1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年 高考数学临考最后热身卷 这是一套在考前供考生进一步熟悉高考数学试题所需主要知识与方法的试卷，绝不是什么押题、猜题卷，本试卷对一些相对次要的内容也没有涉及（如函数零点、几何概型、统计初步、统计案例等），希望使用者注意。实际上高考数学试题是很难被我们原封不动命中的，解答高考数学试题是靠考生对考试大纲上所规定的基本知识、基本方法的熟练掌握以及分析问题、解决问题的能力，也可以说是对解题的迁移能力完成的，本试卷仅仅供高考考前热身只用！ 一 选 择题（每题 5 分，满分 60 分） 1 已知 i 是虚数单位， m 和 n 都是实数，且 niim 11)1(
2、 ，则 2009)( nim nim 等于（ ） A i B i C 1 D 1 【解析】 A 根据复数相等的充要条件 11mn ， 11m ni i im ni i，故2 0 0 9 2 0 0 9()m ni iim ni 【 考前寄语 】复数的考查重在概念与代数形式的四则运算，注意两个复数相等的充要条件、复数除法的运算规则 2.一个容器的外形是一个棱长为 2 的正方体，其三视图如图所示，则容器的容积为 （ ） A.8 B.2 C. D.23 【解析】 C 容器的内部是一个圆锥，高为 2 ，底面半径为 1，故其体积为 2121233 【 考前寄语 】三视图的规则是“长对正、高平齐、 宽相等
3、”，注意 实际几何体的 可见轮廓线在 三视图中是实线、不可见轮廓线是虚线 3 已知函数 ( ) s i n ( ) ( , 0 , 0 , | | )2f x A x x R A 的图象，（部分）如图所示，则 ()fx的解析式是 （ ） A ( ) 2 s i n ( ) ( )6f x x x R B ( ) 2 s i n ( 2 ) ( )6f x x x R C ( ) 2 s i n ( ) ( )3f x x x R D ( ) 2 s i n ( 2 ) ( )3f x x x R 【解析】 A 根据五点法作图的方法 15,3 2 6 ，解得 , 6 【 考前寄语 】三角函数的图
4、象反应了三角函数的性质，是高考重点考查的一个知识点 注意“五点法作图”规则的“逆用”，如本题中如果是用五点法作函数图 象，那么函数图象上点1,23中的 13 ，就是令 2x 求出来的， 13x 必然适合这个方程，同理 56x 适合方程 x 4 阅读右侧的算法框图，输出的结果 S 的值为 （ ） A 0 B 32 C 3 D 32 【解析】 A 该程序的功能是计算 2 2 0 0 9s i n s i n s i n3 3 3 的值，根据周期性，这个 算 式 中 每 连 续 6 个的值等于 0 ， 故 这 个 值 等 于 前 5 个 的 和 ， 即2345s i n s i n s i n s
5、i n s i n 03 3 3 3 3 【 考前寄语 】带有循环结构的程序框图中，其关键 作用是是计数变量和累加变量，在解题时要注意“循环变量的控制条件”和“累加变量的变化规律” 5 设全集 R ，若集合 | 2 | 3 , | 2 1 1 xA x x B x ，则 ()C AR 为 （ ） A 51| xx B | 1xx 或 5x C | 1xx 或 5x D 51| xx 【 解 析 】 C 2 3 3 2 3 1 5x x x ，故集合 1,5A ，2 1 1 2 1 1xx 或 2 1 1x ，即 22x 或 20x （无解），即 1x ，故集合 1,B ，集合 1,5AB ，故
6、 ( ) , 1 5 ,C A B R 【 考前寄语 】带有绝对值的不等式是山东的一个重要考点 同学们 要熟悉大纲要求的几类绝对值不等式的解法 6对于二项式 nxx )1( 3 （ *nN ），四位同学作出了四种判断： 存在 *nN ，展开式中有常数项； 对任意 *nN ，展开式中没有常数项； 对任意 *nN ，展开式中没有 x 的一次项； 存在 *nN ，展开式中有 x 的一次项 . 上述判断中正确的是 A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【解析】 C 展开式的通项公式是 41 r r nrnT C x ，故只要存在正整数 n 和自然数 r使40rn 即可，如 1, 4rn，故 存在 *
