1、 福田中学 2016-2017 学年第一学期期中考试高二理科数学试题 本试卷共 4 页， 22 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的姓名和考生号。 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和 涂改液不按以上要求作答的答案无效 4 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。 第 卷 一、 选择题 （本大题共 12 小题，每小题
2、 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在 答 题 卷 相应的位置上） 1 设命题 2: , 1 0p x R x ，则 p 为（ ） 200. , 1 0A x R x 200. , 1 0B x R x 200. , 1 0C x R x 200. , 1 0D x R x 2 已知命题 .,:,: 22 yxyxqyxyxp 则若；命题则若 在命题： qpqpqpqp ）（ );(; 中，真命题是（ ） A B. C. D. 3下列命题中错误的个数为 ( ) 若 p q为真命题，则 p q为真命题； “ x 5”是“ x2 4x
3、5 0”的充分不必要条件； 命题 p： x0 R， x20 x0 1 0，则 p： x R， x2 x 1 0； 命题“若 x2 3x 2 0，则 x 1或 x 2”的逆否命题为“若 x 1或 x 2， 则 x2 3x 2 0” A 1 B 2 C 3 D 4 4 设 an是公比为 q的等比数列，则“ q 1”是“ an为递增数列”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5已知方程 112 22 kykx 的图象是双曲线，那么 k的取值范围是（ ） k k k或 k k 6已知椭圆 C： 221xyab( 0)ab 的左、右焦点为 1F 、
4、2F ，离心率为 33 ，过 2F 的直线 l 交 C于 A、 B两点，若 1AFB 的周长为 43，则 C的方程为 （ ） A 22132xy B 2 2 13x y C 22112 8xy D 22112 4xy 7已知 F 为双曲线 C : )0(322 mmmyx 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为（ ） A. 3 B. 3 C. m3 D. m3 来 8若实数 k 满足 09k，则曲线 22125 9xyk 与曲线 22125 9xyk 的（ ） A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等 9设 F为抛物线 C: 2 3yx 的焦点 ，过 F且倾
5、斜角为 30的直线交 C于 A, B两点， O为坐标原点，则 OAB的面积为（ ） A. 334 B. 938 C. 6332 D. 94 10已知双曲线 C的离心率为 2，焦点为 1F 、 2F ，点 A在 C上，若 122FA F A ，则 21cos AF F（ ） A 13 B 14 C 24 D 23 11如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， M 为 AC 与 BD 的交点 .若 11BA =a，11DA =b， AA1 =c，则下列向量中与 MB1 相等的向量是（ ） A. 12 a+21 b+c B.21 a+21 b+c C.21 a 12 b+c D. 12 a
6、 12 b+c 12 已知双曲线 x24y2b2 1(b N*)的两个焦点 F1， F2，点 P是双曲线上一点， |OP|5，|PF1|， |F1F2|， |PF2|成等比数列，则双曲线的离心率为 ( ) A 2 B 3 C 52 D 53 第卷 二、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 13在平面直角坐标系 xOy 中，有一定点 A （ 2， 1），若线段 OA的垂直平分线过抛物线 2 2 ( 0)y px p的焦点，则该抛物线的准线方程是 . 14已知 p： “ x 1,2， x2 a 0” ， q： “ x0 R，使 x20 2ax0 2 a 0” 若命题 “ p且
7、q” 是真命题，则实数 a的取值范围是 15已知 FP ),1,4( 为抛物线 xy 82 的焦点， M 为此抛物线上的点，且使MFMP 的值最小，则 M 点的坐标为 16过点 (1,1)M 作斜率为 12 的直线与椭圆 C ： 22 1( 0 )xy abab 相交于 ,AB，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率为 . 三、 解答题：解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 10 分 ) 已知抛物线的顶点在原点 ,它的准线过双曲线12222 byax 的右焦点 ,而且与 x 轴垂直 .又抛物线与此双曲线交于点 )6,23( ,求抛物线和双曲线的方程 . 18
8、 (本小题满分 12 分 )已知命题 p：关于 x 的方程 x2 ax 4 0 有实根；命题q：关于 x的函数 y 2x2 ax 4在 3， )上是增函数若 p或 q 是真命题，p且 q是假命题，求实数 a的取值范围 19 (本小题满分 12 分 ) 已知动点 P 与双曲线 2219 16yx的两个焦点 F1， F2 所连线段的和为 65，（ 1）求动点 P 的轨迹方程；（ 2）若 120PF PF，求点 P 的坐标 （ 3）求角 F1PF2 余弦值的最小值。 20 (本小题满分 12 分 )如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱 PA的长为 2，且 P
9、A与 AB、 AD的夹角都等于 600， M 是 PC的中点，设 cba APADAB , （ 1）试用 cba , 表示出向量 BM ； （ 2）求 BM 的长 21 (本小题满分 12 分 )已知，椭圆 C以过点 A（ 1， 32 ），两个焦点为（ 1， 0）（ 1， 0）。 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2） E,F是椭圆 C上的两个动点，如果直线 AE的斜率与 AF的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 22 (本小题满分 12 分 )已知菱形 ABCD 的顶点 AC， 在椭圆 2234xy上，对角线 BD 所在直线的斜率为 1 （ ）当直线 BD 过点 (
10、01)， 时，求直线 AC 的方程； （ ）当 60ABC时，求菱形 ABCD 面积的最大值 MPD CBA福田中学 2016-2017 学年第一学期期中考试高二理科数学试题答案 一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . BCBD， CAAD， DBAC 二、填空题：本大题共 4 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 . 13 54x ， 14 1a ， 15 1( , 1)8 16 22 。 三、解答题 :本大题共 6 小题，满分 70 分 . 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 .
