1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学理一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5 分)已知 i 是虚数单位，则(-1+i)(2-i)=( )A.-3+iB.-1+3iC.-3+3iD.-1+i解析：(-1+i)(2-i)=-2+i+2i+1=-1+3i，答案：B.2.(5 分)设集合 S=x|x-2，T=x|x 2+3x-40，则(C RS)T=( )A.(-2，1B.(-，-4C.(-，1D.1，+)解析：集合 S=x|x-2，C RS=x|x-2，由 x2+3x-40 得：T=x|-4x1，
2、故(C RS)T=x|x1.答案：C.3.(5 分)已知 x，y 为正实数，则( )A.2lgx+lgy=2lgx+2lgyB.2lg(x+y)=2lgx2lgyC.2lgxlgy=2lgx+2lgyD.2lg(xy)=2lgx2lgy解析：因为 as+t=asat，lg(xy)=lgx+lgy(x，y 为正实数)，所以 2lg(xy)=2lgx+lgy=2lgx2lgy，满足上述两个公式.答案：D.4.(5 分)已知函数 f(x)=Acos(x+)(A0，0，R)，则“f(x)是奇函数”是“= ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：若 =
3、 ，则 f(x)=Acos(x+ ) f(x)=-Asin(x)(A0，0，xR)是奇函数；若 f(x)是奇函数 f(0)=0，f(0)=Acos(0+)=Acos=0.=k+ ，kZ，不一定有 = ， “f(x)是奇函数”是“= ”必要不充分条件.答案：B.5.(5 分)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则( )A.a=4B.a=5C.a=6D.a=7解析：由已知可得该程序的功能是计算并输出 S=1+ + =1+1- =2- .若该程序运行后输出的值是 ，则 2- = .a=4，答案：A.6.(5 分)已知 ，则 tan2=( )A.B.C.D.解析： ，又 sin2+cos
4、2=1，联立解得 ，或 ，故 tan= = ，或 tan=3，代入可得 tan2= = =- ，或 tan2= = = .答案：C7.(5 分)设ABC，P 0是边 AB 上一定点，满足 ，且对于边 AB 上任一点 P，恒有则( )A.ABC=90B.BAC=90C.AB=ACD.AC=BC解析：以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，设 AB=4，C(a，b)，P(x，0)，则 BP0=1，A(-2，0)，B(2，0)，P 0(1，0)， =(1，0)， =(2-x，0)， =(a-x，b)， =(a-1，b)，恒有 ，(2-x)(a-x)a-1 恒成立，
5、整理可得 x2-(a+2)x+a+10恒成立，令 f(x)=x2-(a+2)x+a+1，当 a+2-2，必有 f(-2)0，无解；当 a+22，必有 f(2)0，无解；当-2a+22，必有=(a+2) 2-4(a+1)0，即=a 20，a=0，即 C 在 AB 的垂直平分线上，AC=BC，故ABC 为等腰三角形.答案：D8.(5 分)已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1，2)，则( )A.当 k=1 时，f(x)在 x=1 处取得极小值B.当 k=1 时，f(x)在 x=1 处取得极大值C.当 k=2 时，f(x)在 x=1 处取得极小值D.当 k=2
6、 时，f(x)在 x=1 处取得极大值解析：当 k=1 时，函数 f(x)=(ex-1)(x-1).求导函数可得 f(x)=ex(x-1)+(ex-1)=(xex-1)，f(1)=e-10，f(2)=2e 2-10，则 f(x)在在 x=1 处与在 x=2 处均取不到极值，当 k=2 时，函数 f(x)=(ex-1)(x-1)2.求导函数可得 f(x)=ex(x-1)2+2(ex-1)(x-1)=(x-1)(xex+ex-2)，当 x=1，f(x)=0，且当 x1 时，f(x)0，当 x0x1 时(x 0为极大值点)，f(x)0，故函数 f(x)在(1，+)上是增函数；在(x 0，1)上是减函
7、数，从而函数 f(x)在 x=1 取得极小值.对照选项.答案：C.9.(5 分)如图 F1、F 2是椭圆 C1： +y2=1 与双曲线 C2的公共焦点 A、B 分别是 C1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是( )A.B.C.D.解析：设|AF 1|=x，|AF 2|=y，点 A 为椭圆 C1： +y2=1 上的点，2a=4，b=1，c= ；|AF 1|+|AF2|=2a=4，即 x+y=4；又四边形 AF1BF2为矩形， + = ，即 x2+y2=(2c)2= =12，由得： ，解得 x=2- ，y=2+ ，设双曲线 C2的实轴长为 2a，焦距为2
8、c，则 2m=|AF2|-|AF1|=y-x=2 ，2n=2 =2 ，双曲线 C2的离心率 e= = = .答案：D.10.(5 分)在空间中，过点 A 作平面 的垂线，垂足为 B，记 B=f (A).设 ， 是两个不同的平面，对空间任意一点 P，Q 1=f f (P)，Q 2=f f (P)，恒有 PQ1=PQ2，则( )A.平面 与平面 垂直B.平面 与平面 所成的(锐)二面角为 45C.平面 与平面 平行D.平面 与平面 所成的(锐)二面角为 60解析：设 P1=f (P)，则根据题意，得点 P1是过点 P 作平面 垂线的垂足，Q 1=f f (P)=f (P1)，点 Q1是过点 P1作
9、平面 垂线的垂足，同理，若 P2=f (P)，得点 P2是过点 P 作平面 垂线的垂足，因此 Q2=f f (P)表示点 Q2是过点 P2作平面 垂线的垂足，对任意的点 P，恒有 PQ1=PQ2，点 Q1与 Q2重合于同一点，由此可得，四边形 PP1Q1P2为矩形，且P 1Q1P2是二面角 -l- 的平面角，P 1Q1P2是直角，平面 与平面 垂直.答案：A二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分.11.(4 分)设二项式 的展开式中常数项为 A，则 A= .解析：二项式 的展开式的通项公式为 T r+1= (-1)r =(-1)r .令 =0，解得 r=3，故展开式的常数
