1、 专题五 数列 、 推理与证明 、 不等式 时间： 120 分钟 满分： 150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 (导学号： 05856075)(2017九江调研 )等差数列 an中 ， a3 5， a7 1，则 a11 等于 ( ) A 6 B 7 C 8 D 9 2 (导学号： 05856076)(2017龙岩质检 )设 a， b R且 a b， 则下列命题正确的是 ( ) A a2 b2 B.ba 1 C log2(a b) 0 D 2 a 2 b 3 用反证法证明命题 “ 设 a， b 为实数 ，
2、则方程 x3 ax b 0 至少有一个实根 ” 时 ， 要做的假设是 ( ) A 方程 x3 ax b 0 没有实根 B 方程 x3 ax b 0 至多有一个实根 C 方程 x3 ax b 0 至多有两个实根 D 方程 x3 ax b 0 恰好有两个实根 4 设数列 an的前 n 项和为 Sn， 且 a1 1， an an 1 12n(n 1,2,3， )， 则S2n 1 ( ) A.43(1 14n) B.43(1 14n 1) C.43(1 14n) D.43(1 14n 1) 5 已知函数 f(x) 2x 3， x 0，x2 ax， x 0， 若 f(f( 1) a2 1， 则实数 a
3、的取值范围为 ( ) A 2， 1 B 2,1 C 1,2 D 1,2 6 (导学号： 05856077)(2018四平摸底考试 )已知 12 1,12 22 3,12 22 32 6,12 22 32 42 10， ， 照此规律 ， 则 12 22 32 42 ( 1)10 92的值为 ( ) A 36 B 36 C 45 D 45 7 (导学号： 05856078)已知不等式 |y 4| |y| 2x a2x对任意实数 x， y 都成立 ， 则常数 a 的最小值为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 8 (导学号： 05856079)(2017安顺二模 )已知 x 0， y 0， z
4、0， 且 x y z 3， 则 x2 y2 z2的最小值是 ( ) A 3 B 1 C.12 D.13 9 (导学号： 05856080)若平面区域 x y 3 0，2x y 3 0，x 2y 3 0.夹在两条斜率为 1 的平行直线之间 ， 则这两条平行直线间的距离的最小值是 ( ) A.3 55 B. 2 C.3 22 D. 5 10 (导学号： 05856081)(2017大理调研 )已知 x 0， y 0， 且 2x y xy，则 x 2y 的最小值为 ( ) A 5 B 7 C 8 D 9 11 (导学号： 05856082)(2017内江联考 )把正整数 1,2,3,4,5,6， 按
5、某种规律填入下表 ， 2 6 10 14 1 4 5 8 9 12 13 3 7 11 15 按照这种规律继续填写 ， 则 2012 出现在 ( ) A 第 3 行 ， 第 1506 列 B第 3 行 ， 第 1508 列 C 第 2 行 ， 第 1509 列 D第 2 行 ， 第 1510 列 12 (导学号： 05856083)(2017铜仁质检 )数列 an中 ， a1 a， a2 b， 且满足 an 1 an an 2， 则 a2020的值为 ( ) A b B b a C b D a 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 (导学号： 05856084)(2
6、017甘孜调研 )等式 12 x 12x 1 1 的解集为_ 14 在等比数列 an中 ， 如果 a2和 a6是一元二次方程 x2 5x 4 0 的两个根 ， 那么 a4的值为 _ 15 (导学号： 05856085)(2017绵阳二模 )不等式 |x 1| |x 2| 2 的解集为_ 16 (导学号： 05856086)设 Sn是数列 an的前 n 项和 ， 且 a1 1， an 1 SnSn 1， 则 Sn _. 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (导学号： 05856087)(本小题满分 10 分 ) (2017潭州联考 )已知函数
