1、 09届高考理科数学最后一次模拟考试 第 I卷（选择题 共 50分） 一、 选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分。 1若集合 | ( 2) 0A x x x ， | | 1B x x，则 AB A |1 2xx B |0 1xx C | 1xx D | 1,xx 或 1x 2若复数 ()2aiz a Ri 是纯虚数，则实数 a 的值为 A 0.5 B 1 C 2 D 0 3若平面 / 平面 ，直线 a ，点 B ，则在 内过点 B 的所有直线中 A不一定存在与 a 平行的直线 B只有两条与 a 平行的直线 C存在无数多条与 a 平行的直线 D存在唯一一条与 a 平行的直线 4下
2、列判断 错误 的是 A命题“若 q 则 p ”与命题“若 p 则 q ”互为逆否命题 B“ 22am bm ”是“ ab ”的充要条件 C若 (4,0.25)B ，则 1E D命题“ 32, 1 0x R x x ”的否定是：“ 32, 1 0x R x x ” 5若将函数 sin2yx 的图象平移后得到函数 sin(2 )4yx的图象，则下面说法正确的是 A向右平移 4 B向左平移 4 C向右平移 8 D向左平移 8 6某地 2008 年降雨量 ()px 与时间 X 的函数图象如图所示，定义“落量差函数” ()qx为时间段 0, x 内的最大降雨量与最小降雨量的差，则函数 ()qx的图象可能
3、是 A B C D 7某班由 24 名女生和 36 名男生组成，现要组织 20 名学生外参观，若这 20 名学生按性别分层抽样产生，则参观团的组成法共有 A 824C 1236C 种 B 8 1224 .36AC 种 C 10 1024 36CC种 D 2060C 种 8如果下面的程序执行后输出的结果是 1320，那么在程序 UNTIL 后面的条件应为 A 11i B 11i C 10i D 10i 9设 , , ,x y Ri j 是直角坐标平面内 ,xy轴正方向上的单位向量， 若， ( 3 ) , ( 3 )a x i y j b x i y j 且 6ab，则点 (, )Mxy 的轨迹是
4、 A椭圆 B双曲线 C线段 D射线 10如果 有穷数列 1 2 3, , , , ma a a a （ m 为正整数）满足 1 2 1 2, , , .m m ma a a a a a 即 1 ( 1, 2 , )i m ia a i m ,我们称其为“对称数列”例如，数列 1， 2， 5， 2， 1与数列 8， 4， 2， 2， 4， 8都是“对称数列” 设 nb 是项数不超过 2 ( 1, )m m m N 的“对称数列”，并使 得 1， 2， 22 ， 32 ， , 12m依次为该数列中连续的前 m 项，则数列 nb 的前 2009项和 2009S 可以是： （ 1） 200921 （
5、2） 20092(2 1) （ 3） 1 2 20103 2 2 1mm （ 4） 1 2 20092 2 1mm 其中正确命题的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 第卷（非选择题 共 100分） 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分，把答案写在答题卡的相应位置上。 11求曲线 2,y x y x所围成图形的面积 _。 12在平面直角坐标系中，不等式组 400xaxyxy ， (a 为常数）所表示的平面区域的面积 是 9，则实数 a 的值是 _。 13公差不为零的等差数列 na 中， 13 52S ，数列 nb 是等比数列， 77,ba 则 68bb =_ 14 7(1
6、) (1 )xx的展开式中 2x 项的系数是 _。 15在空间直角坐标系中，对其中任何一向量 1 2 3( , , )X x x x ，定义范数 | |X ，它满足以下性质： (1)| | 0X ，当且仅当 X 为零向量时，不等式取等号；（ 2）对任意的实数 ，| | | | | |XX（注：此处点乘号为普通的乘号）。（ 3） | | | | | |X Y X Y 。试求解以下问题：在平面直角坐标系中，有向量 12( , )X x x ，下面给出的几个表达 式中，可能表示向量 X 的范数的是 _（把所有正确答案的序号都填上） （ 1） 22122xx （ 2） 22122xx （ 3） 221
