1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09届高三 理科 数学 质量检查 试题 2009-5-4 第 I卷（选择题 共 50分） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1函数 )64sin(2 xy 的图象的两条相邻对称轴间 的距离为 （ ） (A)8 (B) 4 (C) 2 (D) 2若复数 34s in ( c o s )55zi 是纯虚数，则 tan 的值为 ( ) A 34 B 43 C 34 D 34 3如图，程序框图所进行的求和运算是（ ） A 12 + 14 + 16 + + 120 B 1 + 13 +
2、15 + + 119 C 1 + 12 + 14 + + 118 D 12 + 12 2 + 12 3 + + 12 10 4 由曲线 2yx 和直线 10, 1, 4x x y 所围成的封闭图形的面积为（ ） A 14 B 13 C 12 D 23 5在 ABC 中，角 A， B所对的边长为 ,ab，则“ ab ” 是“ cos cosa A b B ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 6已知直线 3yx与圆 222xy相交于 ,AB两点， P 是优弧 AB 上 任意一点，则 APB =（ ） A 23 B 6 C 56 D 37等差数列 na
3、 的前 n项和为 nS ，若 5 35S ，点 A（ 3， 3a ）与 B（ 5， 5a ） 都在斜率为 2的直线 l 上，则直线 l 在第一象限内所有整点（横、纵坐标都是整数的点）的纵坐标的和为 （ ） A 16 B 35 C 36 D 32 开始 s = 0,n = 2 n 21 是 否 s = s + 1n n = n + 2 输出 s 结束 8在北京奥运会中，外语学院的 3 名男生与 2 名女生志愿者被随机安排到 3 个不同运动场馆担任翻译，每个场馆至少一位志愿者，则恰好仅有 1男 1女两位志愿者被安排到同一场馆的概率是（ ） A 427B 625C 320D 3109 在数列 na
4、中，若 1 1 11 , 3 0 ( 2 , N )n n n na a a a a n n ，则通项 na 是 A 213n B 23n C 121n D 132n 10.过直线 xy 上的一点 P 作圆 2)1()5( 22 yx 的两条切线 BAll , 21 为切点 ,当直线 21,ll 关于直线 xy 对称时，则 APB A 30 B 45 C 60 D 90 第卷（非选择题 共 100分） 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分， 把答案填在答 案卷 相应位置。 11.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： cm），可得这个几何体的体积是 cm3
5、 12市场上有一种“双色球”福利彩票，每注售价为 2 元，中奖概率为 6 %，一注彩票的平均奖 金额为 15元如果小王购买了 10注彩票，那么他的期望收益是 _元 13在平面内有 ( 3, *)n n n N条直线，其中任何两条直线不平行，任何三条直线不过同一点，若这 n 条直线将平面分成 ()fn个 部分，则 (5)f =_, ()fn的表达式为 _. 14 在区间（ 0， 2）内任取两数 m， n()mn ，则椭圆 221xymn的 离心率大于 32 的概率为 _ 15 已知等差数列 na 中，有 11 12 20 1 2 3010 30a a a a a a ， 则在等比数列 nb 中，
6、会有类似的结论 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16（本小题满分 13 分） 已知数列 an、 bn满足： a1=1， a2=a（ a 为实数），且1 nnn aab ，其中 n=1， 2， 3， （）求证：“若数列 an是等比数列，则数列 bn也是等比数列”是真命题； （）写出（）中命题的逆命题；判断它是真命题还是假命题，并说明理由 . 17（本小题满分 13 分）已知盒中有大小相同的 3 个红球和 t 个白球，从盒中一次性取出 3 个球，取到白球个数的期望为 56 .若每次不放回地从盒中抽取一个球，一直到抽出所有白球时停止抽取，设 X