11、 17 解：由题意可设抛物线方程为 )0(22 ppxy 因为抛物线图像过点 )6,23( ，所以有 )23(26 p ，解得 2p 所以 抛物线方程为 xy 42 ，其准线方程为 1x 所以双曲线的右焦点坐标为（ 1， 0）即 1c 又因为双曲线图像过点 )6,23( ， 所以有 164922 ba且 122 ba ，解得 43,41 22 ba 或 8,9 22 ba （舍去） 所以双曲线方程为 1434122 yx 18 解： 命题 p 等价于 a2 16 0，即 a 4 或 a 4； 命题 q 等价于 a4 3，即 a 12. 由 p 或 q 是真命题， p 且 q 是假命题知，命题
12、p 和 q 一真一假 若 p 真 q 假，则 a 12； 若 p 假 q 真，则 4 a 4. 故 a 的取值范围是 ( ， 12) ( 4,4) 解：双曲线 2219 16yx的两个焦点为 F1（ 0， 5）， F2（ 0， -5） （ 1） PF1+PF2=65 故动点 P 的轨迹是椭圆 轨迹方程是 22145 20yx 2分 （ 2） 120PF PF 得 PF1 PF2 设 P（ x,y） 则 55 1yyxx 又 22145 20yx 2分 解得： P（ 4， 3）， P（ 4， -3）， P（ -4， 3） P（ -4， -3） 1分 （ 3） PF1F2 中， cos F1PF2
13、= 2 2 21 2 1 2122PF PF F FPF PF PF1+PF2=65， F1F2=10 ，又 12122PF PF PF PF 221212 12( 6 5 ) 2 1 0 1co s 29P F P FF P F P F P F 2分 20 解： （ 1） M 是 PC的中点， )(21)(21 ABAPADBPBCBM cbaacb 212121)(21 （ 2） 2,1,2,1 cbaPAADAB由于 160c o s12,0,60, 00 cbcabaP A DP A BADAB由于 ),(21 cba BM由于 23)110(221141)(241)(41 22222
14、222 cbcabacbacbaBM2626 的长为， BMBM . 21 解：（）由题意， c 1,可设椭圆方程为 22114xybb 。 因为 A在椭圆上，所以2219114bb，解得 2b 3， 2b 34 （舍去）。 所以椭圆方程为 22143xy 4分 （）设直线方程：得 3( 1) 2y k x ，代入 22143xy得 2 2 233 + 4 + 4 ( 3 2 ) 4 ( ) 1 2 02k x k k x k （ ） 设（ Ex ， Ey ），（ Fx ， Fy ）因为点（ 1， 32 ）在椭圆上，所以 2234( ) 12234Ekxk ， 32EEy kx k 。 8分
15、又直线 AF的斜率与 AE的斜率互为相反数，在上式中以 k 代 k ，可得 2234 ( ) 1 2234Fkxk ， 32FFy kx k 。 所以直线 EF 的斜率 ( ) 2 12F E F EEF F E F Ey y k x x kk x x x x 。 即直线 EF的斜率为定值，其值为 12 。 12分 22 解：（ ）由题意得直线 BD 的方程为 1yx 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD 于是可设直线 AC 的方程为 y x n 由 2234xyy x n ，得 224 6 3 4 0x nx n 因为 AC， 在椭圆上， 所以 212 64 0n ，解得 4 3
16、4 333n 设 AC， 两点坐标分别为 1 1 2 2( ) ( )x y x y， ， ， ， 则1232nxx， 212 344nxx ， 11y x n ， 22y x n 所以122nyy所以 AC 的中点坐标为 344nn， 由四边形 ABCD 为菱形可知，点 344nn，在直线 1yx上， 所以 3 144nn，解得 2n 所以直线 AC 的方程为 2yx ，即 20xy （ ）因为四边形 ABCD 为菱形，且 60ABC，所以 AB BC CA 所以菱形 ABCD 的面积 232S AC 由（ ）可得 22 221 2 1 2 3 1 6( ) ( ) 2nA C x x y y ， 所以 23 4 3 4 3( 3 1 6 )4 3 3S n n 所以当 0n 时，菱形 ABCD 的面积取得 最大值 43