7、nN ，展开式中有常数项； 同理 存在 *nN ，展开式中有 x 的一次项 【 考前寄语 】二项式定理的 核心是 其 通项公式，同时要注意特殊值法在于二项式定理有关问题中的应用 7.若 cos 2 22sin( )4 ，则2log (sin cos )的值为 A 12 B 12 C 2 D 2 【 解 析 】 C 22c os 2 c os si n2si n( ) ( si n c os )42 22 ( c o s s in ) 2 ， 1sin cos 2 于是，22 1l o g ( s i n c o s ) l o g 22 【 考前寄语 】三角恒等变换主要是考查两角和、二倍角的正
8、弦、余弦和正切公式的应用，特别要注意二倍角的余弦公式及其各个变形的运用 8 若 ,abR ，命题 2:1p a b；命题 :q 直线 y ax b与圆 221xy相交，则 p 是 q 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】 A 命题 p 等价于22011abab，命题 q 等价于2 11ba 即 221ab，显然由命题 p 可得命题 q ，反之不真 【考前寄语】 解题时注意隐含条件的挖掘，如本题中 2:1p a b等价转化就需要把隐含的条件找出来 注意从集合的观点认识充要条件 9 设实数 ,xy满足 202 5 020xyxyy ，则 22xy
9、uxy的取值范围是 （ ） A 52,2 B 510 , 23 C 102, 3 D 1 ,44 【解析】 C 在坐标平面上点 ,xy 所表示的区域如图所示，令 yt x ，根据几何意义， t 的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然点 ,AB是其中的两个临界值，点 3,1A ，点 1,2B ，故 1 23 t ， 22 1xyutxy t ，这个关于 t 的函数在 1,13上单调递减、在 1,2 上单调递增，故其最小值为 2 ，最大值为两个端点值中的大者，计算知最大值为 103 【考前寄语】 线性规划类考题已经不仅仅局限在目标函数是线性的，但解决问题的思想方法是一致的，在解决这类问题时，
10、要注意分析目标函数，进行适当的转化 10. 已知函数 ln lnaxfx x 在 1, 上为减函数，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. 10 a e B.0 ae C.ae D.ae 【 解析 】 221 ( l n l n ) 1 ( l n l n ) x a x axxfx xx ，因为 fx在 1, 上为减函数，故 0fx 在 1, 上恒成立，即 ln 1 lnax 在 1, 上恒成立，等价于 ln 1 lnax 在 1, 上的最大值 设 1 lnxx ， max 1x ，故 ln 1a ， ae ，选答案 D 【 考前寄语 】如果是给出一个函数求其单调递减区间，我们只要解不等式
11、0fx 即可，但当已知一个函数在一 个指定 区间上单调递减时，必须是 0fx 在这个区间上恒成立、但不恒为 0 这类问题一般就是转化为一个不等式恒成立问题，这个不等式如果能分离参数、分离参数是一个有效的策略 11.在 ABC 中， 2AB ， 3BC ， 60ABC ， AD 为 BC 边上的高， O 为 AD 的中点，若 AO AB BC，则 的值为 A 23 B 34 C 56 D 1 【解析 】 A 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，知 | | 1BD ， | | 3AD ， | | 2DC ， 3(0, )2AO ， ( 1, 3)AB ， (3,0)BC ， AO AB BC，
12、3( 0 , ) ( 1 , 3 ) ( 3 , 0 )2 ，即30332 ，解得1216 ， 23 故选 A 【 考前寄语 】本题考查的是平面向量基本定理的应用，同 学们的一般心理是直接在三角形中寻找问题的答案，想不到建立坐标系、 通过向量的坐标运算解决，这个题目给大家提个醒，在适合建 立坐标系的情况下，向量问题用坐标解决更为方便 12. 将红、黑、白三个棋子放入如图所示的小方格内，每格内只放一个，且 3 个棋子既不同行也不同列，则不同的放法有（ ） A. 576 种 B. 288 种 C. 144种 D. 96 种 【解析】 A 问 题可以这样考虑，先在四行选一行、四列选一列，安放红色棋子
