1、 09年 高中毕业班 理科数学 适应性考试 试卷 注意事项： 1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名； 2.本试卷分为第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分，全卷满分 150分，考试时间 120分钟 . 临界值表 2 0()P K k 0.50 0.40 0.25 0.16 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第卷 （选择题 共 50分） 一 .选择题（本大题共
2、 10小题，每小题 5分，共 50分 . 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的） 1 设 0 1, 2, 3, 4, 5U ， , 1,3,5A , 2 20B x x x ,则 ()UAB A B 34， C 13,5， D 2,45， 2 已知 ,ab都是实数 ,那么“ ab ”是“ 22 ba ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 若 i 是虚数单位 ,且 复数 12aiz i 为实数 ,则实数 a 等于 A 2 B 12 C 12 D 2 4 函数 tan( )42yx的部分图像 如图所示 ,则 ()OA OB AB A 6 B
3、4 C 4 D 6 5 在 2032x x的展开式中 ,x 的幂指数是整数的项共有 A 3 项 B 4 项 C 5 项 D 6 项 6. 以下五个命题 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样 样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度 在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 在回归直线方程 101.0 xy 中，当解释变量 x每增加一个单位时，预 报变量 y 增加 0.1个单位 在一个 2 2列联表中，由计算得 k2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是 90%以上 . 其中 正确 的是 A B C
4、D 7 在直角坐标系中，若不等式组 0,2,( 1) 1yyxy k x 表示一个三角形区域 ,则实数 k 的取值范围是 A ( , 1) B ( 1,2) C ( , 1) (2, ) D (2, ) 8 一个不透明圆锥体的正视图和侧视图（左视图）为两全等的正三角形 .若将它倒立放在桌面上，则该圆BB A y x 1 O 第 4题图 锥体在桌面上从垂直位置倒放到水平位置的过程中 ,其在水平桌面上正投影 不可能 是 9.已知可导函数 /( ) ( ) ( ) ( )f x x R f x f x满 足，则当 0a 时， ( ) (0)af a e f和 大小关系为 （ A） ( ) (0)af
5、 a e f （ B） ( ) (0)af a e f （ C） ( ) (0)af a e f （ D） 0feaf a 10 已知函数 1( ) lg ( )2 xf x x有两个零点 21,xx ，则有 A. 021 xx B. 121 xx C. 121 xx D. 10 21 xx 第卷 （非选择题 共 100 分） 二填空题（本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分，将答案填在题后的横线上） 11 命题“ xR , 2 10x ”的否定是 _ _. 12、积分 12011 dxx 的值等于 13.已知 na 是公比为实数 q 的等比数列，若 7 1a ，且 4 5 6, 1,a
6、a a 成等差数列，则 q 14设双曲线 122 nymx 的一个焦点与抛物线 281xy 的焦点相同，离心率为 2，则此双曲线的渐近线方程为 。 15、已知 O是 ABC 内一点，连接 AO、 BO、 CO并延长交对边于 / / /,A B C ，则 / / / / / 1O A O B O CA A B B C C ，用“面积法”可以证明其正确；运用类比思想，对于空间四面体 A BCD 中，存在类似的一个结论是 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 13分） 已知向量 ( , )m a c b ， ( , )n a c b a
7、 ，且 0mn ，其中 ,ABC 是 ABC 的内角， ,abc分别是角 ,ABC 的对边 . (1) 求角 C 的大小； （ 2） 求 sin sinAB 的取值范围 . 17（本小题满分 13分） 如图， ABC内接于圆 O, AB 是圆 O的直径， 2AB ， 1BC ， 设 AE与平面 ABC所成的角为 ,且3tan 2 ,四边形 DCBE为平行四边形， DC 平面 ABC （ 1） 求三棱锥 C ABE的体积； （ 2） 证明： 平面 ACD 平面 ADE ； （ 3）在 CD上是否存在一点 M，使 得 MO 平面 ADE ？ 证明你的结论 18（本题满分 13分） “ 世界睡眠日
