1、 赣马高级中学解答题专题训练 11 导数（一） 编写：刘卫兵 审核：樊继强 王怀学 1已知函数 )(3232)( 23 R xxaxxxf ， （ I）若 )(,1 xfyPa 为曲线点 上的一个动点，求以点 P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （ II）若函数 ),0()( 在xfy 上为单调增函数，试求满足条件的最大整数 a 的值。 2 已知 ( ) lnf x x ， 217() 22g x x m x （ 0m ），直线 l 与函数 ()fx、 ()gx 的图像都相切，且与函数 ()fx的图像的切点的横坐标为 1 求直线 l 的方程及 m 的值； 3 已 知函数 3 2 2(
2、) 1f x x m x m x （ m 为常数，且 m0）有极大值 9. （）求 m 的值； （）若斜率为 5 的直线是曲线 ()y f x 的切线，求此直线方程 . 4 已知函数 ()fx的导数 2( ) 3 3 ,f x x ax (0) .fb ,ab为实数， 12a. （ ）若 ()fx在区间 1, 1 上的最小值 、 最大值 分别 为 2 、 1，求 a 、 b 的值； （ ）在（）的条件下，求经过点 (2, 1)P 且与曲线 ()fx相切的直线 l 的方程； 赣马高级中学解答题专题训练 12 导数（二） 编写：刘卫兵 审核：樊继强 王怀学 1 设函数 ( ) ln .f x x
3、（ I）证明函数 2( 1)( ) ( )1xg x f x x 在 ( , )x 上是单调增函数； （ II）若不等式 2 1 2 21 ( ) 2 2xx f e m b m ，当 1,1b 时恒成立，求实数 m 的取值范围 2 设函数 32 ()f x x b x c x x R ，已知 ( ) ( ) ( )g x f x f x 是奇函数 （ 1）求 b 、 c 的值 （ 2）求 ()gx 的单调区间与极值 3 已知函数 0 xbxaxxf ，其中 Rba , . （）若曲线 xfy 在点 2,2 fP 处的切线方程为 13 xy ，求函数 xf 的解析式； （）讨论函数 xf 的单
4、调性； ）若对于任意的 2,21a，不等式 10xf 在 1,41上恒成立，求 b 的取值范围 . 4 已知函数 32( ) 3 ( 0 )f x x a x b x c b ，且 ( ) ( ) 2g x f x是奇函数 （ ）求 a ， c 的值； （ ）求函数 ()fx的单调区间 赣马高级中 学解答题专题训练 13 导数（三） 编写：刘卫兵 审核：樊继强 王怀学 1 已知 0 . （ 1）求证：sinsin； （提示：构造函数 sin() xfx x ） （ 2）在 ABC 中，已知 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，当 B=2 A 时，判 6a、 3b、 2c 的大小，并说
5、明理由 . 2 设函数 () bf x ax x，曲线 ()y f x 在点 (2, (2)f 处的切线方程为 7 4 12 0xy 。（ 1）求 ()y f x的解析式； （ 2）证明：曲线 ()y f x 上任一点处的 切线与直线 0x 和直线 yx 所围成的三角形面积 为定值，并求此定值。 3 某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房 .经测算，如果将楼房建为 x(x 10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560+48（单位：元） .为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用平均建筑费用
6、+平均购地费用，平均购地费用 购 地 总 费 用建 筑 总 面 积） 4 如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 B 在 AM 上， D 在 AN 上，且对角线 MN 过 C 点， 已知 |AB| 3 米， |AD| 2 米， （ 1） 要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米，则 AN 的长应在什么范围内？ （ 2） 若 |AN| 3,4) （单位：米），则当 AM、 AN 的长度是多少时，矩形花坛 AMPN 的面积最大？并求出最大面积 A B C D M N P 赣马高级中学解答题专题训练 14 导数（四） 编写：刘卫兵 审核：樊继强 王怀学 1 。
7、 已知函数 ln( ) .xy f x x（ ）求函数 ()y f x 的图象在 1ex 处的切线方程； （ ）求 ()y f x 的最大值； 2 已知函数 3 2 2( ) 1f x x m x m x （ m 为常数，且 0m ）有极大值 9. （）求 m 的值；（ ）若斜率为 -5 的直线是曲线 ()y f x 的切线，求此直线方程 . 3. 已知函数 )0()(,ln)( axaxgxxf ，设 )()()( xgxfxF 。（）求 F（ x）的单调区间； （）若以 )3,0)( xxFy 图象上任意一点 ),( 00 yxP 为切点的切线的斜率 21k 恒成立，求实数 a的最小 值
