1、 专题检测（十 三 ） 点、直线、平面之间的位置关系 A卷 夯基保分专练 一、选择题 1已知 E， F， G， H是空间四点，命题甲： E， F， G， H四点不共面，命题乙：直线EF和 GH不相交，则甲是乙成立的 ( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析： 选 B 若 E， F， G， H四点不共面，则直线 EF和 GH肯定不相交，但直线 EF和 GH 不相交， E， F， G， H 四点可以共面，例如 EF GH，故甲是乙成立的充分不必要条件 2已知 m， n是两条不同的直线， ， 是 两个不同的平面，给出四个命题： 若 m， n ， n m，则
2、 ； 若 m ， m ，则 ； 若 m ， n ， m n，则 ； 若 m ， n ， m n，则 . 其中正确的命题是 ( ) A B C D 解析： 选 B 两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况， 不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行， 正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故 正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线 也平行，故 不正确 3.如图，在三棱锥 P ABC中，不能证明 AP BC的条件是 ( ) A AP PB， AP PC B AP PB， BC PB C平面 BPC 平面 APC， BC PC D
3、 AP 平面 PBC 解析： 选 B A 中，因为 AP PB， AP PC， PB PC P，所以 AP 平面 PBC.又 BC 平面 PBC，所以 AP BC，故 A 正确； C 中，因为平面 BPC 平面 APC， BC PC，所以 BC 平面 APC.又 AP 平面 APC，所以 AP BC，故 C 正确； D 中，由 A 知 D 正确； B中条件不能判断出 AP BC，故选 B. 4已知 ， 表示两个不同平面， a， b表示两条不同直线，对于下列两个命题： 若 b ， a，则 “ a b” 是 “ a ” 的充分不必要条件； 若 a ， b ，则 “ ” 是 “ a 且 b ” 的充
4、要条件 判断正确的是 ( ) A 都是真命题 B 是真命题， 是假命题 C 是假命题， 是真命题 D 都是假命题 解析： 选 B 若 b ， a， a b，则由线面平行的判定定理可得 a ，反过来，若b ， a， a ，则 a， b 可能平行或异面，则 b ， a， “ a b” 是 “ a ” 的充分不必要 条件， 是真命题；若 a ， b ， ，则由面面平行的性质可得 a ， b ，反过来，若 a ， b ， a ， b ，则 ， 可能平行或相交，则 a ， b ，则 “ ” 是 “ a ， b ” 的充分不必要条件， 是假命题，选项 B 正确 5.(2017惠州三调 )如图是一几何体的平
5、面展开图，其中四边形 ABCD为正方形， E， F分别为 PA， PD的中点，在此几何体中，给出下面 4 个结论： 直线 BE与直线 CF异面； 直线 BE与直线 AF异面； 直线 EF 平面 PBC； 平面 BCE 平面 PAD. 其中正确 的有 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解析： 选 B 将展开图还原为几何体 (如图 )，因为 E， F分别为 PA，PD 的中点，所以 EF AD BC，即直线 BE 与 CF 共面， 错；因为B平面 PAD， E 平面 PAD， EAF，所以 BE与 AF是异面直线， 正确；因为 EF AD BC， EF平面 PBC， BC 平
6、面 PBC，所以 EF 平面 PBC， 正确；平面 PAD与平面 BCE不一定垂直， 错故选 B. 6在下列四个正方体中，能得出异面直线 AB CD的是 ( ) 解析： 选 A 对于 A，作出过 AB的平面 ABE，如图 ，可得直线 CD与平面 ABE垂直，根据线面垂直的性质知， AB CD 成立，故 A 正确；对于 B，作出过 AB 的等边三角形 ABE，如图 ，将 CD平移至 AE，可得 CD与 AB所成的角等于 60，故 B 不成立；对于 C、 D，将 CD平移至经过点 B的侧棱处，可得 AB， CD所成的角都是锐角，故 C 和 D均不成立故选 A. 二、填 空题 7.如图， DC 平面
7、 ABC， EB DC， EB 2DC， P， Q分别为 AE，AB的中点则直线 DP与平面 ABC的位置关系是 _ 解析： 连接 CQ，在 ABE 中， P， Q 分别是 AE， AB 的中点，所以 PQ綊 12EB.又 DC綊 12EB，所以 PQ綊 DC，所以四边形 DPQC为平行四边形，所以 DP CQ.又 DP平面 ABC， CQ 平面 ABC，所以DP 平面 ABC. 答案： 平行 8.如图， ACB 90， DA 平面 ABC， AE DB交 DB于 E， AFDC 交 DC 于 F，且 AD AB 2，则三棱锥 D AEF 体积的最大值为_ 解析： 因为 DA 平面 ABC，所