13、，有方法数114416CC ，这样还剩余三行三列，同样选一行一列安放黑色棋子，有方法数 11339CC ，同理白色棋子的安放方法数为 4 ，故总的方法数为 16 9 4 576 【 考前寄语 】有限制的排列、组合问题是高考考查的重点，解决这类问题要考虑特殊位置或特殊元素，一般是先解决这类特殊的问题 二 填空题（每题 4 分、共 16 分） 13.在 ABC 中， ,21ABABAC,23BABABC则 AB 的长为 【解析】 2 依已知条件 13c o s , c o s22b A a B，根据正弦定理得132 s i n c o s , 2 s i n c o s22R B A R A B，
14、两式相加得 2 sin 2R A B，即 2 sin 2RC ，即 2c 【 考前寄语 】正、余弦定理是高中数学的两个重要定理，注意这两个定理的变形 在涉及到三角形边角关系的题目中，正、余弦定理是实现边角转化的工具，要结合题目的具体环境，实现这个转化，但一般来说，把边的关系转化为角的关系、通过三角恒等变换解决问题是常用的思考方式 14 已知抛物线 )0(22 ppxy 焦点 F 恰好是双曲线 221xyab的右焦点，且两条曲线交点的连线过点 F ，则该双曲线的离心率为 . 【解析】 12 2p c ， 根据对称性，两曲线交点连线垂直于 x 轴，对双曲线这两个交点连线的长度是 22ba 、对抛物
15、线这两个交点连线的长度是 2p ，即 4c ，故 22 4b ca ，故2 2b ac ，即 222c a ac ，即 2 2 1 0ee ，解得 12e 【考前寄语】在求 椭圆、双曲线离心率的题目中，就是寻找 ,abc所满足的一个方程，只要这个方程找出来了，就可以将其转化为只含有 ,ac的方程，很多问题中这个关于 ,ac的方程是一个齐次方程，就可以通过把这个方程两端同除以 2a 等，把其转化为一个关于离心率 e 的方程，解这个方程就可以解决问题 要注意的是椭圆和双曲线中 ,abc关系是不同的 ，许多同学就是把这个关系弄错，导致解题失误的 15.曲线 1 ,1 xy y ex ，直线 1x 所
16、围成的区域的面积是 【 解析 】如图所示，这个面积等于定积分 1 100 1 l n ( 1 ) l n 2 11xxe d x e x ex 【考前寄语】 定积分 的主要考查点 就是利用微积分基本定理计算定积分和其在求曲边形面积中的应用 积分计算是导数计算的逆运算，解题时要根据导数公式检验积分运算 16 对于任意的实数 )0( aa 和 b ，不等式 |)2|1(| xxababa 恒成立，则实数 x 的取值范围是 【 解析 】 25,21 问 题 等 价 于 m in 12a b a b a x x ，而 2a b a b a b a b a ，故 2 1 2a a x x ，又 0a ，
17、故1 2 2xx ，根据绝对值的几何意义 x 的范围是 25,21 【 考前寄语】 绝对值三角不等式是山东的一个重要考点，本题 的 目的是让同学们会使用绝对值三角不等式 求最值再 举个例子，如求函数 25y x x 的最小值，就可以根据a b a b 直接解决 三 解答题 （本题满分 74 分） 17. （本小题满分 12 分） 如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎 建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有两面墙的夹角为 060 （即 60C ），现有可供建造第三面围墙的材料 6 米（两面墙的长均 大于 6 米），为了使得小老虎能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记 ABC
18、，问当 为多少时，所建造的三角形露天 活动室的面积最大？ 【 解 析】 在 ABC 中，sin sin sin ( )33A C A B B C ， 化简得 4 3 sinAC ， 4 3 sin ( )3BC ， 所以1 s in23ABCS A C B C 131 2 3 s in s in ( ) 1 2 3 s in ( s in c o s )3 2 2 2 1 c o s 2 36 3 ( sin 3 sin c o s ) 6 3 ( sin 2 )22 16 3 s in ( 2 )26 即 6 3 s i n ( 2 ) 3 36ABCS 所以当 2,62 即 3 时， ma
