1、 宁夏省期末模拟试题分类汇编 第 7 部分 :.立体几何 一 .选择题 1（宁夏 09）已知直线 m 、 n 和平面 、 满足 m n ， ， m 则 （ ） A n B n / 或 n C n D n 或 n 答案：（ D ） 2 （宁夏 09） m 、 n 是不同的直线， 、 、 是不同的平面，有以下四个命题 ： 若 /,/ ，则 / ; 若 /,m ，则 m ; 若 /,mm ，则 ; 若 nnm ,/ ，则 /m . 其中真命题的序号是 （ ） A B C D 答案：（ A ） 3（宁夏 09）如图，模块均由 4个棱长为 1的小正方体构成，模块由 15个棱长为1 的小正方体构成现从模块
2、中选出三个放到模块上，使得模块成为一个棱长为 3的大正方体则下列选择方案中，能够完成任务的为 （ ） A模块， B模块， C模块， D模块， 答案：（ A ） 4. （宁夏 09） 某几何体的三视图如图所示，当 ba 取最大值时，这个几何体的 体积为（ ） A 61 B 31 C 32 D 21 答案：（ D ） 5. （宁夏 09） 已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中 正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标 出的尺寸 (单位 :cm)，可得这个几何体的体积是 ( ) A B 34 C 35 D 2 答案：（ C ） 6. （宁夏 09） 已知不同的直线 nm, ，不同的平面 ,
3、 ，则下列条件中能推出 / 的是 （ ） A n ， m ， mn/ B , C mn/ ， mn , D /n ， /m ， mn/ 答案：（ C ） 二 .填空题 1（宁夏 09）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位： cm），可得这个几何体的体积是 答案：（ 334cm ） 2一几何体的三视图如右右，它的体积为 答案：（ 5.1 ） 3 （宁夏 09） 在空间中，有如下命题： 互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线； 若平面 内任意一条直线 m 平面 ，则 / ； 若平面 与平面 的交线为 m ，平面 内的直线 n 直线 m ，则 n ； 2 1 1
4、 正视图 2 1 1 侧视图 俯视图 C A B C1 A1 B1 3 3 A C 主视图 左视图 A GF EDCB A若点 P 到三角形三个顶点的距离相等，则点 P 在该三角形所在平面内的射影是三角形的外心； 若平面 内的直线 m 垂直于平面 ，那么 ； 其中正确的命题为 _。 (填上所有正确命题的序号 答案：（ ） 4 （宁夏 09） 如图 ,正 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G ,已知 EDA 是 AED 绕DE 旋转过程中的一个图形 ,现给出下列四个命题 : 动点 A 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 ; 恒有平面 B C E DGFA 平面 ; 三棱锥 FE
5、DA 的体积有最大值 ; 异面直线 EA 与 BD 不可能垂直 . 其中正确的命题的序号是 . 答案：（ ） 5 （宁夏 09） 设 a， b， c表示三条直线， , 表示两个平面，则下列 命题中逆命题不成立的是（ ）。 A. c ，若 c ，则 / B. b ， c ，若 /c ，则 cb/ C. b ，若 b ，则 D. b ， c 是 在 内的射影，若 cb ，则 b 答案：（ C ） 6 （宁夏 09） 已知 m、 n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列命题： 若 m， n， m、 n ，则； 若， m， n ，则 m n； 若 m， m n，则 n； 若 n， n，