8、以 DA BC，又 BC AC， DA AC A，所以 BC 平面 ADC，所以 BC AF.又 AF CD， BC CD C，所以 AF 平面 DCB，所以 AF EF， AF DB.又 DB AE， AE AF A，所以 DB 平面 AEF，所以 DE 为三棱锥 D AEF的高因为 AE为等腰直角三角形 ABD斜边上的高，所以 AE 2，设 AF a，FE b，则 AEF的面积 S 12ab 12a2 b22 122212，所以三棱锥 D AEF的体积 V1312 2 26 (当且仅当 a b 1 时等号成立 ) 答案： 26 9.如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱长为 2， A
9、C BC 1， ACB 90， D是 A1B1的中点， F是 BB1上的动点， AB1， DF 交于 点 E.要使 AB1 平面 C1DF，则线段 B1F的长为 _ 解析： 设 B1F x，因为 AB1 平面 C1DF， DF 平面 C1DF，所以 AB1 DF. 由已知可以得 A1B1 2， 设 Rt AA1B1斜边 AB1上的高为 h，则 DE 12h. 又 2 2 h 22 22， 所以 h 2 33 ， DE 33 . 在 Rt DB1E中， B1E 22 2 33 2 66 . 由面积相等得 66 x2 22 2 22 x，得 x 12. 即线段 B1F的长为 12. 答案： 12
10、三、解答题 10 (2017江苏高考 )如图，在三棱锥 A BCD中， AB AD， BC BD，平面 ABD 平面 BCD，点 E， F(E与 A， D不重合 )分别在棱 AD， BD上，且 EF AD. 求证： (1)EF 平面 ABC； (2)AD AC. 证明： (1)在平面 ABD内，因为 AB AD， EF AD， 所以 EF AB. 又因为 EF平面 ABC， AB 平面 ABC， 所以 EF 平面 ABC. (2)因为平面 ABD 平面 BCD， 平面 ABD 平面 BCD BD， BC 平面 BCD， BC BD， 所以 BC 平面 ABD. 因为 AD 平面 ABD， 所以
11、 BC AD. 又 AB AD， BC AB B， AB 平面 ABC， BC 平面 ABC， 所以 AD 平面 ABC. 又因为 AC 平面 ABC， 所以 AD AC. 11如图，在直角梯形 ABCD中， ADC 90， CD AB， AD CD 12AB 2，将 ADC沿 AC折起，使平面 ADC 平面 ABC，得到几何体 D ABC. (1)求证： AD 平面 BCD； (2)求三棱锥 C ABD的高 解： (1)证明：由已知得 AC 2 2， BC 2 2，又 AB 4， AC2 BC2 AB2， AC BC. 又 平面 ADC 平面 ABC， BC 平面 ACD， AD BC. 又
12、 AD CD， BC CD C， AD 平面 BCD. (2)由 (1)得 AD BD， S ADB 12 2 2 3 2 3， 三棱锥 B ACD的高 BC 2 2， S ACD 12 2 2 2， 13 2 3h 13 2 2 2，解得 h 2 63 . 三棱锥 C ABD的高为 2 63 . 12 (2017安徽名校阶段性测试 )如图所示，正方形 ABCD所在平面与圆 O所在平面相交于 CD，线段 CD为圆 O的弦， AE垂直于圆 O所在平面，垂足 E是圆 O上异于 C， D的点， AE 3，圆 O的直径 CE9. (1)求证：平面 ABE 平面 ADE； (2)求五面体 ABCDE的体
13、积 解： (1)证明： AE垂直于圆 O所在平面， CD 圆 O所在平面， AE CD. 又 CD DE， AE DE E， AE 平面 ADE， DE 平面 ADE， CD 平面 ADE. 在正方形 ABCD中， CD AB， AB 平面 ADE. 又 AB 平面 ABE， 平面 ABE 平面 ADE. (2)连接 AC， BD，设正方形 ABCD的边长为 a，则 AC 2a， 又 AC2 CE2 AE2 90， a 3 5， DE 6， VB ADE 13BAS ADE 13 3 5 12 3 6 9 5. 又 AB CD， CD 平面 CDE， 点 B到平面 CDE的距离等于点 A到平面
14、 CDE的距离，即 AE， VB CDE 13AES CDE 13 3 12 3 5 6 9 5， 故 VABCDE VB CDE VB ADE 18 5. B卷 大题增分专练 1 (2017全国卷 )如图，在四棱锥 P ABCD中， AB CD，且 BAP CDP 90. (1)证明：平面 PAB 平面 PAD； (2)若 PA PD AB DC， APD 90，且四棱锥 P ABCD的体积为 83，求该四棱锥的侧面积 解： (1)证明：由 BAP CDP 90， 得 AB AP， CD PD. 因为 AB CD，所以 AB PD. 又 AP PD P， 所以 AB 平面 PAD. 又 AB