19、x()ABCS =93 答：当 60 时，所建造的三角形露天活动室的面积最大 【 考前寄语 】三角函数解答题 主要是以三角恒等变换为工具，综合考查三角函数的图象与性质，往往与平面向量的数量积、解三角形相结合，本题就是以一个简单的实际问题出发设计的一个考查三角形中的正弦定理、三角恒等变换、三角函数性质的题目，完整解答该题必须对三角恒等变换十分熟练 18.（本题满分 12 分） 某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验操作 . 规定：至少正确完成其中 2 题的便可通过 考查 . 已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确完成，
20、 2 题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是 23 ，且每题正确完成与否互不影响 . 求： （ 1） 分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； （ 2） 试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力 . 【解析】 （ 1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 、 ，则 取值分别为 1,2,3 ； 取值分别为 0,1,2,3 124236 1( 1) 5CCP C ， 214236 3( 2) 5CCP C ， 304236 1( 3) 5CCP C 考生甲正确完成题数的概率分布列为 1 3 11 2 3 25 5 5E )0(P 271)321( 303 C， 同理：
21、6( 1) 27P ， 12( 2) 27P， 278)3( P 考生乙正确完成题数的概率分布列为： 227832712227612710 E 1 2 3 p 51 53 51 0 1 2 3 p 271 276 2712 278 （ 2） 5251)32(53)22(51)12( 222 D ， 2 2 2 21 6 1 2 8 2( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 )2 7 2 7 2 7 2 7 3D （或 2 1 23 3 3 3D npq ） DD 8.05153)2( P ， 1 2 8( 2 ) 0 .7 42 7 2 7P ， ( 2) ( 2)PP 从
22、做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成 2 题的概率 考查 ，甲获得通过的可能性大 因此可以判断甲的实验操作能力较强 【 考前寄语 】理科的概率统计解答题，一般就是以实际问题为背景，综合考查概率计算、随机变量的期望与方差计算等问题的题目 其中的重要考查点是：通过排列、组合计算概率，通过事件的互斥（包括对立）、事件的相互独立性计算概率，通过二项分布模型计算概率，计算随机变量的分布列、期望与 方差，特别是二项分布的期望与方差 19. （本题满分 12 分） 已知函数 2 11xf x xx ，数列 na 满足 1 1a ， 1nna f a ， 2nnba
23、 （ 1）求证： *1 2 , 2na n n N； （ 2）求证： nb 是递减数列； （ 3）设 nb 的前 n 项和为 nS ， nS 与 47 是否有确定的大小关系，如果有给出证明，如果没有给出反例 【解析】 由已知数列 na 满足11 21, 1nn naaa a （ 1） 1 1a 得2 32a，故2 31 2a，假设 2n k k时， 12ka， 2 1 3ka ，1 1 13 1 2ka， 4 1 313 1 2ka ，则当 1nk时，1 11 1 21k ka a ，由数学归纳知对一切 2n 的正整数 12na都成立 （ 2） 112 22 2 2 11 112 2 2nn
24、n nnnnnn n naa a aabbaa a a ( 1 2 ) 2 2 11 2 1 2 1 11 1 22nnaaaa ，故 1nnbb ， nb 是递减数列 （ 3） 由（ 2）得1 212nnbb ， 故 2 1 11 2 12 1 2 1 2 1 2 1212 2 2 2nnn n nb b b b ， 所以 21122 1 2 1 2 12 1 1 2 2 2 nnnS b b b 2112 2 1 3 22 212 1 172211 2nn 2 2 1 3 2 2 2 2 1 2 3 1 47 7 7 7 【 考前寄语 】山东的考试 说明增加了用放缩法证明不等式，本题就是根
