1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年 高三数学 上册 期末考试 试题 一、选择题： (每小题 5 分，共 60 分 ) 1.已知条件 p ： 2|1| x ，条件 q ： 131 x ，则 p 是 q 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件 2.下列函数图象 ,经过平移或翻折后不能与函数 xy 2log 的图象重合的函数是 ( ) A. xy 2 B. xy 5.0log C. 24xy D. 11log2 xy3.若把函数 )(xf 的图像按 )2,3( a 平移后得到 xy cos 的图像，则 )(xf 解析式为 ( ) A. 2)
2、3cos( xyB. 2)3cos( xyC. 2)3cos( xyD. 2)3cos( xy4.已知 na 是等差数列 , 1 15a , 5 55S ,则过点 2(3, )pa, 4(4, )Qa的直线的斜率为 （ ） A 4 B 14 C 4 D 14 5.若 2,2, 22,xy x yxy则 的取值范围是 （ ） A 2， 5 B 2， 6 C 3， 6 D 3， 5 6.已知向量 )sin2,cos2( a ， )1,0(),2( b ，则向量 a 与 b 的夹角为（ ） A 23 B 2 C 2 D 7.在 ABC 中， ,abc 分别为 ,A B C 的对边。如果 ,abc 成
3、等差数列 30,B 且ABC 的面积为 23 ，那么 b =（ ） A 231 B 31 C 232 D 32 8. 51c o ss i n ,0 ，则tan1 tan1的值为（ ） A.71B.7 C. 71 D. 7 9.已知等比数列 na 中， 12a ，则其前 3 项的和 3S 的取值范围是（ ） A. 1,( B. )0,( ),1( C. ),3 D. 1,( ),3 10.双曲线 93 22 xy 的渐近线方程是 （ ） A y 3 x B y 31x C y 3 x D y 33 x 11.已知互不相等的正数 a、 b、 c 满足 222a c bc ，则下列不等式中 可能
4、成立的是（ ） A abc B bac C bca D cab 12.已知 函数 xxf x2lo g)31()( ，正实数 a、 b、 c 成公差为正数的等差数列，且满足 f (a) f (b)f (c)b； dc 中 有可能 成立的为 ( ) A B C D 二、填空题： (每小题 5 分，共 20 分 ) 13.奇函数 )(xf 的反函数是 )(1 xf ，若 aaf )( ，则 )()( 1 afaf =_. 14. 已知 10 ,1 01 ,1)( xx xxxf，则 使 1)()( xfxf 成 立 的 x的 取 值 范 围是 . 15. 椭圆 221x my的焦点在 y 轴上，长
5、轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为 _. 16. 已知 ABC 的顶点 B )0,3( 、 C 3,0 ， E 、 F 分别为 AB 、 AC 的中点， AB 和 AC 边上的中线交于 G ，且 5| GF |+ | GE |= ，则点 G 的轨迹方程为 三、解答题：（共 70 分） 17.（本小题满分 10 分） 求函数 )62s in (sin2 2 xxy 的最小正周期和最小值，并求出该函数在 ,0 上的单调递减区间。 18.（本小题满分 10 分） 设 1)( xaxf （ a0， a1） . （ 1）求 )(1 xf ； （ 2）当 1a 时，解 x的不等式 )()(2 11 axf
6、xf 19.（本小题满分 12 分） 已知数列 na 的首项为 1 10a ，前 n 项和为 nS ，且点 )1,( 1nSnS nn在直 pxy 上， p 为常数， *Nn （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）若 10S 是 nS 中的一个最大项，求 p 的取值范围 . 20.（本小题满分 12 分）设椭圆 C： )0(12222 babyax 的左焦点为 F，上顶点为 A，过A 与 AF 垂直的直线分别交椭圆 C 与正半轴于点 P、 Q，且 PQAP 58 （ 1）求椭圆 C 的离心率； （ 2）若过 A、 Q、 F 三点的圆恰好与直线 l ： 033 yx 相切，求椭圆 C 的方