15、 平面 PAB，所以平 面 PAB 平面 PAD. (2)如图所示，在平面 PAD内作 PE AD，垂足为 E. 由 (1)知， AB 平面 PAD， 故 AB PE， 可得 PE 平面 ABCD. 设 AB x，则由已知可得 AD 2x， PE 22 x. 故四棱锥 P ABCD的体积 VP ABCD 13ABADPE 13x3. 由题设得 13x3 83，故 x 2. 从而 PA PD AB DC 2， AD BC 2 2， PB PC 2 2. 可得四棱锥 P ABCD的侧面积为 12PAPD12PAAB12PDDC12BC2sin 60 6 2 3. 2 (2017北京高考 )由四棱柱
16、 ABCD A1B1C1D1截去三棱锥 C1 B1CD1后得到的几何体如图所示四边形 ABCD为正方形， O为 AC与 BD的交点， E为 AD的中点， A1E 平面 ABCD. (1)证明： A1O 平面 B1CD1； (2)设 M是 OD的中点，证明：平面 A1EM 平面 B1CD1. 证明： (1)取 B1D1的中点 O1，连接 CO1， A1O1， 因为 ABCD A1B1C1D1是四棱柱， 所以 A1O1 OC， A1O1 OC， 因此四边形 A1OCO1为平行四边形， 所以 A1O O1C， 因为 O1C 平面 B1CD1， A1O平面 B1CD1， 所以 A1O 平面 B1CD1
17、. (2)因为 E， M分别为 AD， OD的中点， 所以 EM AO. 因为 AO BD， 所以 EM BD， 又 A1E 平面 ABCD， BD 平面 ABCD， 所以 A1E BD， 因为 B1D1 BD， 所以 EM B1D1， A1E B1D1， 又 A1E 平面 A1EM， EM 平面 A1EM， A1E EM E， 所以 B1D1 平面 A1EM， 又 B1D1 平面 B1CD1， 所以平面 A1EM 平面 B1CD1. 3 (2017泰安模拟 )如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， E为AD的中点， F为 B1C1的中点 (1)求证： A1F 平面 ECC1； (2
18、)在 CD上是否存在一点 G，使 BG 平面 ECC1？若存在，请确定点 G的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由 解： (1)证明：如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，取 BC 的中点 M，连接 AM， FM， 所以 B1F BM且 B1F BM， 所以四边形 B1FMB是平行四边形， 所以 FM B1B且 FM B1B. 因为 B1B A1A且 B1B A1A， 所以 FM A1A且 FM A1A， 所以四边形 AA1FM是平行四边形，所以 A1F AM. 因为 E为 AD的中点， 所以 AE MC且 AE MC. 所以四边形 AMCE是平行四边形， 所以 CE AM，所
19、以 CE A1F. 因为 A1F平面 ECC1， EC 平面 ECC1， 所以 A1F 平面 ECC1. (2)在 CD上存在一点 G，使 BG 平面 ECC1. 证明如下：取 CD的中点 G，连接 BG. 在正方形 ABCD中， DE GC， CD BC， ADC BCD， 所以 CDE BCG， 所以 ECD GBC. 因为 CGB GBC 90， 所以 CGB DCE 90，所以 BG EC. 因为 CC1 平面 ABCD， BG 平面 ABCD， 所以 CC1 BG.又 EC CC1 C， 所以 BG 平面 ECC1. 故当 G为 CD的中点时，满足 BG 平面 ECC1. 4 (20
20、17郑州第二次质量预测 )如图，高为 1 的等腰梯形 ABCD中， AM CD 13AB1.现将 AMD沿 MD折起，使平面 AMD 平面 MBCD，连接 AB， AC. (1)在 AB边上是否存在点 P，使 AD 平面 MPC? (2)当点 P为 AB边的中点时 ，求点 B到平面 MPC的距离 解： (1)当 AP 13AB时，有 AD 平面 MPC. 理由如下： 连接 BD交 MC于点 N，连接 NP. 在梯形 MBCD中， DC MB， DNNB DCMB 12， 在 ADB中， APPB 12， AD PN. AD平面 MPC， PN 平面 MPC， AD 平面 MPC. (2) 平面 AMD 平面 MBCD，平面 AMD 平面 MBCD DM， AM DM， AM 平面 MBCD. VP MBC 13 S MBC AM2 13 12 2 1 12 16. 在 MPC中， MP 12AB 52 ， MC 2， 又 PC 12 2 12 52 ， S MPC 12 2 52 2 22 2 64 . 点 B到平面 MPC的距离为 d 3VP MBCS MPC3 1664 63 .
