1、智浪教育- 普惠英才文库12010 年广西高二数学竞赛初赛试卷一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）1、设 表示不大于 的最大整数，集合 ， ，则 = xx2|3Ax1|28xBAB（ B ）.A. B. C. D. ,61,71,61,67解：由 ，知 ，所以 只可能取 -3，-2，-1，0，1，2.xA23xx经检验知， 只可能取 -1，2， 故 . 故选 B. 1,72、已知ABC 的三个顶点 A、B 、C 及平面内一点 P 满足 ，若实数 满足：0ABPC则 的值为（ C ）,ABP则 值 为则 值 为A.2 B. C.3 D.632解：由 知，点 P 为ABC 的重心，故有 ，所
2、以选 C。0 APCB33、已知 是等比数列， ，则 的取值范围是na361,4a231(,2)naa （ D ）. 128,6)A28.,)B8.,)C8.,)D解：易知公比 ，所以 ，从而数列 是以 为首项， 为公比的等q1a1na123a214q比数列. 于是，利用前 项和公式不难得出n.故选 D. 122312833na4、设 ，则si(0),si(co0),cos(in01),cos(201)bd 的大小关系是（ B ）. ,bcd.Aaadc.Cba.Dcab解：因 ，所以 201536180sin()sin(),sin(co30)sin(co30) cocod 智浪教育- 普惠英
3、才文库2又 ，故 . 选 B.sin30cosbadc5、若关于 的方程 在区间 上有解，则 的取值范围是（ D ）.x210x2,)a545.(1,).,.(,.333ABCD解：由原方程，有 . 令 ，则21)2xax13tx()(3fttt由于 在 上为单调增函数，因此 ，即当 时原方程在区间,)5(3)af3a上有解. 故选 D. 2,)6、已知函数 f(x)满足：f(p+q)= f(p) f(q) ，f (1)= 3，则 + + + + 的值为（ B ）12f342f5)6(2f)7(842f)9(1052fA.15 B.30 C.75 D.60 解法 1：由 f(p+q)= f(p
4、) f(q)， f(1)= 3，得 f(2)=32，f (3)=33， f(4)=34，f (5)=35，f (6)=36，从而有+ + + + 30。故选 B.)2f4f)5(62f)7(84f)9(102f解法 2：由 f(p+q)= f(p) f(q)， f(1)= 3，令 ，从而有x+ + + + 30。故选 B. )1(f)(42f)5(62f)7(842f)9(1052f二、填空题（每小题 9 分，共 54 分）1、某运动会开了 天（ 1） ，共颁发了 个奖牌，第一天发出 1 个加上余下的（ -1）个的 ，nmm71第二天发出 2 个加上余下的 ；如此继续到 -1 天，第 天发出
5、个，恰好把奖牌发完。则71nn.m解：设 天后，剩下 个奖牌，则第 天发出奖牌数为 。kkak)(71kak故 )(71ak所以 。即k61智浪教育- 普惠英才文库3nnaaam)67()67(321)211 因为 ，所以 。又因为 ，故 =6, =36.0nan)(Nm2、用 1，2，3，4，5 排成一个五位数，使任意相邻数码之差至少是 2，则这种五位数有个。解：填 14.先排该五位数的中间数，共有以下 14 个数满足要求：24135,24153,35142,53142，14253,35241,25314,41352,31425,52413，13524,31524,42513,42531.3
6、、方程 在 上的根的个数为_.cos(15)s(3)0,解：令 ，则 . 方程变为 ，所以 ，即x,cos5x52xk或 .2k()3kZ当 为 的整数倍时，同时满足上面两式且在 上的有 4 个值；x 0,3当 不是 的整数倍时，在 上有 3 个值满足 ，有 6 个值满足 .0,2kx3kx因此，原方程在 上共有 4+3+6=13 个根.0,4、在 1 到 2010 的所有正整数中，满足 整除 的所有正整数 的和为 221n 331n n。解：填 1，由于有求和公式：，6)2(22nn331由题意，得 6)2(n2)()1(n).(23又 ， ， 。1),2(n1),(1,n故 仅 有 解5、
7、在 中， 分别是角 所对边的边长，若 ，则ABCabcABC2cosi0cosinAB的值是_.abc解：由已知等式，有智浪教育- 普惠英才文库4，22sin()04sin()4AB即 .i()i()1由正弦函数的有界性及 为三角形内角可知， ，从而, sin()1sin()144AB且， 所以 ，因此 .4AB2Ci2abBc6、若函数 （a0 且 a 1）是奇函数，则 = 2()log()afxxba。解：填 +1. 由奇函数的性质，知2，即 解得 （舍去负值） ，0log)0(2af ,122a于是 )(l22bxxf又 0= )(f= +1log22bx)1(log22bx= l22于
8、是 恒成立，故 .0)1(xb1b三、解答题（每小题 20 分，共 60 分）1、已知函数 ，对定义域内的任意 都有,032logaxmxfa x成立 （1）求实数 的值；（2）若当 时， 的取值范围恰为02f ab,f，求实数 的值,b,解：（1）由 及 可得：3logxmxfa 0xff，解之得： 21l32logaa 1m当 时，函数 无意义，所以，只有 -10 分1mxf 1智浪教育- 普惠英才文库5（2）当 时， ，其定义域为1m31logxfa. 或 ,3b,b,若 ，则 为研究 时 的值域，可考虑 在abaxf31logxfa上的单调性,下证 在 上单调递减任取 ，且 ，则xf,
9、321,x,321x01221 x又 ，所以， ，即 a31log3log21aa 21xff所以，当 ， 在 上单调递减-15 分b,xf,由题： 时， 的取值范围恰为 ，所以，必有 ，解之得：ax,113afb且（因为 ，所以舍去 ）3232a若 ，则 又由于 ，所以， b,1,b,0a0此时，同上可证 在 上单调递增（证明过程略） 所以， 在 上的取值范围xf1, xfab,应为 ，而 为常数，故 的取值范围不可能恰为 所以，在这种情况下，af, xf ,1无解综上，符合题意的实数 的值为 ， 。-b, ba,32b20 分2、如右图，过点 P 任作 的两条割线 直线 交于 ，弦 交O,
10、PCDAB、 BA与 Q,/PDEB直线 于 求证：Q,M.Q智浪教育- 普惠英才文库6证明：由 PCBDE,PMBPABCDEQOM得 四点共圆。 -5 分 、由 ,QAQM得 四点共圆.-10 分AP、连接 则 -15 分,DEPDEM于是 又 所以 ,则 -20 分,OPQO3、证明：方程 有唯一一组整数解.226(3)5abcn证明：易知 是方程的一组整数解.-5 分0而对于方程的任一组整数解 ，显然 . 令 ，则(,)6|n16，知 ，令 ，代入得 . 22163abcn3|c122130abcn因此，只要证明方程 没有使 的整数解，否则，将有一组这种220xyzw0解使 取最小正值.-10 分w因 为偶数，所以 同奇偶，但若 同为奇数，23yzzy与 zy与则 ，从而21(mod8),02(od8),10(mod8)xw或 或，不可能等于 ，因此， 同为偶数.-15 分2246xyz或 zy与令 ，代入得 ，于是同理可证， 必同为偶数. 11,22165xyzxw与令 ，代入得 ，但 ，即 不可能有最小正值，2xw13w10矛盾. 故原方程有唯一一组整数解.- -20 分智浪教育- 普惠英才文库7
