1、 09 届高 考数学 第三次模拟考试 数学 2009.05 注意事项： 1 本试卷共 160 分，考试时间 120 分钟 2 答题前 ， 考生务必将 自己的 学校、姓名、 考试 号写在答 题 纸 上 试题的答案 写在 答 题纸 上对应 题目 的答案空格内考试结束后，交回答 题 纸 参考公式： 一组数据的方差 )()()(1 222212 xxxxxxnS n ，其中 x 为这组数据的平均数 一 、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分） 1 已知集合 M y|y x2， x R， N y|y2 2， y Z，则 M N 2 在复平面内，复数 1 i1 i 对 应的点与原点之
2、间的距离是 3 已知命题 p：函数 y lgx2的定义域是 R，命题 q：函数 y 13x的值域是正实数集，给出命题： p 或 q； p 且 q；非 p；非 q其中真命题有 个 4 已知 数列 an是等差数列， a4 7， S9 45，则过点 P(2， a3)， Q(4， a6)的直线的斜率 等于 5 右边的流程图最后输出的 n 的值是 6 若 x， y 满足约束条件0 x 1，0 y 2，x 2y 1 0，则 z 2x y 4 的取值范围是 7 已知正四棱锥的体积是 48cm3，高为 4cm， 则该四棱锥的侧面积是 cm2 8 如 图是 2008 年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上， 七位评委
3、为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个 最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 9 当 A， B 1， 2， 3时，在构成的不同直线 Ax By 0 中，任取一条，其倾斜角小于 45的概率是 10已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在 0， )上是增函数，且 f(12) 0，则不等式 f(log2x) 0的解集为 N （第 5 题图） 开始 n 1 n n 1 2n n2 输出 n 结束 Y 7 8 9 9 2 5 6 4 8 3 （第（ 8）题图） 11椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的焦点 F1， F2分别在双曲线x2b2y2a2 1 的左、右准线上， 则椭圆的离心率 e 12
4、函数 y tan(4x 2)的部分图像如图所示 ,则 ( OB OA ) OB 13在 ABC 中， D 为 BC 中点， BAD 45， CAD 30， AB 2，则 AD 14已知 x， y 都在区间 (0， 1内，且 xy 13，若关于 x， y 的方程 44 x 33 y t 0 有两组不同的解 (x， y)，则实数 t 的取值范围是 二 、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤） 15（本题满分 14 分） 已知 0 2 ， tan2 12， cos( ) 210 （ 1）求 sin 的值；（ 2）求 的值 16（本题满分 14 分） （第
5、（ 13）题图） B A C D A B O 1 y x （第（ 12）题图） 在三棱柱 ABC A1B1C1中 ，四边形 AA1C1C 为矩形，四边形 BB1C1C 为菱形 AC AB CC1 3 5 4， D， E 分别为 A1B1， CC1中点 求证：（ 1） DE平面 AB1C； （ 2） BC1平面 AB1C 17（本题满分 14 分） A 地产汽油， B 地需要汽油 运输工具沿直线 AB 从 A 地到 B 地运油， 往返 A， B 一趟所需的油耗等于从 A 地运出总油量的 1100如果 在线段 AB 之间的某地 C（不与 A， B 重合）建一油库， 则可选择 C 作为中转站，即可
6、由这种运输工具先将油从 A 地运到 C 地，然后再由同样的运输工具将油从 C 地运到 B 地 设 ACAB x， 往返 A， C 一趟所需的油耗等于从 A 地运出总油量的 x100往返 C， B 一趟所需的油耗等于从 C 地运出总油量的 1 x100 不计装卸中的损耗，定义： 运油率 P B地收到的汽油量A地运出的汽油量 ，设从 A 地直接运油到 B 地的运油率为 P1，从 A 地经过 C 中转再运油到 B 地的运油率为 P2 （ 1）比较 P1， P2的大小； （ 2）当 C 地选在何处时，运油率 P2最大？ B A C A1 B1 C1 E D 18 （本题满分 16 分） 已知抛物线顶点
7、在原点，准线方程为 x 1点 P 在抛物线上，以 P 圆心， P 到抛物线焦点的距离为半径作圆，圆 P 存在内接矩形 ABCD，满足 AB 2CD，直线 AB 的斜率为 2 （ 1）求抛物线的标准方程； （ 2）求直线 AB 在 y 轴上截距的最大值，并求此时圆 P 的方程 1. 19（本题满分 16 分） 已知函数 f(x) lnx 1 xax ，其中 a 为大于零的常数 （ 1）若函数 f(x)在区间 1， )内不是单调函数，求 a 的取值范围； （ 2）求函数 f(x)在区间 e， e2上的最小值 20（本小题满分 16 分） 已知数列 an中， a1 2， a2 3， an 2 3n
8、5n 2 an 1 2nn 1an，其中 n N*设 数列 bn满足 bn an 1 nn 1an， n N* （ 1）证明：数列 bn为等比数列，并求数列 bn的通项公式； （ 2）求数列 an的通项公式； （ 3）令 cn (n 2)bn 2(nbn)(n 1)bn 1， n N*，求证： c1 c2 cn 2 南京市 第十三中学 2009 届 高三 年级第三次模拟考试 数学 附加卷 2009.05 注意事项 ： 1附加题供 选修物理的 考生使用 2 本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟 3答题前，考生务必将自己的学校、姓名、 考试 号写在答 题 纸的密封线内试题的答案写在 答 题 纸
9、 上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答 题 纸 21【选做题】在 A、 B、 C、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分 请在 答 题 纸 指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 4 1： 几何证明选讲 圆的两弦 AB、 CD 交于点 F，从 F 点引 BC 的平行线和直线 AD 交于 P，再从 P 引这个圆的切线，切点是 Q，求证： PF PQ B选修 4 2： 矩阵与变换 已知矩阵 M 1 00 1 ， N 1 20 3 ，求直线 y 2x 1 在矩阵 MN 的作用下变换所得到的直线方程 C选修 4 4： 坐标系与参数方程 已知 C：