25、据这个新形势命制的 本题第一问是用数学归纳法证明不等式，数学归纳法是解决与正整数有关问题应该注意的一个方法；本题第二问是用作商比较和放缩的方法证明不等式，通过数列的递推关系把问题都归结为 na 是关键；第三问重点考查放缩法证明不等式，希望同学们注意体会这个方法 20.（本题满分 12 分） 已知直角梯形 ABCD 中 ， /AB CD ， , 1,AB BC AB 2, 1 5 ,BC CD 过 A 作 AE CD ， 垂足为 E ， GF、 分别为 ,ADCE 的中点 ， 现将ADE 沿 AE 折叠使二面 角 D AE C的平面角的正切值为 tan2 . （ 1） 求证： /FG 平面 BC
26、D ； （ 2） 求异面直线 GF 与 BD 所成的角的余弦值； （ 3）求二面角 A BD C的大小 【 解析 】（ 1） 取 AB 中点 H ，连接 GH ， FH ， 又 G 为 AD 中点 /GH BD ， GH 平面 BCD ， BD 平面 BCD ， /GH BCD 面 ， 同理可证 /FH BC ， /FH 平面 BCD ， 平面 /FHG 平面 BCD ， GF 平面 FHG /GF 平面 BCD （ 2）延长 CE ，过 D 作 DO 垂直直线 EC 于 O ，易证 DO 平面 ABCE ， AE EC ，AE DE ， 二面角 D AE C的平面角的正切值为 tan2 ，
27、tan 2DEO 5DE ， 1OE ， 2DO ，过点 O 做 OM BC ，以 O 为原 点，以射线,OM OC OD 分别为 ,xyz 的正方向建立直角坐标系 O xyz （如图） 则 0,0,2D ， 2,1,0A ， 0,1,0E ， 0,2,0C ， 2,2,0B ， 32, ,02H， 11, ,12G，30, ,02F (1,1, 1)GH ， ( 1,1, 1)GF 1c o s , 3| H | | |G H G FG H G F G G F ， 异面直线 GF 与 BD 所成的角余弦值为 13 （ 3） 取 DC 中点 P ，易证 OP 平面 BCD ，所以面 BCD 一
28、个法向量为 (0,1,1)OP 0,1,0AB ， 2, 2, 2BD ， 设平面 ABD 的法向量为 ( , , )n x y z 则 2 2 2 00x y zy ， 取 1x 得 0, 1yz得 平 面 ABD 的 一 个 法 向 量 为1 (1,0,1)n 1111c os , 2| | | |n O Pn O P n O P 二面角 A BD C的大小为 120 【 考前寄语 】理科的立体几何解答题，一般的命题方式是一个设问考查空间线、面位置关系的证明，解决 的方法以传统几何的证明方法为主， 主要依据就是平面的性质、空间线面位置关系的判定定理和性质定理；另 一个设问是几何量的计算，一
29、般是二面角的计算，主要的命题思想是考查用空间向量解决计算问题，主要的解题依据就是空间角的几个计算公式 21.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 21 ，离心率为 22e （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）过点 1,0 作直线 l 交 E 于 P 、 Q 两点，试问：在 x 轴上是否存在一个定点 M ，使MPMQ 为定值？若存在，求出这个定点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【 解 析】 （ 1）设椭圆 E 的方程为 221xyab， 由已知得 2122acca ， 21ac ，2 2 2 1b a c ， 椭圆 E 的方程为 2 2 12x y （ 2）法一：假设存在符合条件的点 ( ,0)Mm ，又设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y，则： 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) , ( , ) , ( ) ( )M P x m y M Q x m y M P M Q x m x m y y 21 2 1 2 1 2()x x m x x m y y