7、f(x) x2 ax a. (1)当 a 4 时 ， 解不等式 f(x) 16； (2)若 f(x) 1 对任意 x 恒成立 ， 求实数 a 值 18.(导学号： 05856088)(本小题满分 12 分 ) 已知 m， n R ， f(x) |x m| |2x n|. (1)当 m n 1 时 ， 求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)的最小值为 2， 求证 1m 2n 2. 19.(导学号： 05856089)(本小题满分 12 分 ) 已知正项等比数列 an(n N*)， 首项 a1 3， 前 n 项和为 Sn， 且 S3 a3、 S5 a5， S4 a4成等差数列 (1)求数列 a
8、n的通项公式； (2)数列 nan的前 n 项和为 Tn， 若对任意正整数 n， 都有 Tn a， b， 求 b a 的最小值 20.(导学号： 05856090)(本小题满分 12 分 ) (2017湖州联考 )为了净化空 气 ， 某科研单位根据实验得出 ， 在一定范围内 ，每喷洒 1 个单位的净化剂 ， 空气中释放的浓度 y(单位：毫克 /立方米 )随着时间 x(单位：天 )变化的函数关系式近似为 y 168 x 1， 0 x 4，5 12x， 4 x 10.若多次喷洒 ， 则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知 ， 当空气中净化剂的浓度不低于 4
9、(毫克 /立方米 )时 ， 它才能起到净化空气的作用 (1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂 ， 则净化 时间可达几天？ (2)若第一次喷洒 2个单位的净化剂 ， 6天后再喷洒 a(1 a 4)个单位的药剂 ，要使接下来的 4 天中能够持续有效净化 ， 试求 a 的最小值 (精确到 0.1， 参考数据：2取 1.4) 21.(导学号： 05856091)(本小题满分 12 分 ) 如图所示 ， 已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内 ， M， N 分别为AB， DF 的中点 (1)若平面 ABCD 平面 DCEF， 求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值； (2)用反证法
10、证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线 22.(导学号： 05856092)(本小题满分 12 分 ) (2017丹东调研 )已知函数 f(x)的导函数 f (x)， 且对任意 x 0， 都有 f (x) fxx . (1)判断函数 F(x) fxx 在 (0， )上的单调性； (2)设 x1， x2 (0， )， 证明： f(x1) f(x2) f(x1 x2)； (3)请将 (2)中结论推广到一般形式 ， 并证明你所推广的结论 专题五 数列 、 推理与 证明 、 不等式 1.B 设公差为 d， 则 a7 a3 4d 6， a11 a7 4d 7. 2 D a b， (12)a (12)
11、b， 即 2 a 2 b. 3 A 依据反证法的要求 ， 即至少有一个的反面是一个也没有 ， 直接写出命题的否定方程 x3 ax b 0 至少有一个实根的反面是方程 x3 ax b 0 没有实根 ， 故应选 A. 4 B 依据递推公式的特征 ， 可以分项求和 ， 则 S2n 1 a1 (a2 a3) (a4a5) (a2n a2n 1) 1 122 124 122n 43(1 14n 1)故选 B. 5 B f(f( 1) 1 a， 1 a a2 1， 化简解得 2 a 1. 6 D 观察等式规律可知 ， 第 n 个等式的右边 ( 1)n 1nn 12 ， 所以 12 22 32 42 ( 1
12、)10 92 ( 1)1099 12 45. 7 D |y 4| |y| |y 4 y| 4， (|y 4| |y|)max 4， 要使不等式对任意实数 x， y 都成立 ， 应有 2x a2x 4， a (2x)2 4 2x (2x 2)2 4， 令 f(x) (2x 2)2 4， 则 a f(x)max 4， a 的最小值为 4， 故选 D. 8 A x2 y2 z2 (12 12 12)(x2 y2 z2) 13 (1 x 1 y 1 z)2 133.当且仅当 x y z 1 时等号成立 9 B 画出不等式组的平行区域如题所示： 由 x 2y 3 0x y 3 0 得 A(1,2) 由