8、” 定在每年的 3 月 21 日 2009 年的世界睡 眠 日 主 题 是“ 科学管理睡眠 ”， 以提高公众对健康睡眠的自我管理能力 和科学认识 为此 某网站 2009 年 3 月 13 日到 3 月 20 日持续一周的在线调 查 ， 共有 200 人参加调查， 现 将数据 整理 分组如 题中 表 格所示 . （ ） 在答题卡给定的坐标系中画出频率分布直方图； （ ） 睡眠时间 小于 8 的概率是多少？（ ） 为了对序号 分组 组中值 （ im ） 频数 频率 （ if ） 开始 0S 数据进行分析，采用了计算机辅助计算 .分析中 一部分计算见算法流程图，求输出的 S 的值，并说明 S 的统计
9、意义 . （注 :框图中的赋值符号“ ”也可写成“ ”或“ : ”） 19（本题满分 13分） 如图，已知椭圆长轴长为 4， 离 心率为 1.2 过点 (0, 2) 的直线 l 交椭圆于 ,AB两点、交 x 轴于 P 点，点 A 关于 x 轴的对称点为 C ，直线 BC 交 x 轴于 Q 点。 （ I）求椭圆方程； （ ）探究： | | | |OP OQ 是否为常数？ 20（本题满分 13分） 已知函数211( ) ( )1 (1 )tf x t xxx ，其中 t 为常数，且 0t . （）求函数 ()tfx在 (0, ) 上的最大值； （）数列 na 中， 1 3a ， 2 5a ，其前
10、n 项和 nS 满足 1212 2 3nn n nS S S n ，且设 11n nb a， 证明：对任意的 0x ，12 ()nnb f x， 12n， ， ； （）证明： 212 1n nb b b n 21.本题有（ 1）、（ 2）、（ 3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分 . 如果多做，则按所做的前两题计分 .作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑，并将所选题号填入括号中 （ 1） （本小题满分 7分） 选修 4 2：矩阵与变换 设 42 51A，求 A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。 （ 2） （本小题满分 7分） 选
11、修 4 4：坐标系与参数方程 已知点 P 1 cos , sin ，参数 0, ，点 Q 在直线 10:2 c o s 4l 上，求 PQ 的最大值。 （ 3） （本小题 满分 7分） 选修 4 5：不等式选讲 若不等式 | | | 2 | 1x a x 对任意实数 x 均成立 ,求实数 a 的取值范围 2009年厦门六中高中毕业班适应性考试 数学（理科）试卷 评分标准 一、选择题：（每题 5分，共 50分） CACDB AACBD 二、填空题（每题 4分，共 20分） 11 2, 1 0x R x 12 ln2 13 12 14、 xy 33 15、解： O 为空间四面体 A BCD 内任意
12、一点，连接 AO、 BO、 CO、 DO 并延长交对面于 / / / /, , ,A B C C ，则/ / / / / / / 1O A O B O C O DA A B B C C D D 三、解答题 :本大题共 6小题 ,满分 80分 ,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16（本题满分 13分） 16.解： （ 1）由 0mn 得 ( ) ( ) ( ) 0a c a c b b a 2 2 2a b c ab -2分 由余弦定理得 2 2 2 1c o s 2 2 2a b c a bC a b a b -4分 0 C 3C -6分 (2) 3C 23AB sin sinAB
13、 = 2sin sin( )3AA 22s i n s i n c o s c o s s i n33A A A 33sin co s22AA 313 ( sin c o s )22AA3 sin( )6A -9分 20 3A 56 6 6A 1 sin( ) 126A 3 3 s in ( ) 326A 即 3 sin sin 32 AB.-13 分 17解 ：（）四边形 DCBE 为平行四边形 /CD BE DC 平面 ABC BE 平面 ABC EAB 为 AE 与平面 ABC所成的角，即 EAB -1分 在 R ABE中，由 3tan 2BEAB , 2AB 得 3BE -2分 AB是
14、圆 O的直径 BC AC 22 3A C A B B C 1322ABCS A C B C -3分 13C A B E E A B C A B CV V S B E 1 3 133 2 2 -4分 （ 2）证明： DC 平面 ABC ,BC 平面 ABC DC BC -5分 BC AC 且 DC AC C BC 平面 ADC DE/BC DE 平面 ADC -7分 又 DE 平面 ADE 平面 ACD 平面 ADE -8分 （ 3） 在 CD上存在点 M ，使得 MO 平面 ADE ，该点 M 为 DC 的中点 -9分 证明如下： 如图，取 BE 的中点 N ，连 MO、 MN、 NO， M、