7、22xx （ 4） 2212xx 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16（本题满分 13 分） 在 ABC 中，角 A 为锐角，若 ( s in , c o s ) , ( c o s , c o s ) ,a A A b A A定义 ()f A a b （ 1）求 ()fA的最大值； （ 2）若 7 , ( ) 1, 212A B f A B C ，求 AC 边的长。 17（本题满分 13分） 已知某个几何 体的三视图和直观图如下图表示， E 为 AC 的中点。 （ 1）求该几何体的体积； （ 2）求二面角 S AC B正切值的大小； （ 3
8、）在边 SD 上是否存在点 F 使得 EF BC ？如果存在，求 F 点的位置并给出证明，如果不存在请说明理由。 18（本题满分 13 分） 在某电视台的一档娱乐节目中，某嘉宾要选择 ,AB两道题目进行作答，答题规则是： ,AB是两个相互独立的题目，答对问题 A 可得 100 分，答对问题 B 可得 200 分，先答哪个题目由嘉宾自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答 第二题，否则终止答题。假设嘉宾答对问题 ,AB的概率分别为 1p 和 2p 。 （ 1）若1211,23pp，求嘉宾得分为 100分的概率； （ 2）当 1p 、 2p 满足怎样的关系时？嘉宾选择先答 A 题。 19（本题满分
9、 13 分） 已知点 3(0, )2F ，动圆 P 经过点 F 且和直线 32y 相切，记动圆的圆心 P 的轨迹为曲线 W 。 （ 1）求曲线 W 的方程； （ 2）四边形 ABCD 是等腰梯形， ,AB在直线 1y 上， ,CD在 x 轴上，四边形 ABCD 的三边 ,BC CD DA 分别与曲线 W 切于 ,PQR ，求等腰梯形 ABCD 的面积的最小值。 20（本题满分 14 分） 定义函数 ( ) (1 ) 1 ( 2 , )nnf x x x n N 其导函数记为 ()nfx。 （ 1）求证： ( ) ;nf x nx （ 2）若 0 1 0 1( ) (1)( ) (1)nnf x
10、 ff x f，求证： 001x； （ 3）是否在区间 , ( ,0ab ，使函数 32( ) ( ) ( )h x f x f x在区间 ,ab 上的值域为 , 99ab？若存在，求区间 , ab 并说明理由：若不存在说明理由。 21选考题：从以下 3题中选择 2题做答，每题 7分，若 3题全做，则按前 2 题给分。 1（选修 4 2 矩阵与变换）（本题满分 7分） 变换 T 是将平面上每 个点 ( , )Mxy 的横坐标乘 2，纵坐标乘 4，变到点 (2 ,4 )M x y 。 （ 1）求变换 T 的矩阵； （ 2）圆 22:1C x y在变换 T 的作用下变成了什么图形？ 2（选修 4
11、4 参数方程与极坐标）（本题满分 7分） 已知直线 1:53xtlyt 与曲线 2: 2 c o s 4 s in 3 0C ，判断 l 与 C 的位置关系。 3（选修 4 5 不等式证明选讲）（本题满分 7分） 已知正实数 a 、 b 、 c 满足条件； 3abc ，求证： 3abc 校模拟考数学试卷答案卷 一、选择题 BADBD BADCC 二、填空题 11 13 12 1 13 16 14 14 15（ 4） 三、解答题 16解：（ 1） 2( ) sin c o s c o s1 1 c o s 2sin 22211(sin 2 c o s 2 )2221sin ( 2 )2 4 2f
12、 A A A AAAAAA 50 , 22 4 4 4AA ， 当 2 42A 时， ()fA取得最大值，最大值为 212 。 （ 2） 由 ( ) 1fA 得： 2 1 2sin ( 2 ) 1 sin ( 2 )2 4 2 4 2AA 32 4 4 4AA ，又 712AB 53 12BC ABC 中，由正弦定理得 sin sinBC ACAB sin 6sinBC BAC A 17解：（ 1）由三视图可知：面 SAB面 ABCD， S在面 ABCD上的射影 O在 AB的中点上， SO=20， AO=BO=10， 所以 1 8 0 0 02 0 2 0 2 033V （ 2）因为 SO面
