1、 2016-2017 学年福建省厦门六中 2016 级高一 (上 )期中考试数学 一、选择题：共 12题 1 下列命题正确的是 A.接近 0的实数可以构成集合 B.实数集 C.集合与集合是同一个集合 D.参加 2016年金砖国家峰会的所有国家可以构成一个集合 . 【答案】 D 【解析】本题主要考查集合的概念 .A. 接近 0的实数不确定，不满足集合的性质，故 A错误；B. 实数集 中没有 “集 ”字，故 B错误； C.集合与集合中的元素不相同，故不是同一个集合，因此 C错误，所以答案为 D. 2 函数的定义域为 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】本题主要考查函数的定义域、对数函数
2、.由题意可得 ,求解可得 ,故答案为 D. 3 已知幂函数的图象过点 ,则 = A. B.2 C. D.3 【答案】 C 【解析】本题主要考查幂函数的解析式与求值 .因为幂函数的图象过点 ,所以，则 = 4 下列四个函数中 ,在上为增函数的是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本题主要考查函数的单调性 .A.由一次函数的单调性可知，是减函数，故 A错误；B.由二次函数的性质可知，在上先减后增，故 B错误； C.在上是减函数，故 D错误，故答案为 C. 5 已知函数是定义域为的偶函数 ,则的值 A.0 B. C.1 D. 【答案】 B 【解析】本题主要考查函数的性质，考查了逻辑推理能
3、力 .因为函数是定义域为的偶函数 ,所以 b=0，且，则 a=，所以 a+b= 6 若 ,则的解析式可以是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】本题主要考查函数的解析式，考查了计算能力 .若，则，所以 ,故答案为 B. 7 用二分法求方程的近似解 ,可以取的一个区间是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本题主要考查函数与方程，考查了二分法与转化思想 .由题意，设 ,易知函数是 增函数，因为 ,所以 ,因此答案为 C. 8 已知 .则 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】本题主要考查指数函数与对数函数的性质 .=1,故答案为 B. 9 若 ),则函数与的图像关于
4、A.直线对称 B.轴对称 C.轴对称 D.原点对称 【答案】 A 【解析】本题主要考查对数函数与指数函数的图像与性质 .因为，所以 ,则与的图像关于直线对称 . 10 函数的图象大致是 A.yO xB.yO xC.yO xD.yO x【答案】 D 【解析】本题主要考查函数的图像与性质，考查了逻辑推理能力 .易知函数是偶函数，故排除 A、 C；当 |x|1时， ,故排除 B，答案为 D. 11 若是定义在 R上的增函数 ,下列函数中 是增函数； 是减函数； 是减函数； 是增函数；其中正确的结论是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本题主要考查函数的性质，考查了逻辑思维能力 .因为是定
5、义在 R上的增函数 ,所以，当存在 x，使时，则是增函数，不成立； 是增函数，不成立；当存在 x，使时，则 无意义，是减函数不正确； 是减函数，正确，因此，答案为 A. 12 已知函数 ,若方程有四个不同的解 ,且 ,则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】本题主要考查分段函数的图像与性质、函数与方程，考查了转化思想与数形结合思想、逻辑推理能力与计算能力 .先画出函数 ,的图象 , 方程有四个不同的解 ,且 ,由时 ,则横坐标为与两点的中点横坐标为即： ,当时 ,由于在上是减函数 ,在上是增函数 ,又因为 ,则 ,有 ,又因为方程有四个不同的解 ,所以 ,则 ,则 ,设
6、,(),由于 ,则在上是减函数 ,则 ,故应选择 二、填空题：共 4题 13 某林场今年造林 10000亩 ,计划以后每一年比前一年多造林 10%,那么从明年算起第 3年内将造林 亩 . 【答案】 13310 【解析】本题主要考查指数函数的应用，考查了分析问题与解决问题的能力 .由题意，设第 x年将造林 y亩，则 y=10000(1+10%)x,所以从明年算起第 3年内将造林 y=10000(1+10%)3=13310亩 14 已知函数 ,则 . 【答案】 -2 【解析】本题主要考查函数求值、指数函数，考查了分类讨论思想 .因为，所以 ,等价于 ,求解可得 15 若集合有且仅有 2个子集 ,则