15、 N、 O 分别 为 CD、 BE、 AB 的中点， MN/DE -10 分 DE 平面 ADE， MN 平面 ADE， MN/平面 ADE -11 分 同理可得 NO/平面 ADE MN NO N ，平面 MNO/平面 ADE -12 分 MO 平面 MNO， MO 平面 ADE -13分（其它证法请参照给分） 18（本题满分 14分） 解 :（ ） 频率分布直方图如右图所示 . 4分 （ ） 睡眠时间 小于 8 小时 的概率是 0 . 0 4 0 . 2 6 0 . 3 0 0 . 2 8 0 . 8 8p . 8分 （ ） 首先要理解直到型循环结构图的含义 ,输入 11,mf的值后 ,
16、由赋值语句 : iiS S m f 可知 ,流程图进入一个求和状态 . 令 ( 1, 2 , , 6 )i i ia m f i ，数列 ia 的前 i 项和为 iT ，即 : 6 4 . 5 0 . 0 4 5 . 5 0 . 2 6 6 . 5 0 . 3 0 7 . 5 0 . 2 8T 8 .5 0 .1 0 9 .5 0 .0 2 6 .7 0 -11分 则输出的 S 为 6.70. S 的统计意义即是指参加调查者的平均睡眠时间 , 从统计量的角度来看 ,即是睡眠时间的期望值 . 13分 19 解： （ I） 设所求椭圆是 22 1( 0 )xy abab （ 1分） 由题意得2 2
17、 22412acaa b c 3分 解得 2, 3, 1a b c （ 5分） 所以椭圆方程为 22143xy （ 5分） 时间 频率 /组距 4 0.02 5 6 7 8 9 10 O 0.06 0.10 0.14 0.18 0.22 0.26 0.30 0.32 （ ）直线 l 方程为 2y kx，则 P 的坐标为 2( ,0)k （ 6分） 设 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y则 11( , )C x y ， 直线 BC 方程为 112 1 2 1 ,y y x xy y x x 令 0y ，得 Q 的横坐标为 1 2 2 1 1 2 1 21 2 1 22
18、 2 ( )( ) 4x y x y k x x x xx y y k x x （ 8分） 又 221432xyy kx 得 22( 3 4 ) 1 6 4 0 .k x k x 得 12 212 21634434kxxkxx k ，（ 9分） 代入 得228 2 1 6 2 4 21 6 4 ( 3 4 ) 1 2k k kxkkk ， （ 11分） 得 2| | | | | | 2 4pQO P O Q x x kk ， | | | |OP OQ 为常数 4 （ 13分） 20（本题满分 14分） 解： （） 由 211() 1 (1 )tf x t xxx ，得 则 22 4 3( 1
19、) 2 ( 1 ) 21() ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )t x t x x t xfx x x x 2分 0x ， 当 xt 时， ( ) 0tfx ；当 xt 时， ( ) 0tfx ， 当 xt 时， ()tfx取得最大值 1() 1tft t 4分 （） 由题意知 11 1 2 23nn n n nS S S S n ，即 11 nnna a n 5分 1 1 2 3 2 2n n n n na a a a a a a a 1 2 2 1 2 22 2 2 5 2 2 2 2 1 2 2 1 3n n n n n n 6分 检验知 1n 、 2 时，结论也成立，故 21nna .
20、 7分 所以 121021nn nnb a ，令 1 02nt，则212 1 1 1( ) ( )1 (1 ) 2 nnf x xxx ， 由 （）可知， 1122 1 1 2( ) ( ) 12 2 112nnnnnnnf x f b . 对任意的 0x ，不等式12 ( ) ( 1 2 )n nb f x n， ，成立 . 9分 （）由（）知，对任意的 0x ，有 21 2 1 1 222 2 121 1 1 1( ) ( ) ( ) 1 ( 1 ) 2 2 2nn nnb b b f x f x f x n xxx 10 分 令21 1 1 02 2 2 n nx ，则 21111 1
21、1 1 1 122 112 2 2 212nnnx nnn 12 分 则 2212 111 111122nnnn n nb b bnnn 原不等式成立 14分 21解 ：（ 1）矩阵 A的特征多项式为 )6)(1(6542 51)( 2 f 2分 令 0)( f ，得矩阵 A的特征值为 6,1 21 3分 对于特征值 ,11 解相应的线性方程组 052 052 yx yx得一个非零解 25yx， 因此， 251是矩阵 A的属于特征值 11 的一个特征向量。 5分 对于特征值 ,61 解相应的线性方程组 022 055 yx yx得一个非零解11yx， 因此， 112是矩阵 A的属于特征值 61 的一个特征向量。 7分 （ 2）点 P的轨迹是上半圆： 2 21 1( 0)x y y 2分 点 P的轨迹是直线 : 10l x y 4分 所以 max 52PQ 7分 （ 3）设 | | | 2 |y x a x ，则 min 2ya 3分 因为不等式 | | | 2 | 1x a x 对 xR 恒成立 5 分 所以 21a，解得： 3, 1aa或 7分
