1、 09届高考文科数学最后一次模拟考试 数学（文科） 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1设集合 2| 1 , | 1M x x P x x ，则下列关系中正确的是 A M=P B M P P C M P M D M P P 2如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是 边 长为 1 的正三角形， 俯视图是一个圆，那么这个几何体的 侧面积 为 A 4 B 24 C 22 D 12 3右面是一个算法的程序框图，当输入的值 x 为 5 时，则其输出的结果是 A 2 B 0 5 C 1
2、 D 0 25 4复数 121 , 3 4 ,z bi z i 且 12zz 为 纯 虚数，则实数 b 等于 A 1 B 43 C 34 D -1 5目标函数 2z x y，变量 ,xy满足0400xyxyx ，则 z 的最大值是 A 8 B 4 C 2 D 0 6在荷兰，为了要了解总统选举中之候选人支持度，而举办民意调查，四家报社各自进行全国性的民调。这四家报社的民调结果如下：报社 1： 36 5%（在 1 月 6 日进行民调，对象为随机抽样 500 个有投票权的国民）；报社 2： 41 0%（在 1 月 20 日进行民调 ，对象为随机抽样 500 个有投票权的国 民 ）；报社 3： 39
3、0%（在 1 月 20 日进行民调，对象为随机抽样 1，000 个有投票权的国民）；报社 4： 44 5%（在 1 月 20 日进行民调，对象为 1， 000 个进行电话投票的读者）。假如选举是在 1 月 25 日，则哪一家报社的民调结果最能够预测总统的支持度？ A 报社 1 B 报社 2 C报社 3 D报社 4 7若抛物线 2 2y px 的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则 p 的值为 A -2 B 2 C -4 D 4 8已知命题 5: , si n 2p x R x 使 ；命题 2: , 1 0q x R x x 都 有 。下列结论中正确的是 A 命题 “pq ”是真命题 B命题
4、 “pq ”是真命题 C命题 “ pq”是真命题 D命题 “ pq ”是假命题 9已知函数 ( ) c o s s in ( )f x x x x R,给出下列四个命题； 若 1 2 1 2( ) ( ) ,f x f x x x 则； ()fx的最小正周期是 2 ； ( ) , 4fx 在 区 间 - 4上是增函数； ()fx的图像关于直线 34x 对称，其中真命题的是 A B C D 10 从 3 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为 A 110 B 15 C 45 D 910 11已知向量 1, 3 , ( 3 , )a b x ，且
5、 ab与 的夹角为 60，则 x A 0, 3 B 2 C 3 D 2, 0 12热水瓶出厂前，要经过保温性能测试，其测试方法是：将 100 的热水装入水瓶，加上盖，再测量水温，如果经过 24 小时以后，水温不低于 60 ，则算合格产品，准许出厂，否则为不合格产品。已知，合格水瓶的水温与降温时间 t 的函数关系是 20 80 tye ；现将100 的热水装入水瓶，加上盖，经过 12 小时以后，再测量水温，试问：对于合格产品，水温不应低于多少？ A 70 5 B 76 5 C 80 D 82 5 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：（本大 题共 4 小题，每小题 4 分，共 16
6、 分，请将答案直接填在答题卡上。 13已知函数3lo g ( 0 )() 2 ( 0 )x xxfx x ，则 1 ( )9ff 14为了解中学生喜爱打篮球是否与性别有关，随机对 50 名中学生进行了问卷调查，通过计算，可得 2x 的值为 8 333，则有 %的把握认为喜爱打篮球与性别有关。下面的临界值表共参考： 2()px k 0 15 0 10 0 05 0 025 0 010 0 005 0 001 k 2 072 2 706 3 841 5 024 6 635 7 879 10 828 15函数 ( ) sinf x cox t x在 ( , )63上是增函数，则 t 的取值范围是 。
7、 16定理：已知 O A B、 、 三点不共线，若点 P 在直线 AB 上，且 12OP OA OB ， 2 11则 ，类比该定理进行研究，可以得出：已知 O A B、 、 三点不共线，若点 PO、 在直线 AB 同侧（点 P 不在直线 AB 上），且 12OP OA OB ，则 三 、解答题、 17（本小题满分 12 分） ABC 中，角 A B C、 、 所对的边长分别是 a b c、 、 ，且 1cos 4AB AC ， , （ I） 求 2sin cos 22BC A 的值； （ II） 若 4, 6a b c ，试求 ABC 的面积 18（本小题满分 12 分） 右图是某市有关部门根
8、据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布 直方图，已知图中第一组的频数为 4000，请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在 1000,1500） （ I） 求样本中月收入在 2500,3500）的人数； （ II） 为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析，则月收入在 1500， 2000）的这段应抽多少人？ （ III） 试估计样本数据的中位数。 19（本小题满分 12 分） 已知 ABC 是腰长为 2 的等腰直角三角形（如图 1）， 90BCA ，在 边