7、程 21 (本小题满分 12 分 ) （理）已知数列 an、 bn满足：211 1,1,41 nnnnn abbbaa . (1) 求证：数列 11 nb是等差数列，并求出数列 an的通项 an； (2) 设 1 2 2 3 3 4 1.n n nS a a a a a a a a ，若 4 nnaS b 对于 nN* 恒成立， 试求实数 a 的取值范围 . (文 ) 等差数列 na 的各项均为正数， 1 3a ， 前 n 项和为 nS ， nb 为等比数列 , 1 1b ，且2264,bS 33960bS (1)求 na 与 nb ； (2)求和：121 1 1nS S S 22.（本小题满
8、分 14 分） (理 )已知函数 xaxxxf ln1)( ， (1)讨论函数 )(xf 的单调性； (2)a=1 时，求 )(xf 在 2,21上的最大值和最小值；（ )7.2e (3)a=1 时，求证：对大于 1 的正整数 n ，nnn 11ln . (文 )已知定义在 R 上的函数 )3()( 2 axxxf ，其中 a 为常数 . (1)若 1x 是函数 )(xf 的一个极值点，求 a 的值； (2)若函数 )(xf 在区间（ 1， 0）上是增函数，求 a 的取值范围； (3)若函数 2,0),()()( xxfxfxg ，在 0x 处取得最大值，求 正数 a 的取值范围 . 2009
9、 届高三上学期期末数学试题 答案 一、选择题： (每小题 5 分，共 60 分 ) BCBCB ABDDC BD 二、填空题： (每小题 5 分，共 20 分 ) 13. 0 14. 1,0()21,1 15. 4116. )0(11625 22 yyx 三、解答题：（共 70 分） 17（本小题满分 10 分） 求函数 )62s in (sin2 2 xxy 的最小正周期和最小值，并求出该函数在 ,0 上的单调递减区间。 解： 1)62s i n (12c o s212s i n2 32c o s212s i n2 32c o s1 xxxxxxy 函数 的最小正周期为 ，最小值为 0 由
10、2326222 kxk ，解得 Zkkxk ,653 即此函数的减区间为 65,3 kk ， Zk 此函数在 ,0 上的单调递减区间为 65,3 18 （本小题满分 10 分） 设 1)( xaxf （ a0， a1） . （ 1）求 )(1 xf ； （ 2）当 1a 时，解 x的不等式 )()(2 11 axfxf 解：（ 1）由 11 xay ，得 1yax ， )1(log yx a 故 )1(log)(1 xxf a ，（ 1x ） （ 2） 1a )1(lo g)1(lo g2 axx aa 可化为 1)1(01012 axxaxx 0)2(12 xaxax 当 21 a 时， 0
11、21)1(2 aaaa 即 aa 12 021 xaxa 或 当 2a 时， ax 1 当 2a 时， 201 axxa 或 19.（本小题满分 12 分） 已知数列 na 的首项为 1 10a ，前 n 项和为 nS ，且点 1( , )1nnSSnn在直线 y x p 上， p 为常数， nN （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）若 10S 是 nS 中的一个最大项，求 p 的取值范围 解：（ 1）由题意可知 11nnSS p 数列 nSn 是等差数列 1 ( 1)1nS S npn ， 1 ( 1)nS na n np 当 2n 时， 11( 1 ) ( 2 ) ( 1 )nS
12、n a n n p 两式相减，得 12 2 ( 2 )na p n a p n 又 1n 时也成立 na 的通项公式为： 2 1 0 2na p n p （ 2） 10S 最大， 则有 101100aa 021022 021020 pp pp解得 1529p 20 （本小题满分 12 分）设椭圆 C： )0(12222 babyax 的左焦点为 F，上顶点为 A，过 A 与 AF 垂直的直线分别交椭圆 C 与 x轴 正半轴于点 P、 Q，且 PQAP 58 （ 1）求椭圆 C 的离心率； （ 2）若过 A、 Q、 F 三点的圆恰好与直线 l ： 033 yx 相切，求椭圆 C 的方程 解：（