6、 m，那么 m n； 其中所有正确命题的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案：（ B ） 7 （宁夏 09） 已知 m、 n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列命题： 若 m， n， m、 n ，则； 若， m， n ，则 m n； 若 m， ， m n，则 n； 若 n， n， m，那么 m n； 其中所有正确命题的序号是 答案：（ . ） 三 .解答题 1.(试题名称 ) 1（宁夏 09）（本小题满分 12分） 如图，三棱柱 111 CBAABC 的所有棱长都相等，且 AA1 底面 ABC ， D 为 1CC 的中点， .,11 ODOBAAB 连结相交于
7、点与 （）求证： OD ABC平面 （）求证： 1AB 平面 BDA1 答案：解：（ 1）证明 1：设 G为 AB的中点，连结 OG、 GC OG/ 21 BB1 ， DC/ 21 BB1 OD/ DC OD GC 又 GC 平面 ABC OD平面 ABC. 证明 2：设 E、 F分别为 A1A、 B1B的中点，连结 EF、 FD、 DE，则 EF/ AB， DE/ BC EF平面 ABC， DE平面 ABC 平面 DEF平面 ABC 又 OD 平面 DEF， OD平面 ABC. （ 2）由题意四边形 A1B1BA 是正方形，则 AB1 A1B.连结 AD、 B1D 易证 Rt ADC Rt
8、B1C1D AD=B1D 又 O 为 AB1的中点 AB1 OD 又 OD 平面 A1BD 1AB 平面 BDA1 . 2 （宁夏 09） （本小题满 分 12分） 如图： PA平面 ABCD， ABCD是矩形， PA=AB=1， PD与平面ABCD所成角是 30，点 F是 PB的中点，点 E在边 BC 上移动 . （）点 E 为 BC的中点时，试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系 ,PAF BEDCGPAFBEDC G()Oxyz并说明理由； （）证明：无论点 E在边 BC 的何处，都有 PE AF； （）当 BE等于何值时，二面角 P-DE-A的大小为 45 . 答案： 解 : 解法一
9、 :（）当点 E 为 BC 的中点时， EF 与平面 PAC 平行 . 在 PBC 中， E 、 F 分别为 BC 、 PB 的中点， EF PC 又 EF 平面 PAC ，而 PC 平面 PAC EF 平面 PAC . 4分 （）证明 : A B C DBEA B C DPA 平面，平面 , PAEB .又 ，平面 P A BAPABAAPABABEB , PABEB 平面 , 又 PABAF 平面 ， BEAF . 又 1PA AB,点 F 是 PB 的中点 , ,PBAF 4分 PBEBEPBBBEPB 平面又 , , PBEAF 平面 . PEAFP B EPE ，平面 . 8分 (
10、)过 A 作 AG DE 于 G ，连 PG ，又 PADE ， 则 DE 平面 PAG , 则 PGA 是二面角 P DE A的平面角， 45PGA ， 10分 PD 与平面 ABCD 所成角是 30 ， 30PDA ， 3AD ， 1PA AB. 1AG ， 2DG ，设 BE x ，则 GE x ， 3CE x， 在 Rt DCE 中， 22 22 3 1xx ， 得 32BE x . 12 分 解法二 :（向量法）（）同解法一 4分 （）建立图示空间直角坐标系，则 0,0,1P ， 0,1,0B ， 110, ,22F， 3,0,0D . 设 BE x ，则 ,1,0Ex 0)21,2
11、1,0()1,1,( xAFPE AF PE 8分 （）设平面 PDE 的法向量为 , ,1m p q ，由 00PEmPDm ，得： 1 ,1 ,133xm ，而平面 ADE 的法向量为 )1,0,0(AP ,二面角 P DE A的大小是 45 ,所以45cos =|22 APm APm ， 21121 113 3x ， 得 32BE x 或 23 xBE （舍） . 12分 3 （宁夏 09） （本小题满分 12分）已知某几何体的三视图如下图所示， 其中俯视图为正三角形 ,设 D为 AA1的中点。 （ 1）作出该几何体的直观图并求其体积； （ 2）求证：平面 BB1C1C平面 BDC1；
