图象如右图所示，在
4、下列四个图象中，函数 )()( xfxfy 的大致图象为（ ） 10. 若函数 f (x) = x2pxp在 (1， + )上是增函数，则实数 p 的取值范围是（ ） A ),1 B ),1 C 1,( D 1,( 11 如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB=2DC=2, DAB=600,E 为 AB 的中点。将 ADE 与 BEC 分别沿 ED、 EC 向上折起，使 A、 B 重合于点 P，则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为（ ） A. 2734 B. 26 C. 246 D. 86 12.若不等式2229tta ，在 (0,2t 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A 1 ,16
5、B 2 ,113 C 14 , 613 D 1 ,2 26 二填空题： (本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。请把答案填写在题中横线上 ). 13 设函数)0()0(11)(2 xxaxx xxf ，要使 )(xf 在（ -， +）内连续，则 a = .14 将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为 cb, ，则方程 02 cbxx 有实根的概率为 .（结果用分数表示） 15已知 ()fx是函数 ( ) sin cosf x x x的导函数， 1( ) ( )f x f x记 ， 21( ) ( )f x f x ， ，1 ( ) ( )( * )nnf x f x n N ，
6、则 1 2 2 0 0 9( ) ( ) ( )4 4 4f f f = . 16设 OA 是球 O 的半径， M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 045 角的平面截球 O 的表面得到圆 C ，若圆 C 的面积等于 74 ，则球 O 的表 面积等于 . D A B C E 班级姓名学号装订线玉山一中 2008 2009学年度第二学期期 末考 试 高二数学（理科）答题卷 一 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 二填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13 14 15 16 三解答题： (本大题共 6 小题，共 74 分。解答应该写出文字说
7、明，证明过程或演算步骤 )。 17 (12 分 )如图： 已知 a 为实数，函数 2 3( ) ( )( )2f x x x a （ 1） 若函数 ()fx 的图象上有与 x 轴平行的切线，求 a 的取值范围； （ 2） 若 ( 1) 0f ， 求函数 ()fx 的单调区间； 座位号 题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 21 22 得分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 18. (12 分 )2008 年中国北京奥运会吉祥物由 5 个 “中国福娃 ”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。现有 8 个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量
8、如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量 1 2 3 1 1 从中随机地选取 5 只。 （ 1）求选取的 5 只恰好组成完整 “奥运吉祥物 ”的概率； (结果用分数表示 ) （ 2）若完整地选取奥运会吉祥物记 100 分；若选出的 5 只中仅差一种记 80 分；差两种记60 分；以此类推。设 表示所得的分数，求 的分布列和期望值。 19 (12 分 )如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是正方形， PD 面 ABCD （ 1）证明：平面 PAC 平面 PBD ； （ 2）设 2PC BC E 为 PB 的中点，求二面角 A ED B的大小 20. (12 分 )设函数
9、321( ) 2 (3f x x x ax a R)在其图象上一点 A(2, )m 处切线的斜率为 -1. （ 1） 求函数 f(x)的解析式； （ 2） 求函数 f(x)在区间 (b-1, b)内的极值 . 21. (12 分 ) 已知数列 na 满足条件 1( 1) ( 1)( 1)nnn a n a 且 2 6a 。 设 ( *).nnb a n n N (1) 求数列 nb 的通项公式； (2) 求231 1 1lim ( )2 2 2n nb b b 的值。 22（ 14 分）已知函数 2( ) ln( )f x x a x x 在 0 处取得极值。 （ 1）求实数 a 的值； （
10、2）若关于 x 的方程 5()2f x x b 在区间 0,2 上恰有两个不同的实数根，求实数 b 的取值范围 （ 3）证明：对任意的正整数 n，不等式211lnnn都成立。 玉山一中 2008 2009 学年度第二学期期 末 测试 高二（理科）数学参考答案 一选择题： 1-12 CABCB BCCDA DB 二填空题： 13 12 14. 1936 15. 0 16. 8 三解答题： 17 解： (1) 32 33()22f x x ax x a ， 2 3( ) 3 22f x x ax 函数 ()fx 的图象上有与 x 轴平行 的切线 ， ( ) 0fx 有实数解 2 34 4 3 02
11、aD ， 2 92a所求 a 的取值范围是 3 2 3 2( , ) ( , )22 (2) ( 1) 0f ， 33 2 02a 即 94a. 2 31( ) 3 2 3 ( ) ( 1 )22f x x a x x x 由 ( ) 0fx ，得 1x 或 12x； 由 ( ) 0fx ，得 112x 因此，函数 ()fx 的单调增区间为 ( , 1 ， 1 , )2 ；单调减区间为 1 1, 2 18 解：（ 1）选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率 .28356658 1312 C CCP 4 分 （ 2） 的 取 值 为 100,80,60,40 1123583( 100 )
