1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年高中毕业班 理科数学 第一次联考 试题 数学试题（理） 1、本试卷分选择题和非选择题两部分 ,共 10 页 (其中试题卷 4 页 ,答题卷 6 页 ),共 150 分 ,考试时间 120 分钟 ; 2、 请在答题卷上书写解答 ,在试题卷上解答的无效 . 参考公式 : 如果事件 A、 B 互斥 ,那么球的表面积公式 P(A+B) P(A)+P(B) S 4 R2 如果事件 A、 B 相互独立 ,那么 P(A B) P(A) P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率 是 P,那么 n 次独立重复试 验中恰好 发生 k 次的概率 Pn(k) Ck
2、n Pk(1 P)n k(k 0,1,2 ,n) 球的体积公式 V 43 R3其中 R 表示球半径 一、选择题：请将唯一正确答案的编号填入答卷中，本题共 12 题，每题 5 分，共 60 分。 1已知向量 ,ab，则 22“ab 是 ab 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2.设集合 1,2,3I ，选择 I 的两个非空子集 A和 B，要使 B中最小的数大于中 A最大的数，则不同的选择方法共有 A 3种 B4 种 C5种 D6种 3.复数 212miZ i 的实部与虚部互为相反数，则实数 m的值为 A 2 B23 C3 D 23 4.奇函数
3、 f(x)在区间 ( ,0) 上单调递减， f(2)=0 则不等式 (x-1)f(x+1)0 的解集为 A( 2, 1) (1,2) B( 3,1) (2, ) C ( 3, 1) D( 2,0) (2, ) 5.设各项均为实数的等比数列 na 的前 n项为 nS ，若 10 3010, 70SS，则 40S = A.150 B-200 C150 或 -200 D400 或 -50 6.若 sin 2 cos 5aa，则 A12 B2 C 12 D-2 7.已知 AB为半圆的直径， P为半圆上一点，以 A,B 为焦点，且过点 P做椭圆，当点 P在半圆上移动时，椭圆的离心率有 A 最大值 12
4、B最小值 12 C最大值 22 D最小值 22 8.设函数 11( ) ( 0 )xxf x xx ，给 f(x)一个定义，使 f(x)在点 x=0 处连续，则 f(0)的值为 A 0 B-1 C 1 D12 9在正四面体 S-ABC 中， E 为 SA 的中点， F 为 ABC 的中心，则直线 EF 与面 ABC 所成的角的大小为 A 1arccos2 B 045 C 3arccos 3 D 060 10、已知函数 3( ) 2 , ( )xf x y g x的图像与 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称，若mn=16(m0,n0)，则 g(m)+g(n)的值为 A -2 B1 C 4
5、D10 11已知 ()fx是函数 ( ) sinf x x 的导数，要得到 (2 )3y f x 的图像，只需将 y=f(2x)的图像 A向左平移个 6 个单位 B 向右平移 56 个单位 C向左平移 3 个单位 D向左平移 512 个单位 12.已知坐标 原点为 O， A,B 为抛物线 2 4yx 上异于 O的两点，且 0OAOB ，则 |AB 的最小值为 A4 B8 C16 D64 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分。 13.二项式131()2x x的展开式中常数项为 _. 14.若实数 x,y满足条件 1 0 , 1 0 , 1 0x y y x y ，那么 2x-
6、y的最大值为 _. 15.同室 A,B,C,D 四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课 至少有一人选修，且 A,B不选修同一门课，则不同的选法有 _种。 16.已知 ABC 的三个顶点在以 O为球心的球面上，且 22cos 3A ,BC=1,AC=3.若球的表面积为 16 ，则 A,B两点的球面距离是 _. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 10分） 已知函数 ( ) s i n ( ) ( 0 , 0 )f x x 是 R 上的偶函数，其图像关于点 3( ,0)4 对称，且在区 间 0,2上是单调函数，求
7、和 的值。 18.甲，乙，丙，丁四人参加一家公司的招聘面试。公司规定面试合格者可签约。甲、乙面试合格就签约 ;丙，丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是 23 ，且面试是否合格互不影响。求： （ 1）至少有三人面试合格的概率； （ 2）恰有两人签约的概率； （ 3）签约人数的数学期望。 19 如图所示，四棱锥 P-ABCD 中， ,P B A B C D C D P D底 面 底面 ABCD 为直角梯形，, , 3A D B C A B B C A B A D P B 平 行 ,点 E在棱 PA上，且 PE=2EA. （ 1） 求异面直线 PA与 CD所成的角； （
8、 2） 求证： PC平行平面 EBD; （ 3） 求二面角 A-BE-D 的平面角的余弦值。 20.已知函数 1 ln ( 1)( ) ( 0 )xf x xx （ 1） 函数 f(x)在区间 (0, ) 上是增函数还是减函数？证明你的结论。 （ 2） 若当 x0时， () 1kfx x 恒成立，求正整数 k的最大值。 21.若椭圆 22 1( 0xy abab ）的左右焦点分别为 12,FF，线段 12FF 被抛物线 2 2y bx 的焦点分成 3:1 的两段，过点 C(-1,0)且以向量 (1, )( 0)a k k为方向向量的直线 l 交椭圆于不同两点 A,B，满足 2AC CB (1)