8、4. 如图， AB 是沿太湖南北方向道路， P 为太湖中观光岛屿， Q 为停车场， 5.2PQ km 。某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场 Q ，已知游船以 13 /km h 的速度沿方位角 的方向行驶， 5sin 13 ，游船离开观光岛屿 3 分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点 Q 与旅游团会合，决定立即租用小船先到达湖滨大道 M 处，然后乘出租汽车到点 Q （设游客甲到达湖滨大道后立即乘到出租车）。假设游客甲乘小船行驶的方向是方位角 ，出租汽车的速度为 66 /km h . （ ）设 4sin 5 ，问小船的速度为多少 /kmh 时，游客甲才能和游船同时到达点
9、 Q ； （ ）设小船速度为 10 /kmh ，请你替游客甲设计小船行驶的方位角 ，当角 余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达 Q . A Q M B P 赣马高级中学解答题专题训练导数（一） 1解：（ I）设切线的斜率为 k 2 分 则 1)1(2342)( 22 xxxxfk 4 分 又 135,35)1( xyf 所以所求切线的方程为 即 .0233 yx 6 分 （ II） 342)( 2 axxxf 要使 0)(,)( xfxfy 必须满足为单调增函数 即对任意的 0)(),0( xfx 恒有 8 分 0342)( 2 axxxf xxxxa 4324 32 2 10
10、分 而 26,26432 xxx 当且仅当时，等号成立 所以 26a 所求满足条件的 a 值为 1 2.解：（）依题意知：直线 l 是函数 ( ) lnf x x 在点 (1,0) 处的切线，故其斜率 1(1) 11kf ，所以直线 l 的方程为1yx 又因为直线 l 与 ()gx 的图像相切，所以由 221 19( 1 ) 017 2222yx x m xy x m x ， 得 2( 1) 9 0 2mm （ 4m 不合题意，舍去）； 3 解： ( ) f(x) 3x2+2mx m2=(x+m)(3x m)=0,则 x= m 或 x=31 m, 当 x 变化时， f(x)与 f(x)的变化情
11、况如下表： x ( , m) m ( m, m31 ) m31 ( m31 ,+ ) f(x) + 0 0 + f (x) 极大值 极小值 从而可知，当 x= m 时，函数 f(x)取得极大值 9， 即 f( m) m3+m3+m3+1=9, m 2. ( )由 ( )知， f(x)=x3+2x2 4x+1, 依题意知 f(x) 3x2 4x 4 5， x 1 或 x 31 . 又 f( 1) 6， f( 31 ) 2768 ，所以切线方程为 y 6 5(x 1),或 y 2768 5(x 31 )， 即 5x y 1 0，或 135x 27y 23 0. 4. 解 （）由已知得， 323()
12、 2f x x a x b 由 ( ) 0fx ，得 1 0x ， 2xa 1, 1x ， 12a， 当 1, 0)x 时， ( ) 0fx ， ()fx递增； 当 (0, 1x 时， ( ) 0fx ， ()fx递减 ()fx在区间 1, 1 上的最大值为 (0)fb ， 1b 2 分 又 33(1) 1 1 222f a a ， 33( 1 ) 1 122f a a ， ( 1) (1)ff 由题意得 ( 1) 2f ，即 3 22a ，得 43a 故 43a ， 1b 为所求 （）解：由（ 1）得32( ) 2 1f x x x ， 2( ) 3 4f x x x ，点 (2, 1)P
13、在曲线 ()fx上 当切点为 (2, 1)P 时，切线 l 的斜率 2( ) | 4xk f x ， l 的方程为 1 4( 2)yx ，即 4 7 0xy 5 分 当切点 P 不是切点时，设切点为 00( , )Qx y 0( 2)x ，切线 l 的斜率0 200( ) | 3 4xxk f x x x ， l 的方程为 20 0 0 0( 3 4 ) ( )y y x x x x 又点 (2, 1)P 在 l 上， 20 0 0 01 ( 3 4 ) ( 2 )y x x x ， 3 2 20 0 0 0 01 ( 2 1 ) ( 3 4 ) ( 2 )x x x x x ， 220 0 0 0 0( 2 ) ( 3 4 ) ( 2 )x x x x x ， 220 0 034x x x，即 002 ( 2) 0xx， 0 0x 切线 l 的方程为 1y 8 分 故所求切线 l 的方程为 4 7 0xy 或 1y 9 分 （ 或者 ：由（ 1）知点 A（ 0， 1）为极大值点，所以曲线 ()fx的点 A 处的切线为 1y ，恰好经过点 (2, 1)P ，符合题意） 赣马高级中学解答题专题训练导数（ 二 ）
