1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年 高 中毕业班 理科数学 适应性练习 数学（理科）试卷 注意事项： 1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名； 2.本试卷分为第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分，全卷满分 150分，考试时间 120分钟 . 临界值表 2 0()P K k 0.50 0.40 0.25 0.16 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2、 第卷 （选择题 共 50 分） 一 .选择题（本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分 . 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的） 1 设 0 1, 2, 3, 4, 5U ， , 1,3,5A , 2 20B x x x ,则 ()UAB A B 34， C 13,5， D 2,45， 2 已知 ,ab都是实数 ,那么“ ab ”是“ 22 ba ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 若 i 是虚数单位 ,且 复 数 12aiz i 为实数 ,则实数 a 等于 A 2 B 12 C 12 D 2 4 函数 tan( )42yx的部
3、分图像 如图所示 ,则 ()OA OB AB A 6 B 4 C 4 D 6 5 在 2032x x的展开式中 ,x 的幂指数是整数的项共有 A 3 项 B 4 项 C 5 项 D 6 项 6. 以下五个命题 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样 样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度 在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 在回归直线方程 101.0 xy 中，当解释变量 x每增加一个单位时，预报变量 y 增加 0.1个单位 在一个 2 2 列联表中，由计算得 k2=13.079,则其两个变量间有关系的
4、可能性是 90%以上 . 其中 正确 的是 A B C D BB A y x 1 O 第 4题图 7 在直角坐标系中，若不等式组 0,2,( 1) 1yyxy k x 表示一个三角形区域 ,则实数 k 的取值范围是 A ( , 1) B ( 1,2) C ( , 1) (2, ) D (2, ) 8 一个不透明圆锥体的正视图和侧视图（左视图）为两全等的正三角形 .若将它倒立放在桌面上，则该圆锥体在桌面上从垂直位置倒放到水平位置的过程中 ,其在水平桌面上正投影 不 可能 是 9.已知可导函数 /( ) ( ) ( ) ( )f x x R f x f x满 足，则当 0a 时， ( ) (0)a
5、f a e f和 大小关系为 （ A） ( ) (0)af a e f （ B） ( ) (0)af a e f （ C） ( ) (0)af a e f （ D） 0feaf a 10 已知函数 1( ) lg ( )2 xf x x有两个零点 21,xx ，则有 A. 021 xx B. 121 xx C. 121 xx D. 10 21 xx 第卷 （非选择题 共 100分） 二填空题（本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分，将答案填在题后的横线上） 11命题“ xR , 2 10x ”的否定是 _ _. 12、积分 12011 dxx 的值等于 13.已知 na 是公比为实数 q
6、的等比数列，若 7 1a ，且 4 5 6, 1,a a a 成等差数列，则 q 14设双曲线 122 nymx 的一个焦点与抛物线 281xy 的焦点相同，离心率为 2，则此双曲线的渐近线方程为 。 15、 已知 O 是 ABC 内一点，连接 AO、 BO、 CO 并延长交对边于 / / /,A B C ，则 / / / / / 1O A O B O CA A B B C C ，用“面积法”可以证明其正确；运用类比思想，对于空间四面体 A BCD 中，存在类似的一个结论是 三、解答题：本大题共 6小题， 共 80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 13 分） 椭圆形
7、 区域 等腰三角形 两腰 与半椭圆围成的区域 等腰三角形 两腰与 半 圆围成的区域 圆形区域 A B D C 序号 (i ) 分组 睡眠时间 组中值 （ im ） 频数 （ 人数 ） 频率 （ if ） 1 45， 4.5 8 0.04 2 5,6 5.5 52 0.26 3 67， 6.5 60 0.30 4 78， 7.5 56 0.28 5 89， 8.5 20 0.10 6 910， 9.5 4 0.02 开始 0S 1i 输入 ,iimf iiS S m f 6?i 1ii 是 否 输 出 S 结束 已知向量 ( , )m a c b ， ( , )n a c b a ，且 0mn