7、 为停止抽取时取到的红球个数， （）求白球的个数 t； （）求 X 的数学期望 . 18（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 E ABCD中 ， AB 平面 BCE， CD 平面 BCE， AB=BC=CE=2CD=2， BCE=120 0， F为 AE中点 . () 求证：平面 ADE 平面 ABE ； () 求二面角 A EB D的大小的余弦值 ； （ ）求点 F到平面 BDE的距离 。 19（本小题满分 13 分） 如图，曲线 1C 是以原点 O为中心、 12,FF为焦点的椭圆的一部分，曲线 2C 是以 O为顶点、 2F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线 1C 和 2C 的交点且
8、21AFF 为钝角，若1 72AF，2 52AF， （）求曲线 1C 和 2C 的方程； （）过 2F 作一条与 x 轴不垂直的直线，分别与曲线 12CC、 依次交于 B、 C、 D、 E 四点，若 G为 CD中点、 H为 BE中点，问22BE GFCD HF 是否为定值？若是 求出定值；若不是说明理由。 20（本小题满分 14 分） 已知函数 )0(21)(,ln)( 2 abxaxxgxxf （ 1）若 2a 时，函数 )()()( xgxfxh 在其定义域内是增函数， 求 b的取值范围； （ 2）设函数 )(xf 的图象 C1 与函数 )(xg 的图象 C2 交于 P,Q两点，过线段 P
9、Q的中点 R作 x轴的垂线分别交 C1、 C2于 M、 N两点，问是否存在点 R，使 C1 在 M处的切线与 C2 在 N 处的切线平行？若存在，求出 R 的横坐标；若不存在，请说明理由。 21本题（ 1）、（ 2）、（ 3）三个选答题，每题 7分，请考生任选 2题作答，满分14分如果多做，则按所做的前两题计分 。 （ 1）（本小题满分 7分）选修 4-2；矩阵与变换 A B C D E F 已知二阶矩阵 A的属于特征值 1的一个特征 向量为 13，属于特征值 3的一个特征向量为 11，求矩阵 A （ 2）（本小题满分 7分）选修 4-4，坐标系与参数方程 选定了极点、极轴、长度单位、角度正向
10、的坐标系统叫做极坐标系。已知圆 M过图中 A、 D、 G 三点 (AD EF),试建立适当的极坐标系， 并求出 该圆的 极坐标方程。 （ 3）（本小题满分 7分）选修 4-5；不等式选 讲 关于 x 的二次方程 2 6 | 2 | | 2 1 | 0x x a a 有实根，求 a 的取值范围 莆田一中 2009届高三质量检查 理科 数学 试题参考解答及评分标准 2009-5-4 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5分，共 50 分 1 B 2 C 3 A 4 A 5 A 6 B 7 C 8 B 9 D 10 C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题 4分，共 20 分
11、。 11.4312.-9.8 元 13 2 2( 5 ) 1 6 , ( ) 2nnf f n 14 12 15 30 302110 201211 bbbbbb 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.解：（ I）因为 na 是等比数列， 121 ,0,1 nn aaaaaa 又 ,2111 aaabaab nnn 2 分 .21121211 aaaaaaa aabb nnnnnnnnnn nb 是以 a 为首项， 2a 为公比的等比数列 . 6 分 （ II）（ I）中命题的逆命题是：若 nb 是等比数列，则 na 也是等比数列，是假命题
12、 . 8 分 设 nb 的公比为 q 则 0,21211 qqaaaa aabbnnnnnnnn 且 又 aaa 21 ,1 , 12531 naaaa 是以 1 为首项， q 为公比的等比数列， naaaa 2642 , 是以 a 为首项， q 为公比的等比数列 . 10 分 即 na 为 1， a， q， aq， q2， aq2， 但当 q a2 时， na 不是等比数列 故逆命题是假命题 . 13 分 17（）期望为 5633 tt ，所以 2t ，即盒中有 3个红球， 2 个白球 3分 （） 由题可得 X 的取值为 0， 1， 2， 3. 4分 )0(XP 1012522 AA, )1
13、(XP35221312AACC=51 , )2(XP10345332312 A ACC, )3(XP 52554412 AAC 10分 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 101 51 103 52 E(X ) = 2565351 12分 答： 白 球的个数为 2， X 的数学期望为 2 13分 18解法 1： () 证明 ： 取 BE的中点 O， 连 OC， OF， DF， 则 2OF/BA 2分 AB 平面 BCE， CD 平面 BCE， 2CD /BA， OF/CD， OC FD 4 分 BC=CE， OC BE， 又 AB 平面 BCE. OC 平面 ABE. FD 平面 A