13、2x y 3 0x y 3 0 得 B(2,1) 由题意可知 ， 当斜率为 1 的两条直线分别过点 A 和点 B 时 ， 两直线的距离最小 ， 即 |AB| 1 22 2 12 2.故选 B. 10 D 由题意得 ， 2x y xy 1x 2y 1， x 2y (x 2y)(1x 2y) 5 2yx 2xy 5 2 2yx 2xy 9， 当且仅当 2yx 2xy 时 ， 即 x y 等号是成立的 11 C 由 3,7,11,15 知 a503 2011， 2012 是第二行 ， 第 1509 列 12 D an 2 an 1 an， a1 a， a2 b， a3 b a， a4 a， a5 b
14、， a6 a b， ， an是以 6 为周期的数列 ， a2020 a6 336 4 a4 a. 13 ( 12， 1 d 原不等式变形为： (12) 121xx (12)0 12 1， x 12x 1 0 同解变形为 2x 1 02x 1x 1 0 解得： 12 x 1， 原不等式的解集为： ( 12， 1 14 2 方程 x2 5x 4 0 的两个根为 1 和 4， 等比数列 an中 ， a4a4 a2a6 4， a24 a2a6 4， 又 a4 a2q2 0， 所以 a4 2. 15 x|x 32 16 1n an 1 Sn 1 Sn， an 1 SnSn 1， Sn 1 Sn SnSn
15、 1. Sn 0， 1Sn 1Sn 1 1， 即 1Sn 1 1Sn 1. 又 1S1 1， ( 1Sn)是首项为 1， 公差为 1 的等差数列 1Sn 1 (n 1) ( 1) n， Sn 1n. 17 (1)a 4 时 ， 不等式 f(x) 16， 即 x2 4x 12 0， 即 (x 6)(x 2) 0， 解得 x 6 或 x 2.故 a 4 时 ， 不等式 f(x) 16 的解是 ( ， 6) (2， ).5 分 (2)f(x) 1 对任意 x 恒成立 ， 即不等式 x2 ax a 1 0 对任意 x 恒成立 ， 即 a2 4(a 1) (a 2)2 0， 故 a 2.10 分 18
16、(1) f(x) 3x， x 1 x 2， 1 x 123x， x 12， f(x)在 ( ， 12)是减函数 ， 在 (12， )是增函数 ， 当 x 12时 ， f(x)取最小值 32.6 分 (2) f(x) 3x m n， x m x m n， m x n23x m n， x n2， f(x)在 ( ， n2)是减函数 ， 在 (n2， )是增函数 ， 当 x n2时 ， f(x)取最小值 f(n2) m n2. m， n R， 1m 2n 12(1m 2n)(m n2) 12(2 2mn n2m) 2.12 分 19 (1)设等比数列 an的公比为 q， S3 a3、 S5 a5、
17、S4 a4成等差数列 ， 有 2(S5 a5) (S3 a3) (S4 a4) 即 2(a1 a2 a3 a4 2a5) (a1 a2 2a3) (a1 a2 a3 2a4)， 化简得 4a5 a3， 从而 4q2 1， 解得 q 12， an 0， q 12， 得 an 3 (12)n 1.5 分 (2)由 (1)知 ， nan 3n (12)n 1， Tn 3 1 3 2 (12) 3 3 (12)2 3n(12)n 1 12Tn 3 1 (12) 3 2 (12)2 3(n 1) (12)n 1 3n(12)n 两式相减得： 12Tn 3 1 3 (12) 3 (12)2 3 (12)n
18、 1 3n(12)n 31 12n1 12 3n(12)n 6 6 3n2n ， Tn 12 6 3n2n 1 12. 又 nan 3n (12)n 1 0， Tn单调递增 ， (Tn)min T1 3， 故有 3 Tn 12. 对任意正整数 n， 都有 Tn a， b， a 3， b 12. 即 a 的最大值为 3， b 的最小值为 12. 故 (b a)min 12 3 9.12 分 20 (1) 第一次喷洒 4 个单位的净化剂 ， 浓度 f(x) 4y 648 x 4， 0 x 4，20 2x， 4 x 10.则当 0 x 4 时 ， 由 648 x 4 4， 解得 0 x 8， 此时 0 x 4. 当 4 x 10 时 ， 由 20 2x 4， 解得 x 8， 此时 4 x 8. 综合得 0 x 8， 若一次投放 4 个单位的净化剂 ， 则有效净化时间可达 8 天 .6分 (2)设从第一次喷洒起 ， 经 x(6 x 10)天 ， 浓度 g(x) 2(5 12x) a 168 x 6 1 10 x 16a14 x a (14 x) 16a14 x a 4 2 14 x16a14 x a 4