9、 ,ACAB 上分别取点 EF， ，使得 /EF BC ，把 AEF 沿直线 EF 折起，使 AEC =90，得四棱锥A ECBF （如图 2）。在四棱锥 A ECBF 中， （ I） 当 AE EC 时，试在 AB 上确定一点 G，使得 /GF AEC面 ,并证明你的结论。 （ II） 当点 E 在何处时，四棱锥 A ECBF 的体积最大？ 20（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) , ( ) (f x ax g x Inx a为常数） （ I） 求函数 ()y f x g x极值； （ II） 试就 a 的不同取值，研究直线 ()f x ax g x Inx与 的交点 个数 。 21
10、（本小题满分 12 分） 为彻底根治港口淤积并提高吞吐能力，某港口规划如下：从明年起开始投资 10000 万元进行港口改造，港口改造 需用时 3 年，在此期间边改造边运营，收入测算：港口改造期间，第一年为 400 万元，接着 2 年，每年都比上一年增长 50%；三年改造结束后，每年比上一年逐年递增 200 万元。设明年为第一年，从明年开始的第 n 年收入为 na 万元，试按测算： （ I） 写出 na 关于 n 的函数关系式； （ II） 从明年开始至少经过多少年（精确到年）才可以收回投资成本？（可参考数据：31.5 3.375 ） 22（本小题满分 14 分） 已知椭圆2 2:13xCy（
11、I） 求椭圆 C 上的动点 M 到定点 (1,0)P 距离的最小值。 （ II） 设直线 l 与椭圆 C 交于 A， B两点，且 0OA OB,试判断直线 l 与圆 2234xy的位置关系。 福州一中 2009 年高考模拟考试题 数学（文科）答案卷 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A C B C D C D D C B 二、填空题 13 14 ； 14 99.5 15 3t 16 121 三、解答题 17 解：（ I）依题意得： 2 2 21c o s , s i n c o s 2 c o s 2 c o s 14 2 2B C AA
12、A A 21 c o s 12 c o s 124A A ； （ II） 1 15c os , sin ,44AA 由 得 2 11 6 ( ) 2 2 , 8 ,4b c b c b c b c 故 ABC 的面积为 12 sin 15bc A 18解：（ I） 月收入在 1000,1500) 的概 率为 0.0008 500 0.4，且有 4000 人， 样本的容量 4000 10000.4n ，月收入在 1500,2000) 的频率为 0.0004 500 0.2，月收入在 2000,2500) 的频率为 0 . 0 0 0 3 5 0 0 0 . 1 5，月收入在 3500,4000)
13、的频率为0 .0 0 0 1 5 0 0 0 .0 5， 月收入在 2500,3500) 的频率为： 1 (0 .4 0 .2 0 .1 5 ) 0 .2 ， 样本中月收入在 2500,3500) 的人数为 0.2 10000 2000。 （ II） 月收入在 1500,2000) 的人数为 0 .2 1 0 0 0 0 2 0 0 0, 再从 10000 人用分层抽样方法抽出 100 人，则月收入在 1500,2000) 的这段应抽取 2000100 2010000（人） （ III）由（ 1）知月收入在 1000,2000) 的频率为： 0.4 0.2 0.6 0.5 样本数据的中位数为：
14、 0 . 5 0 . 41 5 0 0 1 5 0 0 2 5 0 1 7 5 00 . 0 0 0 4 （元） 19 解：（ I）取 AB 中点 G，可得 |GF 面 AEC 证明如下：取 AC 中点 M，连结 GF、 EM、 GM，AF FB / 1,2E C E A E F B C G、 M 分别是 AB、 AC 的中点， / 12GM BC ， /EF GM ， 四边形 EFGM 是平行 四边形， | ,GF EMGF 面 ,AEC EM 面 AEC ， |GF 面 AEC （ II） 90BCA | , , 9 0E F B C A E E F A E C ， ,A EC AE 面B
15、CEF , 设 ,AE x 则 222 , , ( 2 ) , ( 2 ) , (0 , 2 )26B C E F A E C B FxxE C x E F x S x V x x x 设 2( ) ( 2 ) , ( 0 , 2 )6xf x x x x 则324 4 3( ) , ( ) ,66x x xf x f x 令 243( ) 0,6 xfx 得 2 3,3x 当 2 3,3x 时， ( ) 0fx ，当 2033x 时， ( ) 0fx ， ()fx 在2 33x 时取最大，即当点 E 满足 2 33AE 时，四棱锥 A ECBF 的面积最大。 20. 解：（ I）令 1( )
16、 ( ) ( ) , ( ) l n , ( ) ,F x f x g x F x a x x F x a x 令 ( ) 0, 1F x ax （ 1）当 0a 时，驻点是 1,a 当 1x a 时， ( ) 0Fx ；当 10 x a 时， ( ) 0Fx ， 1x a 是函数的极小值，且极小值为 11 lna ，函数无极大值点。 （ 2） 0,x当 0a 时， 1( ) 0F x a x ， ()Fx 是减函数，函数无极大值点。 （ II）令 lnln , ,xax x a x 设 ln( ) ,xpx x 则 21 ln( ) ,xpx x 令 ( ) 0,px 得 xe ，如下表 1( ) ,pe e当 xe 时， ( ) 0px 且 x 时， ( ) 0,px 而 0x ，且 0x 时， ( ) ,px 由此，作出函 数 ()px 的图像，根据 ()px 的图像可知： （ 1）当 1a e 或 0a 时，方程 lnxa x 有唯一解，即直线 ()f x ax 与 ( ) lng x x 的交点个数为 1； x (0, )e e (, )e ()px + 0 - ()px 递增 极大值 递减