12、（ 3） BC 边上是否存在点 P，使 AP/平面 BDC1？ 若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论。 答案： ：由题意可知该几何体为直三棱柱，且它的直观图如上图所示。 几何体的底面积 .33,3,3 VhS 所求体积高 5分 （ 2）证明：连结 B1C交 BC1于 E点，则 E为 BC1、 B1C的中点，连结 DE。 AD=A1D， AB=A1C1， BAD= DA1C1=90 ABD DA1C1， BD=DC1， DE BC1。 7分 同理 DE B1C 又 B1C BC1=E， DE面 BB1C1C， 又 DE 面 BDC1，面 BDC1面 BB1C1C 10 分 （ 3）解：取 B
13、C的中点 P，连结 AP，则 AP平面 BDC1 12 分 证明：连结 PE，则 PE 平行且等于 AD， 四边形 APED为平行四边形， AP DE，又 DE 平面 BDC1， AP 平面 BDC1， AP平面 BDC1。 4（宁夏 09）（本小题满分 12分）如图，在底面是 正方形的四棱锥 P ABCD中， PA=AC=2，PB=PD= .6 （ 1）证明 PA平面 ABCD； （ 2）已知点 E在 PD上，且 PE:ED=2:1，点 F为棱 PC 的中点，证明 BF/平面 AEC。 H A B C D E F G P （ 3）求四面体 FACD的体积 ; 答案：证明：（ I）因为在正方形
14、 ABCD中， AC=2 AB=AD= 2 可得：在 PAB中， PA2+AB2=PB2=6。 所以 PA AB 同理可证 PA AD 故 PA平面 ABCD （ 4分） （ II）取 PE中点 M，连接 FM， BM， 连接 BD 交 AC于 O，连接 OE F， M分别是 PC， PF 的中点， FM CE， 又 FM 面 AEC， CE 面 AEC FM面 AEC 又 E是 DM的中点 OE BM， OE 面 AEC， BM 面 AEC BM面 AEC且 BM FM=M 平面 BFM平面 ACE 又 BF 平面 BFM， BF平面 ACE （ 4分） （ 3）连接 FO，则 FO PA，
15、因为 PA平面 ABCD，则 FO平面 ABCD，所以 FO=1， S ACD=1， VFACD=VF ACD=31 （ 4分） 5 （宁夏 09） （本小题满分 12分） 如图所示，四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为正方 形， PD平面 ABCD,PD=AB=2,E、 F、 G分 别为 PC、 PD、 BC 的中点 （ 1）求证： PA平面 EFG； （ 2）求三棱锥 P-EFG 的体积 答案： （ 1）证法 1：如图，取 AD 的中点 H ，连接 ,GHFH ， ,EF分别为 ,PCPD 的中点， EF CD ,GH分别为 ,BCAD 的中点， GH CD EF GH , , ,E
16、F H G 四点共面 2分 ,FH分别为 ,DPDA 的中点， PA FH 4 分 PA 平面 EFG ， FH 平面 EFG ， PA 平面 EFG 6分 A B C D E F G P 证法 2： ,EFG 分别为 ,PC PD BC 的中点， EF CD ， EG PB 2分 CD AB ， EF AB PB AB B ， EF EG E ，平面 EFG 平面 PAB 4分 PA 平面 PAB ， PA 平面 EFG 6分 （ 2）解： PD 平面 ABCD ， GC 平面 ABCD ， GC PD ABCD 为正方形， GC CD PD CD D ， GC 平面 PCD 8分 1 12
17、PF PD， 1 12EF CD， 1122PEFS E F P F 10分 1 12GC BC， 1 1 1 113 3 2 6P E F G G P E F P E FV V S G C 12 6（宁夏 09）（本小题满分 12分） 如图所示，矩形 ABCD中， AD平面 ABE， AE=EB=BC=2， F为 CE 上的点，且 BF平面 ACE （ 1）求证： AE平面 BCE； （ 2）求证： AE平面 BFD； （ 3）求三棱锥 C-BGF的体积。 答案：解：（ 1）证明： AD 平面 ABE ， /AD BC ， BC 平面 ABE ，则 AE BC -2分 又 BF 平面 ACE