14、BE. 从而平面 ADE 平面 ABE. 6分 () 二面角 A EB D与 二面角 F EB D相等 ， 由 () 知 二面 角 F EB D的平面角为 FOD。 BC=CE=2, BCE=120 0， OC BE 得 BO=OE= 3 ， OC=1， OFDC为正方形 ， FOD=450， 二面角 A EB D 的余弦值为 22 . 10分 （ ） OFDC为正方形 ， CF OD， CF EB， CF 面 EBD， 点 F到平面 BDE的距离 为 12 FC， 点 F到平面 BDE的距离 为 22 . 13分 解法 2：取 BE的中点 O，连 OC. BC=CE, OC BE， 又 AB
15、平面 BCE. 以 O为原点建立如图空间直角 坐标系 O xyz， 则由已知条件有 : 0, 3,2A ， 0, 3,0B ， 1,0,0 ,C 1,0,1 ,D 0, 3,1 ,E 0,0,1F 2分 设平面 ADE的法向量为 1 1 1,n x y z ， 则由 n EA 1 1 1, , 0, 2 3 , 2x y z 112 3 2 0.yz 及 n DA 1 1 1, , 1, 3 ,1x y z 1 1 13 0 .x y z 可取 n 0,1, 3 4分 又 AB平面 BCE， AB OC， OC平面 ABE， 平面 ABE的法向量可 取为 m 1,0,0 . n m 0,1,
16、3 1,0,0 =0, n m ，平面 ADE平面 ABE. 6分 A B C E F D O A B C E F D O x y z （）设平面 BDE的法向量为 2 2 2,p x y z ， 则由 p ED 2 2 2, , 1, 3 ,1x y z 2 2 23 0 .x y z 及 p EB 2 2 2, , 0 , 2 3 , 0x y z 22 0.y可取 p 1,0, 1 7分 平面 ABE的法向量可取为 m 1,0,0 8分 锐 二面角 A EB D的余弦值 为 cos ,mp | | | |mpmp= 22 ， 9分 二面角 A EB D的余弦值为 22 。 10 分 （
17、） 点 F到平面 BDE的距离为 | | 22|OF pp . 13分 19解：（）设椭圆方程为 12222 byax ，则 a2 6252721 AFAF， 得 3a 2分 设 )0,(),0,(),( 21 cFcFyxA ，则 222 )27()( ycx ， 222 )25()( ycx ， 两式相减得 23xc ，由抛物线定义可知 252 cxAF， 则 23,1 xc 或 23,1 cx （舍去） 所以椭圆方程为 189 22 yx ，抛物线方程为 xy 42 。 5分 另解：过 1F 作垂直于 x 轴的直线 cx ，即抛物线的准线， 作 AH 垂直于该准线，作 xAM 轴于 M
18、，则由抛物线的定义得 AHAF 2 ， 所以 2212121 AHAFMFAFAM 62527 222221 AFAF 2162522 MF， 得 2212521 FF，所以 c 1， 8222 cab 所以椭圆方程为 189 22 yx ， 抛物线方程为 xy 42 。 （）设 ),(),(),(, 44332211 yxDyxCyxEyxB ，直线 )1( xky ， 代入 189 22 yx 得： 0729)1(8 22 yky ，即 06416)98( 222 kkyyk ， 则2221221 98 64,98 16 kkyykkyy 7 分 同理，将 )1( xky 代入 xy 42
19、 得： 0442 kyky ， 则 4,44343 yykyy， 8分 所以22HFCD GFBE 24324322122121434321)()()()(|21|21|yyyyyyyyyyyyyyyy 31644)98()16(98644)98()16(4)()()(4)(22222222224324324322121221 kkkkkkkkyyyyyyyyyyyy为定值。 13 分 20 21（ 1） 解：设 A= abcd， 由题知 abcd13= 13， abcd11=311即313333abcdabcd ， 4 分 2130abcdA= 21307 分 （ 2）解 略。 建系 4分，求方程 3分。 （ 3） 解 3 6 | 2 | | 2 1 | 0 ,aa 原 方 程 有 实 根 ， 2分 | 2 | | 2 1 | 91 1 8( 1 ) 2 2 1 9 ,2 2 311( 2 ) 2 2 1 2 9 , 0 22210( 3 ) 2 2 1 2 9 , 2381 2 33aaa a a aa a a n aa a a aa 当 时 ，当 时 ，当 时 ，10综 上 所 述 ， 由 （ ） （ ） （ ） 得 的 取 值 范 围 - ，3 7 分