10、项为- =-10，答案：-10.12.(4 分)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于 cm 3.解析：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，侧面的高为 5，被截取的棱锥的高为 3.如图：V 棱柱 = =16(cm3).故答案为：1613.(4 分)设 z=kx+y，其中实数 x，y 满足 ，若 z 的最大值为 12，则实数k= .解析：可行域如图：由 得：A(4，4)，同样地，得 B(0，2)，当 k- 时，目标函数 z=kx+y 在 x=4，y=4 时取最大值，即直线 z=kx+y 在 y 轴上的截距 z 最大，此时，12=4
11、k+4，故 k=2.当 k 时，目标函数 z=kx+y 在 x=0，y=2 时取最大值，即直线 z=kx+y 在 y 轴上的截距 z 最大，此时，12=0k+2，故 k 不存在.综上，k=2.答案：2.14.(4 分)将 A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且 A，B 均在 C 的同侧，则不同的排法共有 种(用数字作答)解析：按 C 的位置分类，在左 1，左 2，左 3，或者在右 1，右 2，右 3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以 2 即可.当 C 在左边第 1 个位置时，有 A ，当 C 在左边第 2 个位置时 A A ，当 C 在左边第 3 个位置时，有 A A +A A
12、 ，共为 240 种，乘以 2，得 480.则不同的排法共有 480 种.答案：480.15.(4 分)设 F 为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，过点 P(-1，0)的直线 l 交抛物线 C 于两点A，B，点 Q 为线段 AB 的中点，若|FQ|=2，则直线 l 的斜率等于 .解析：由题意设直线 l 的方程为 my=x+1，联立 得到 y2-4my+4=0，=16m 2-16=16(m2-1)0.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，Q(x 0，y 0).y 1+y2=4m， =2m，x 0=my0-1=2m2-1.Q(2m 2-1，2m)，由抛物线 C：y 2=4x 得焦点 F(1
13、，0).|QF|=2， ，化为 m2=1，解得 m=1，不满足0.故满足条件的直线 l 不存在.答案：不存在.16.(4 分)ABC 中，C=90，M 是 BC 的中点，若 ，则 sinBAC= .解析：如图，设 AC=b，AB=c，CM=MB= ，MAC=，在ABM 中，由正弦定理可得 = ，代入数据可得 = ，解得sinAMB= ，故 cos=cos( -AMC)=sinAMC=sin(-AMB)=sinAMB= ，而在 RTACM 中，cos= = ，故可得 = ，化简可得 a4-4a2b2+4b4=(a2-2b2)2=0，解之可得 a= b，再由勾股定理可得 a2+b2=c2，联立可得
14、 c= ，故在 RTABC 中，sinBAC= = = = ，答案：17.(4 分)设 、 为单位向量，非零向量 =x +y ，x、yR.若 、 的夹角为30，则 的最大值等于 .解析： 、 为单位向量， 和 的夹角等于 30， =11cos30=.非零向量 =x +y ，| |= = = ， = = = = ，故当 =- 时， 取得最大值为 2，答案： 2.三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(14 分)在公差为 d 的等差数列a n中，已知 a1=10，且 a1，2a 2+2，5a 3成等比数列.()求 d，a n；()若 d0，求|
15、a 1|+|a2|+|a3|+|an|.解析：()直接由已知条件 a1=10，且 a1，2a 2+2，5a 3成等比数列列式求出公差，则通项公式 an可求；()利用()中的结论，得到等差数列a n的前 11 项大于等于 0，后面的项小于 0，所以分类讨论求 d0 时|a 1|+|a2|+|a3|+|an|的和.答案：()由题意得 ，即 ，整理得 d2-3d-4=0.解得 d=-1 或 d=4.当 d=-1 时，a n=a1+(n-1)d=10-(n-1)=-n+11.当 d=4 时，a n=a1+(n-1)d=10+4(n-1)=4n+6.所以 an=-n+11 或 an=4n+6；()设数列
16、a n的前 n 项和为 Sn，因为 d0，由()得 d=-1，a n=-n+11.则当 n11 时， .当 n12 时，|a 1|+|a2|+|a3|+|an|=-Sn+2S11= .综上所述，|a 1|+|a2|+|a3|+|an|= .19.(14 分)设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球 2 分，取出蓝球得 3 分.(1)当 a=3，b=2，c=1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和.求 分布列；(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 为取
17、出此球所得分数.若 ，求 a：b：c.解析：(1) 的可能取值有：2，3，4，5，6，求出相应的概率可得所求 的分布列；(2)先列出 的分布列，再利用 的数学期望和方差公式，即可得到结论.答案：(1)由题意得 =2，3，4，5，6，P(=2)= = ；P(=3)= = ；P(=4)= = ；P(=5)= = ；P(=6)= = .故所求 的分布列为 (2)由题意知 的分布列为E= =D=(1- )2 +(2- )2 +(3- )2 = .得 ，解得 a=3c，b=2c，故 a：b：c=3：2：1.20.(15 分)如图，在四面体 A-BCD 中，AD平面 BCD，BCCD，AD=2，BD=2 .M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ=3QC.