13、1）设 ),( 11 yxP ， )0,( 0xQ ，由 F（ c,0） , A(0,b），知 ),(),( 0 bxAQbcFA ,AQFA ,020 bcx 得 .20 cbx 由 PQAP 58 得cbxx13858158 201 ，bby 1355811点 P 在椭圆上， 1)135()138(2222 b bacb ，整理得 acb 32 2 即 0232 ,3)(2 222 eeacca ，解得 21e 故椭圆的离心率 21e （ 2）由（ 1）知 acb 32 2 ，得 acb 232 ，又 ac 21 ，于是 )0,23(),0,21( aQaF 所以 AQF 的外接圆的圆心为
14、 )0,21( a ，半径 aFQr |21 所以 aa 2 |321| ，解得 2a ， 3,1 bc 故所求椭圆方程为 134 22 yx 21 (本小题满分 12 分 ) （理）已知数列 an、 bn满足：211 1,1,41 nnnnn abbbaa . (1) 求证：数列 11 nb是等差数列，并求出数列 an的通项 an； (2) 设 1 2 2 3 3 4 1.n n nS a a a a a a a a ，若 4 nnaS b 对于 nN* 恒成立， 试求实数 a 的取值范围 . 21解： （ 1）由 .11 nnnn abba 得 依题意21 1 nnn abb nnn n
15、aaa a 1 1)1)(1( 1411 ,43 41.111111 111 1111111111bbaaaaabb nnnnnn 11 nb是以 4 为首项，以 -1 为公差的等差数列 3)1)(1(411 nnb n ， *32 Nnnnbn 而 *31 311 Nnnanbannn （ 2） 13221 nnn aaaaaaS 2221 1 1( 1 3 ) ( 2 3 ) ( 2 3 ) ( 3 3 ) ( 3 ) ( 4 )1 1 1 1 1 14 5 5 6 3 4 4 ( 4 )2 ( 1 ) ( 3 6 ) 844 3 ( 3 ) ( 4 ): ( 1 ) ( 3 6 ) 8
16、0 . ( ) ( 1 ) ( 3 6 ) 8 .1 , ( ) 3 8 0nnnnnn n na n n a n a na S bn n n na n a n f n a n a na f n n 依 题 意 可 知 恒 成 立 令时 恒 成 立*1 , ( ) 0 .3 6 3 11 , ( ) ( 1 ) 0 .2 ( 1 ) 2 1( ) ( ) 0 .15( 1 ) 0 , . 4 1 5 0 . , 1 .414 nna f naa f x xaaf n n N f n n Nf a a aa a S b 时 由 二 次 即 数 性 质 知 不 可 能 恒 成 立时 二 次 函 数
17、 对 称 轴 为在 上 单 调 递 减 ， 要 使 对 恒 成 立必 须 且 只 须 即 故综 上 所 述 时 恒 成 立（文） （ 1） 12 1, 8 nnna n b ；（ 2） 3 2 32 ( 1)( 2)nnn 22（本小题满分 14 分）已知函数 xaxxxf ln1)( ， (1)讨论函数 )(xf 的单调性； (2)a=1 时，求 )(xf 在 2,21上的最大值和最小值；（ )7.2e (3)a=1 时，求证：对大于 1 的正整数 n ，nnn 11ln . 解：（ 1） )(xf 的定义域为 ),0( 且2211)( x axaxaxxf ， 当 0a 时， )(xf 在
18、 ),0( 上单调递增； 当 0a 时， )(xf 在 )1,0( a 上单调递减，在 ),1( a 上单调递增 （ 2）当 1a 时， 由 ,01)(2 xxxf得 1x x 21 )1,21( 1 (1,2) 2 )(xf 0 + )(xf 121ln 0 212ln 故 0)1()( m in fxf 。 又 2 16lnln2ln223)2()21(,2ln21)2(,2ln1)21( 3 effff ， 166 8 3.197.2 33 e ， 0)2()21( ff ， )2()21( ff ， )(xf 在 2,21上最大值是 )21(f = 2ln1 ， 最小值是 0)1( f （ 3）当 a=1 时， xx xxf ln1)( 在 ),1 是增函数。 1ln11ln1 111 n nnn nn nnnn nf当 1n 时， 11111 nn n ， 0)1()1( fn nf ， 故 nnn 11ln 。 （文）（ 1） 2a ；（ 2） 2a ；（ 3） 65a