12、 ;28CCPC 2 2 1 1 2 3 2 23 2 3 2 3 3 2 358( ) ( ) 31( 8 0 ) ;56C C C C C C C CP C 1 2 2 1 3 2 33 2 3 2 3 3 358() 1 8 9( 6 0 ) ;5 6 2 8C C C C C C CP C .561)40( 583322 C CCP 的分布列为 100 80 60 40 P 283 5631 289 561 .7556402854056248028300 E 19 (1)证明： PD 面 ABCD ， AC 面 ABCD ， PD AC 又底面 ABCD 是正方形， BD AC 又 P
13、D BD D ， AC 面 PBD ， 又 AC 面 PAC ， 平面 PAC 平面 PBD (2)设 1BC ，则 2PC ， 在 t PDCR 中， 2 1 1PD . 设 AC BD O ，连接 OE ，过 O 作 OF DE 于 F ， 连结 AF ，由（）知 AO 面 BDE . AF 在面 BDE 上的射影为 OF ， AF DE 故 AFO 为二面角 A ED B的平面角 . 在 t DOER 中， 22DO ， 1322DE PB， 1122OE DP 66D O O EOF DE， tan 3AOAFO OF . 60AFO .即二面角 A ED B的大小为 60 20. （
14、 1）解：函数 ()fx的导数 2( ) 4f x x x a , 由题意，得 (2) 4 1fa , 所以 3a , 故 321( ) 2 33f x x x x ； （ 2）解：由（ ）知 2( ) 4 3f x x x ,由 2( ) 4 3 0f x x x , 得 x=1, 或 x=3. x 变化时， ( ), ( )f x f x 的变化如情况下表： 所以，当 b 1 或 13b 时，函数 ()fx无极值； 当 b-11 时，函数 ()fx在 x=1 时，有极大值 43 ，此时函数无极小值； 当 b-13 时，函数 ()fx在 x=3 时，有极小值 0，此时函数无极大值； 当 b
15、11，且 3b 时，函数 ()fx无极值 . x ( ,1) 1 (1,3) 3 (3, ) ()fx 0 - 0 + ()fx Z 极大值 43 极小值 0 Z 故 01 当 ( ,1 2 , 3 4 , )b 时，函数 ()fx无极值； 02 当 (1,2)b 时，函数 ()fx在 x=1 时，有极大值 43 ，此时函数无极 小值； 03 当 (3,4)b 时，函数 ()fx在 x=3 时，有极小值 0，此时函数无极大值 . 21. 解 ：（ 1） 2 3 21 1 , 6 2 3 ( 1 ) 1 5nn a a n a a 当 时 ， 且 ； 当 ， 4 3 43 , 2 4 ( 1 )
16、 2 8 2 , 2 8 .n a a a 当 时 2 1 3 2 4 35 , 9 , 1 3 ,a a a a a a 由 猜想 1 41nna a n 从而 1 1 1 2 3 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n na a a a a a a a a a = 4 3 4 7 9 5 1 2 1n n n n 22na n n 下面用数学归纳法证明： （ 1） 当 1,2,3,4n 时，等式 22na n n已成立。 （ 2） 假设当 2( 2 ) 2kn k k a k k 时 ， ， 211 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) , ( 2 1 ) ( 1 ) (
17、 2 1 )k k k kkk a k a a k k k k 则 由 由 )12)(1( kk )1()1(2132 22 kkkk 即 212nn k a n n 时 ， 等 式也成立， 因此对任何 2*, 2nn N a n n 成立。 所以 22nnb a n n （ 2） 22 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 )nb n n n 1 1 1 1()2 4 1 1nb n n 231 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1l im ( ) l im ( 1 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 4 3 5 1 1nn nb b b n n 1 3 1 1 3l i
18、 m ( ) 4 2 1 8n nn 22 解：（ 1） 1( ) 2 1f x xxa ， 0x 时， ()fx取得极值， (0) 0f ， 故 1 2 0 1 00 a ，解得 1a 。经检验 1a 符合题意。 （ 2）由 1a 知 2( ) ln( 1)f x x x x ，由 5()2f x x b ， 得 2 3ln ( 1) 02x x x b 。令 2 3( ) ln( 1)2x x x x b ， 则 5()2f x x b 在 0,2 上恰有两个不同的实数根， 等价于 ( ) 0x 在 0,2 上恰有两个不同实数根。 1 3 ( 4 5 ) ( 1 )( ) 21 2 2 (
19、 1 )xxxxxx ， 当 (0,1)x 时， ( ) 0x ，于是 ()x 在 0,1 上单调递增； 当 (1,2)x 时， ( ) 0x ，于是 ()x 在 1,2 上单调递减； 依题意有( 0 ) 0 ,3(1) ln (1 1) 1 0 ,2( 2 ) ln (1 2 ) 4 3 0 .bbb 1ln 3 1 ln 2 2b 。 （ 3） 2( ) ln( 1)f x x x x 的定义域为 | 1xx 。 由（ 1）知 (2 3)( ) 1xxfx x 。令 ( ) 0fx 时， 0x 或 32x （舍去）， 当 10x 时， ( ) 0fx ， ()fx单调递增； 当 0x 时， ( ) 0fx ， ()fx单调递减。 (0)f 为 ()fx在 ( 1, ) 上的最大值。 ( ) (0)f x f ，故 2ln( 1) 0x x x （当且仅当 0x 时，等号成立）。 对任意正整数 n ，取 1 0x n得，21 1 1ln( 1)n n n ，故211lnnn。