8、，其中 ,ABC 是 ABC的内角， ,abc分别是角 ,ABC 的对边 . (1) 求角 C 的大小； （ 2） 求 sin sinAB 的取值范围 . 17 （本小题满分 13 分） 如图， ABC 内接于圆 O, AB 是圆 O 的直径， 2AB ， 1BC ， 设 AE 与平面 ABC 所成的角为 ,且 3tan 2 ,四边形 DCBE 为平行四边形， DC 平面 ABC （ 1） 求三棱锥 C ABE 的体积； （ 2） 证明： 平面 ACD 平面 ADE ； （ 3）在 CD 上是否存在一点 M，使 得 MO 平面 ADE ？ 证明你的结论 18（本题满分 13分） “ 世界睡眠日
9、 ” 定在每年的 3月 21日 2009年的世界睡眠日主题是 “ 科学管理睡眠 ”，以提高公众对健康睡眠的自我管理能力 和科学认识 为此 某网站 2009年 3 月 13 日到 3月 20日持续一周的在线调查 ， 共有 200人参加调查， 现 将数据 整 理 分组如 题中 表 格所示 . （ ） 在答题卡给定的坐标系中画出频率分布直方图； （ ） 睡眠时间 小于 8 的概率是多少？（ ） 为了对数据进行分析，采用了计算机辅助计算 .分析中 一部分计算见算法流程图，求输出的 S 的值，并说明 S 的统计意义 . （注 :框图中的赋值符号“ ”也可写成“ ”或“ : ”） 19（本题满分 13分）
10、 如图，已知椭圆长轴长为 4， 离 心率为 1.2 过点 (0, 2) 的直线 l 交椭圆于 ,AB两点、交 x轴于 P 点，点 A 关于 x 轴 的对称点为 C ，直线 BC 交 x 轴于 Q 点。 （ I）求椭圆方程； （ ）探究： | | | |OP OQ 是否为常数？ 20（本题满分 13分） 已知函数211( ) ( )1 (1 )tf x t xxx ，其中 t 为常数，且 0t . （）求函数 ()tfx在 (0, ) 上的最大值； （） 数列 na 中， 1 3a ， 2 5a ，其前 n项和 nS 满足 1212 2 3nn n nS S S n ，且 设 11n nb a，
11、 证明：对任意的 0x ，12 ()nnb f x， 12n， ， ； （）证明： 212 1n nb b b n 21.本题有（ 1）、（ 2）、（ 3）三个选考题，每题 7分，请考生任选 2题作答 ，满分 14分 . 如果多做，则按所做的前两题计分 .作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中 （ 1） （本小题满分 7分） 选修 4 2：矩阵与变换 设 42 51A，求 A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。 （ 2） （本小题满分 7分） 选修 4 4：坐标系与参数方程 已知点 P 1 cos , sin ，参数 0, ，点 Q 在直线
12、10:2 c o s 4l 上，求 PQ 的最大值。 （ 3） （本小题满分 7分） 选修 4 5：不等式选讲 若不等式 | | | 2 | 1x a x 对任意实数 x 均成立 ,求 实数 a 的取值范围 2009 年厦门六中高中毕业班适应性考试 数学（理科）试卷 评分标准 一、选择题： （每题 5 分，共 50 分） CACDB AACBD 二、填空题（每题 4 分，共 20 分） 11 2, 1 0x R x 12 ln2 13 12 14、 xy 33 15、解： O 为空间四面体 A BCD 内任意一点，连接 AO、 BO、 CO、 DO 并延长交对面于/ / / /, , ,A B
13、 C C ，则 / / / / / / / 1O A O B O C O DA A B B C C D D 三、解答题 :本大题共 6 小题 ,满分 80 分 ,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16（本 题满分 13 分） 16.解： （ 1）由 0mn 得 ( ) ( ) ( ) 0a c a c b b a 2 2 2a b c ab -2分 由余弦定理得 2 2 2 1c o s 2 2 2a b c a bC a b a b -4分 0 C 3C -6分 (2) 3C 23AB sin sinAB = 2sin sin( )3AA 22s i n s i n c o s c
14、 o s s i n33A A A 33sin co s22AA 313 ( sin c o s )22AA3 sin( )6A -9 分 20 3A 56 6 6A 1 sin( ) 126A 3 3 s in ( ) 326A 即 3 sin sin 32 AB.-13 分 17解 ：（）四边形 DCBE 为平行四边形 /CD BE DC 平面 ABC BE 平面 ABC 时间 频率 /组距 4 0.02 5 6 7 8 9 10 O 0.06 0.10 0.14 0.18 0.22 0.26 0.30 0.32 EAB 为 AE 与平面 ABC 所成的角，即 EAB -1 分 在 R A
15、BE 中，由 3tan 2BEAB , 2AB 得 3BE -2 分 AB 是圆 O 的直径 BC AC 22 3A C A B B C 1322ABCS A C B C -3分 13C A B E E A B C A B CV V S B E 1 3 133 2 2 -4分 （ 2） 证明： DC 平面 ABC ,BC 平面 ABC DC BC -5 分 BC AC 且 DC AC C BC 平面 ADC DE/BC DE 平面 ADC -7 分 又 DE 平面 ADE 平面 ACD 平面 ADE -8 分 （ 3） 在 CD 上存在点 M ，使得 MO 平面 ADE ，该点 M 为 DC