9、求椭圆的离心率； (2)当三角形 OAB的面积最大时，求椭圆的方程。 22.已知各项都不为零的数列 na 的前项和是 nS ，且 *11 ()2n n nS a a n N， 1 1a ,令12(2 1)(2 1)nnnan aab ，数列 nb 的前项和是 *()nT n N . （ 1） 求 na 的通项公式 na （ 2） 求证： *121 ( )nn T T T n n N . 2009 年河南省六市高中毕业班第一次联考 数学试题（理）参考答案及评分标准 一 BCDCA CDCCA DB 二 13.7； 14.1； 15.30； 16. . 三 . 解： ()fx 是 R 上的偶函数，
10、且 0 ， 2 , ( ) s i n ( ) c o s2f x x x 3 分 又 图像关于点 3 ,04对称， 3( ) 04f 即 33c o s 0 , ,4 4 2k k Z 42,33k k Z 6分 又 f(x)在 0,2上是单调函数 , ,2 0 0 2 即 4 2 10 2 , 1 ,3 3 2k k k Z 012 23kk 或或 10 分 . 解 :(I)设“至少有 3人面试合格”为事件 A， 3 3 4 4442 1 2( ) ( ) ( )3 3 31627P A C C则 4分 () 设“恰有两人签约”为事件 B “甲、乙两人签约，丙 、丁两人都不签约”为事件 1
11、B “甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件 2B 则： 12B B B 2122( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 21 ( ) ( )3 3 3 3 3 3827P B P B P B （ III）有题意得 的分布如下： 0 1 2 3 4 P 581 2081 2481 1681 1681 209E 19、 解：（）.P B A B CDP B D CD B D 底 面 ， C D P D ,CD 面在直角梯形 ABCD 中 ,AB=AD=3, 6BC 取 BC 的中点 F，连接 PF,AF，则 AF/CD P A A F P A F和 所 成 的 角 就 是 异 面 直 线
12、PA 和 CD 所 成 的 角 2分 03 2 .60P A F A F P A P FPAF 在 中 ， 即 异 面 直 线 PA 和 CD 所 成 的 角为 060 4分 （）连接 AC 交 BD 于 G，连 EG, 12AG ADGC BD 又 1 , / /2A E A G A E P C E GE P G C E P 又 , , / / .E G E B D P C E B D P C E B D 面 面 面 8 （ III） ,.P B A B C D A D P B 面 又 ,A D A B A D E A B 面 作 ,A H B E H垂 足 为 ， 连 接 DH, 则 D
13、H B E平 面 角 。在 0s in 4 5 3 55, 5A B A EA B E B E A H BE 中 ， 。 在22 3 3056c os6R T A D H D H A D A HAHA H DDH 中 ， 6二 面 角 A-BE-D 的 余 弦 值 为 6 12 . 解：（ 1） 221 1 1( ) 1 l n ( 1 ) l n ( 1 ) .11xf x x xx x x x 210 0 , 0 , l n( 1 ) 0 ,1( ) 0 , ( ) 0.x x xxf x f x 因 此 函 数 在 区 间 上 是 减 函 数 。 4 （ 2） x0时， ( 1 ) 1
14、l n ( 1 ) ) ( )1 xxkf x h x kxx 恒 成 立 ， 即 对 x0 恒 成 立 ， 即 h(x)(x0)的最小值大于 k. 21 l n ( 1 )( ) , ( ) 1 l n ( 1 ) ( 0 )( ) 0 , ( ) 0 , ( 2 ) 1 l n 3 0 , ( 3 ) 2 2 l n 2 0 .1xxh x g x x x xxxg x g x g gx 记则 在 上 单 调 递 增 ， 又( ) 0gx 存 在 唯 一 实 根 ， 且 满 足 （ 2 ， 3 ） ， = 1 + l n ( + 1 ) , ( ) 0 , ( ) 0 ,0 ( ) 0 ,
15、 ( ) 0 , ( ) ( 0 ) ( ) 1 3 , 4 ,3.x g x h xx g x h x h x x h k 当当 时 ， 知 的 最 小 值 为 因 此 正 整 数 的最 大 值 为 12 21.解： :( )由题意知： 3 ( ),22bbc c b c 即 22e 4 ( ) 222122e b a 设椭圆方程为 2220ya 2x 依题意知直线 l 的方程为： y=k(x+1) 2220ya 2由 y=k(x+1) 和 x消 y 得 2 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 0k x k x k a 设 21 1 2 2 1 2 24( , ) , ( , ) 12 kA
16、 x y B x y x x k 1 122 2 3A C CB x x 2 由 1 2 得 22123 2 3 2,1 2 1 2kkxx 1 2 1 2 21 | | 3 | | | | | ( 0 )2 2 1 23 3 3 21 4222 | |O A BkkS y y x x kkk k 当且仅当 22k 时， OABS 取最大值 324 此时， 121, 2xx (1, 2 )AA点 的 坐 标 为 将点 A 的坐标代入 2220ya 2x 得： 2a =5 故椭圆方程为 ： 225y2x 22.解：（）当 n=1 时，1 1 1 212a S a a，由 21, 2aa得 当1
17、1 1112 22n n n n n n nn a S S a a a a 时 ， 由，得 11( ) 2n n n na a a a 由 1102n n na a a 得 故 21 1 ( 1 ) 2 2 1 ( )na n n n N 又由 2 2a 得 2 2nan 故 na =n（ *nN ） 6 （ II）由（） na =n 得12(2 1)(2 1)nn nnb 111( 2 1) ( 2 1)n nnb 12 111 21nn nT b b b * 1 211212 2122 1 1 2 2 2 2 0111 1 12 2 1111211( 1 )1 1 1 22()12 2 21211121n n nnnnnnnn nnnnNTT T T nT T T n nnnn T T T n 又即故