7、实数的值是 _ _. 【答案】 【解析】本题主要考查集合间的基本关系、方程解的情况，考查了 分类讨论思想 .因为集合有且仅有 2个子集 ,所以关于 x的方程有且只有 1个根，当 k=-2时， x=，满足题意；当时，则 ,求解可得 k=，则实数 k的值是 16 已知函数对于一切实数均有成立 ,且 ,则当时 ,不等式恒成立时 ,则实数 a的取值范围是 . 【答案】 【解析】本题主要考查新定义问题、函数的性质、对数函数，考查了恒成立问题与逻辑推理能力 .取 ,则 ,将代入 ,得。由此用换元法可得 , 当时 ,恒成立等价于当时 ,恒成立。作图可知 ,当时 ,不等式恒成立 ,所以 三、解答题：共 6题
8、17 计 算下列各题： (1) (2) 【答案】 (1)； (2)76 【解析】本题主要考查对数与幂的运算性质 .(1)利用对数与幂的运算性质求解即可； (2)利用对数与幂的运算性质求解即可 . 18 已知集合 . (1)求； (2)若集合 ,且 ,求实数的取值范围 . 【答案】 (1)对于函数 , , ,其值域为集合 . 对于函数 , , ,其值域为集合 B=1,2. AB=2 (2) , CB. 当时 ,即时 ,C=,满足条件； 当时 ,即时 ,要使 CB,则 ,解得 . 综上可得： . 【解析】本题主要考查指数函数与对数函数 的性质、集合的基本运算、集合间的基本关系，考查了分类讨论思想与
9、逻辑思维能力 .(1)利用指数函数与对数函数的单调性即可求出 A、 B，再利用交集的定义求解即可； (2)易得 CB，再分 、 两种情况讨论求解即可 . 19 已知是定义在上的奇函数 ,当时 ,. (1)画出的简图 , 并求的解析式； (2)利用图象讨论方程的根的情况。 (只需写出结果 ,不要解答过程 ). 【答案】 (1)画出简图 是定义在 R上的奇函数 , ； 当时 , 于是 (2)当 ,方程有 1个实根；当 ,有 2个实数根；当 ,有 3个实数根。 【解析】本题主要考 查函数的解析式、图像与性质，考查了数形结合思想、逻辑推理思维能力 .(1)先作出时的图像，再根据函数的奇偶性即可出函数在
10、 R的图像；根据奇偶性，当时 , 于是，可得函数解析式； (2)根据函数即可得出结论 . 20 国庆期间 ,某旅行社组团去风景区旅游 ,若旅行团人数在人或人以下 ,每人需交费用为元；若旅行团人数多于人 ,则给予优惠：每多 1人 ,人均费用减少元 ,直到达到规定人数人为止 .旅行社需支付各种费用共计元 . (1)写出每人需交费用关于人数的函数 ; (2)旅行团人数为多少时 ,旅行社可获得最大利润？ 【答案】当时 , 当 时 , 即 (2)设旅行社所获利润为元 ,则 当时 ,； 当 =； 即 因为当时 ,为增函数 ,所以时 , 当时 , 即时 ,. 所以当旅行社人数为 60时 ,旅行社可获得最大利
11、润 . 【解析】本题主要考查函数的解析式与性质，考查了分类讨论思想、分析问题与解决问题的能力 .(1)由题意可知，当时 ,，当时 ,，则结论可得； (2) 设旅行社所获利润为元 ,易得再分、两部分，利用函数的单调性求解即可 . 21 若二次函数满足 ,且 . (1)求的解析式； (2)若在区间上 ,不等式恒成立 ,求实数的取值范围 . 【答案】 (1)设 ,由得 ,. 可设 . 又 , , 即 , , . . (2)等价于 , 即在上恒成立 , 令 ,则 , . 【解析】本题主要考查函数的解析式与性质，考查了恒成立问题、逻辑思维能力与计算能力 .(1) 设 , 由得 ,，由 ,化简，根据多项式
12、对应项系数相等求解即可； (2)由题意可得在上恒成立 ,求出在上的最小值即可 . 22 已知函数 . (1)试判断函数的奇偶性并证明； (2)设 ,若函数与的图象有且只有一个公共点 ,求实数的取值范围 . 【答案】 (1)为 R上的偶函数 ,以下进行证明：易知 ,的定义域为 R,关于原点对称； , ,所以为 R上的偶函数 (2)与的图象有且只有一个公共点 ,只需方程有且只有一个实根 ,即方程有且只有一个实根 . 令 ,则方程有且只有一个正根。 ,不合题意； 若；若 ,则 ,不合题意；若 ,符合题意 若 ,则方程有两根 ,显然方程没有零根。 所以依题意知 ,方程有一个正根与一个负根 ,即 , 综上所述：实数的取值范围是 . 【解析】本题主要考查指数函数与对数函数、函数的性质与零点，考查了换元法与分类讨论思想、逻辑思维能力与计算能力 .(1)化简 ,利用函数的奇偶性的定义求解即可； (2)由题意，方程有且只有一个实根 ,即方程有且只有一个实根，令 ,则方程有且 只有一个正根，再分 、 、三种情况讨论求解 .