16、的中点 -9 分 证明如下： 如图，取 BE 的中点 N ，连 MO、 MN、 NO， M、 N、 O 分别为 CD、 BE、AB 的中点， MN/DE -10 分 DE 平面 ADE， MN 平面 ADE， MN/平面 ADE -11 分 同理可得 NO/平面 ADE MN NO N ，平面 MNO/平面 ADE -12 分 MO 平面 MNO， MO 平面 ADE -13 分（ 其它证法请参照给分） 18（本 题满分 14 分） 解 :（ ） 频率分布直方图 如右图所示 . 4分 （ ） 睡眠时间 小于 8 小时 的概率是 0 . 0 4 0 . 2 6 0 . 3 0 0 . 2 8 0
17、 . 8 8p . 8分 （ ） 首先要理解直到型循环结构图的含义 ,输入 11,mf的值后 , 由赋值语句 : iiS S m f 可知 ,流程图进入一个求和状态 . 令 ( 1, 2 , , 6 )i i ia m f i ，数列 ia 的前 i 项和为 iT ，即 : 6 4 . 5 0 . 0 4 5 . 5 0 . 2 6 6 . 5 0 . 3 0 7 . 5 0 . 2 8T 8 .5 0 .1 0 9 .5 0 .0 2 6 .7 0 -11分 则输出的 S 为 6.70. S 的统计意义即是指参加调查者的平均睡眠时间 , 从统计量的角度来看 ,即是睡眠时间的期望值 . 13分
18、 19 解： （ I） 设所求椭圆是 22 1( 0 )xy abab （ 1分） 由题意得2 2 22412acaa b c 3 分 解得 2, 3, 1a b c （ 5 分） 所以椭圆方程为 22143xy （ 5 分） （ ）直线 l 方程为 2y kx，则 P 的坐标为 2( ,0)k （ 6 分） 设 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y则 11( , )C x y ， 直线 BC 方程为 112 1 2 1 ,y y x xy y x x 令 0y ，得 Q 的横坐标为 1 2 2 1 1 2 1 21 2 1 22 2 ( )( ) 4x y x y
19、k x x x xx y y k x x （ 8 分） 又 221432xyy kx 得 22( 3 4 ) 1 6 4 0 .k x k x 得 12 212 21634434kxxkxx k ，（ 9 分） 代入 得228 2 1 6 2 4 21 6 4 ( 3 4 ) 1 2k k kxkkk ， （ 11 分） 得 2| | | | | | 2 4pQO P O Q x x kk ， | | | |OP OQ 为常数 4 （ 13 分） 20（本 题满分 14 分） 解： （） 由 211() 1 (1 )tf x t xxx ，得 则 22 4 3( 1 ) 2 ( 1 ) 21(
20、) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )t x t x x t xfx x x x 2分 0x ， 当 xt 时， ( ) 0tfx ；当 xt 时， ( ) 0tfx ， 当 xt 时， ()tfx取得最大值 1() 1tft t 4分 （） 由题意知 11 1 2 23nn n n nS S S S n ， 即 11 nnna a n 5分 1 1 2 3 2 2n n n n na a a a a a a a 1 2 2 1 2 22 2 2 5 2 2 2 2 1 2 2 1 3n n n n n n 6分 检验知 1n 、 2 时，结论也成立，故 21nna . 7分 所以 12102
21、1nn nnb a ，令 1 02nt，则212 1 1 1( ) ( )1 (1 ) 2 nnf x xxx ， 由 （） 可知， 1122 1 1 2( ) ( ) 12 2 112nnnnnnnf x f b . 对任意的 0x ，不等式12 ( ) ( 1 2 )n nb f x n， ，成立 . 9分 （）由（）知，对任意的 0x ，有 21 2 1 1 222 2 121 1 1 1( ) ( ) ( ) 1 ( 1 ) 2 2 2nn nnb b b f x f x f x n xxx 10 分 令21 1 1 02 2 2 n nx ，则 21111 1 1 1 1 122 1
22、12 2 2 212nnnx nnn 12 分 则 2212 111 111122nnnn n nb b bnnn 原不等式成立 14分 21解 ：（ 1）矩阵 A 的特征多项式为 )6)(1(6542 51)( 2 f 2 分 令 0)( f ，得矩阵 A 的特征值为 6,1 21 3 分 对于特征值 ,11 解相应的线性方程组 052 052 yx yx得一个非零解 25yx， 因此， 251是矩阵 A 的属于特征值 11 的一个特征向量。 5 分 对于特征值 ,61 解 相应的线性方程组 022 055 yx yx得一个非零解11yx， 因此， 112是矩阵 A 的属于特征值 61 的一个特征向量。 7 分 （ 2）点 P 的轨迹是上半圆： 2 21 1( 0)x y y 2 分 点 P 的轨迹是直线 : 10l x y 4 分 所以 max 52PQ 7 分 （ 3）设 | | | 2 |y x a x ，则 min 2ya 3 分 因为不等式 | | | 2 | 1x a x 对 xR 恒成立 5 分 所以 21a，解得： 3, 1aa或 7 分