18、 ，则 AE BF AE平面 BCE -4分 （ 2）由题意可得 G 是 AC 的中点，连接 FG BF 平面 ACE ，则 CE BF ， 而 BC BE ， F 是 EC 中点 -6分 在 AEC 中， /FG AE ， /AE 平面 BFD -8分 （ 3） /AE 平面 BFD ， /AE FG ， 而 AE平面 BCE ， FG平面 BCF G 是 AC 中点， F 是 CE 中点， G G /FG AE 且 1 12FG AE， -9分 BF 平面 ACE ， BF CE， Rt BCE 中， 1 22B F C E C F ， -10分 1 2 2 12C F BS -11分 1
19、133C B G F G B C F C F BV V S F G -12分 7 （宁夏 09） （本小题满分 12分） 如图： PA平面 ABCD， ABCD是矩形 ,PA=AB=1， AD= 3 ，点 F是 PB 的中点，点 E在边 BC 上移动 . （）求三棱锥 E-PAD 的体积 ; （）当点 E为 BC的中点时，试判断 EF与平面 PAC的位置关系，并说明理由； （）证明：无论点 E在边 BC的何处，都有 PE AF. 答案： 解 : （）三棱锥 PADE 的体积 6 3)21(3131 ABADPASPAV A DE . -4分 （）当点 E 为 BC 的中点时， EF 与平面 P
20、AC 平行 . 在 PBC 中， E 、 F 分别为 BC 、 PB 的中点， EF PC ， 又 EF 平面 PAC ，而 PC 平面 PAC ， EF 平面 PAC . 8 分 （）证明 : A B CDBEA B CDPA 平面，平面 , PAEB ，又 ，平面 P A BAPABAAPABABEB , P ABEB 平面 ,又 PABAF 平面 ， BEAF . 又 1PA AB,点 F 是 PB 的中点 , ,PBAF P B EBEPBBBEPB 平面又 , , PBEAF 平面 . PEAFPBEPE ，平面 . -12分 8 （宁夏 09） (本小题满分 12分 ) 如图，在棱
21、长都相等的四面体 ABCD中，点 E是棱 AD的中点， (1)设侧面 ABC与底面 BCD所成角为，求 tan . (2)设 CE与底面 BCD所成角为，求 cos . (3)在直线 BC上是否存在着点 F，使直线 AF与 CE所成角为 90， 若存在，试确定 F点位置；若不存在，说明理由。 答案： 解： (1)连 AF、 DF，由 ABC及 BDC是正三角形， F为 BC中点，得 AF BC， DF BC，AF=DF AFD为二面角 A-BC-D的平面角 设棱长为 a，在 ABC中， AF= 23a ， DF= 23a 在 AFD中，31432432co s222aaa 22tg (2)法一
22、： BC面 ADF， BC 面 BCD 面 ADF面 BCD 在面 ADF中，过 E作 EG DF，则 EG面 BCD，连 CG，则 ECG= 又 AF=DF， E为 AD 中点，故 EF AD 在 Rt DEF中， EF= aaa22)21()23( 22 DE= a21 ，由 DEEFDFEG 得 aaaaEG 66232221 在 Rt CEG中， 37c o s,32s in 则 法二：设 AO面 BCD 于 O，则 O为等边三角形， BCD为中心，设 BC中点为 M， CD中点为 N，以 O为坐标原点， OM所在直线为 x轴， ON所在直线为 y轴， OA所在直线为 y轴建立直角坐标系 0-xyz，设棱长为 2a，则 0(0,0,0)， A(0,0， 362 a),C( 23 a,a,0),D(- 232 a,0,0)，E(- 33 a,0, 362 a) OA 0,0， 362 a， CE (- 232 a,-a, 36 a) cos=32336243 2 aaa CE与面 BCD所成角 的余弦值为 cos = sin= 37 (3)法一：设 F( 33 a,y,0)，则 )3 62,33( ayaAF A E B C D y O x z A E B C D