10、cos sin，直线 l： 2 2cos( 4) 求 C 上点到直线 l 距离的最小值 D选修 4 5： 不等式选讲 已知关于 x 的不等式 x 1 x 1 ba cb ac对任意正实数 a， b， c 恒成立，求实数 x 的取值范围 A B P C D F Q 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分 请在 答 题 纸 指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 22 2008 年中国北京奥运会吉祥物由 5 个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。现有 8 个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶
11、晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量 1 2 3 1 1 从中随机地选取 5 只 （ 1）求选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率； （ 2）若完整地选取奥运会吉祥物记 100 分；若选出的 5 只中仅差一种记 80 分；差两种记 60 分；以此类推 设 表示所得的分数，求 的分布列和期望值 23 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，点 (an 2， Sn 1)在直线 y 4x 5 上，其中 n N*，令 bn an 1 2an，且 a1 1 （ 1）求数列 bn的通项公式； （ 2）若 f(x) b1x b2x2 b3x3 bnxn，求 f (1)的表达式，并比较 f (1)与 8n2 4n
12、 的大小 南京市 第十三中学 2009 届 高三 年级第三次模拟考试 数学 试卷参考答案 2009.05 说明： 1 本解答给出的解法供参考 如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 2 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数，填空题不给中间分数 一 、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分） 1 0，
13、 1 2 1 3 2 4 3 5 5 6 2， 5 7 60 8 4 9 37 10（ 22 ， 2） 11 2 22 12 4 13 3 12 14 (125 ， 5924 二 、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明 、 证明过程或演 算步骤） 15 （本题满分 14 分） 解： （ 1） tan2tan21 tan22 43， 3 分 所以 sincos 43，又因为 sin2 cos2 1， 解得 sin 45 7 分 （ 2）因为 0 2 ，所以 0 因为 cos( ) 210，所以 sin( ) 7 210 9 分 所 以 sin sin( ) sin( )co
14、s cos( )sin 7 210 35 210 45 22 ， 12 分 因为 (2， )， 所以 34 14 分 16（本题满分 14 分） 证明： （ 1）取 AB1中点 F，连结 DF， CF 因为 D 为 A1B1中点， 所以 DF = 12AA1 因为 E 为 CC1中点， AA1 = CC1， 所以 CE = DF 所以四边形 CFDE 为平行四边形 所以 DE CF 4 分 因为 CF 平面 ABC， DE/平面 ABC， 所以 DE平面 ABC 7 分 （ 2） 因为 AA1C1C 为矩形，所以 ACCC1 因为 BB1C1C 为菱形，所以 CC1 CB B1CBC1 8 分
15、 因为 AC AB CC1 3 5 4， 所以 AC AB BC 3 5 4， 所以 AC2 BC2 AB2 10 分 所以 ACBC 所以 AC平面 BB1C1C 12 分 所以 ACBC1 所以 BC1平面 AB1C 14 分 17（本题满分 14 分） 解： （ 1）设从 A 地运出的油量为 a，根据题设，直接运油到 B 地，往返油耗等于 1100a， 所以 B 地收到的油量为 (1 1100)a 所以运油率 P1(1 1100)aa 99100 3 分 而从 A 地运出的油量为 a 时， C 地收到的油量为 (1 x100)a， B 地收到的油量 (1 1 x100 )(1 x100)
16、a， B A C A1 B1 C1 E D F 所以运油率 P2(1 1 x100 )(1 x100)aa (1 1 x100 )(1 x100) ( 99100 x100)(1 x100) 7 分 所以 P2 P1 110000x(1 x)，因为 0 x 1， 所以 P2 P1 0，即 P2 P1 9 分 （ 2）因为 P2 ( 99100 x100)(1 x100) 99100 x100 1 x10022 1992002 当且仅当 99100 x100 1 x100，即 x 12时，取“” 所以当 C 地为 AB 中点时，运油率 P2有最大值 14 分 18（本题满分 16 分） 解： （
17、 1）因为抛物线顶点在原点，准线方程为 x 1， 所以抛物线开口向右，且 p2 1，所以 p 2 所以所求的抛物线方程为 y2 4x 4 分 （ 2）设 P(x0， y0)，则 y02 4x0，半径 r PF x0 1， 圆 P 的方程为 (x x0)2 (y y0)2 (x0 1)2， 6 分 设 AB 的方程为 y 2x b，由 AB 2CD 得 ， 圆心 P 到直线 AB 的距离 2d r2 d2， 6 分 所以 5d2 r2，即 5d r 因为 r |x0 1|， d 2x0 y0 b5 ， 代入得 2x0 y0 b x0 1 8 分 即 2x0 y0 b x0 1 或 2x0 y0
18、b x0 1 所以 x0 y0 b 1 0 或 3x0 y0 b 1 0 因为 y02 4x0，所以 x0 14y02， 代入得 14y02 y0 (b 1) 0 或 34y02 y0 (b 1) 0 10 分 方程 14y02 y0 (b 1) 0 关于 y0有解 1 (b 1) 0， b 2 方程 34y02 y0 (b 1) 0关于 y0有解 1 3(b 1) 0， b 23 12 分 综上所述， b 的最大值为 2 14 分 此时， y0 2， x0 1， r x0 1 2， 所以圆 P 的方程为 (x 1)2 (y 2)2 4 16 分 19（本题满分 16 分） 解： f (x) ax 1ax2 (x 0) 2 分