13、ABCD，过 O作 AC 的垂线，垂足为 M，连结 SM，则 SM AC，所以 SMO为二面角 S-AC-B的平面角。 Rt SOM中， SO=20， OM=10 2 522 ， 20ta n 2 252SM O 解：以 O为原点如图建系，则 B（ 10， 0， 0）， A（ -10， 0， 0）， C（ 10， 20， 0）， S（ 0， 0，20）。 设面 SAC 的法向量 1 1 1 1( , , )n x y z ，则 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1( , , ) ( 10 , 0 , 20) 0 10 20 0( , , ) ( 10 , 20 , 20) 0 10 20
14、20 0x y z x zx y z x y z 令 1 1 11, 2, 2z x y ，得 1 ( 2,2,1)n 设面 BAC 的法向量 2 (0,0,20),n 则 1 2 1 2( 2 , 2 , 1 ) (0 , 0 , 2 0 ) 1c o s , , t a n , 2 22 0 3 3n n n n （ 3）存在点 F为 SD的中点，使得 EF BC，证明如下： 连接 BD，则 E点为 BD的中点， EF/SB， SO面 ABCD， OB BC， SB BC， EF/SB， EF BC 18解：（ 1） 若1211,23PP，设嘉宾先答 A 题 正确，再答 B 题错误，得分
15、100分 1 2 1P( 100) 2 3 3 （ 2）设嘉宾先答 A题得分 ，再答 B题得分 ， 则 0 ,1 0 0 , 3 0 0 , 0 , 2 0 0 , 3 0 0 1 1 2 1 2P( 0 )1 P , P ( 1 0 0 ) P ( 1 P ) , P ( 3 0 0 ) P P 2 2 1 1 2P( 0 ) 1 P , P ( 2 0 0 ) = P (1 P ) , P ( 3 0 0 ) P P 1 2 1 2 2 1 1 2E 1 0 0 P (1 P ) 3 0 0 P P , E 2 0 0 P (1 P ) 3 0 0 P P 1 1 2 2 2 1 1 2
16、2 1E E = 1 0 0 P 1 0 0 P P 2 0 0 P 2 0 0 P P 1 0 0 ( P 2 P + P P ) 即 1 2 1 2P P P 2P时选择先答 A题 19（ 1）动圆圆心 P 到 F 的距离等于 P 到 12y 的距离，则 P 点的轨迹是抛物线， 且 2p ，所以 2 6xy 为双曲线 W 的方程 （ 2）设 ( , )Pxy ，由 211,63y x y x，可知 BC 方程；1 1 11 ()3y y x x x 令 21 1 1 11 1 10 , ( ) , ,6 3 2y x x x x x x 即11( ,0)2Cx令 1y ， 22 11 1
17、1 1 161 1 11 ( ) , ( )6 3 6 3xx x x x x x x 221116622xxxx ，即 2116( ,1)2 xB x 所以梯形 ABCD 的面积 2111211111111611( 2 2 ) 12 2 261()2216()21 6 1( 2 ) 2 12 2 322xSxxxxxxxxxx 当且仅当，1 162x x即 1 3x 时， S 有最小值 23 20解： ( ) (1 ) 1 ,nnf x nx x nx 令 ( ) (1 ) 1 ,ng x x nx 则 1( ) (1 ) 1ng x n x ， 当 ( 2,0)x 时， ( ) 0gx ，
18、当 (0, )x 时， ( ) 0gx ， 所以 ()gx在 ( 2,0) 上递减，在 (0, ) 上递增，则 ()gx在 0x 有最小值 (0) 0g ，则 ( ) 0gx ，即 ()f x nx 由 01 0 1( ) (1)( ) (1)nnf x ff x f得， 1010(1 ) 21( 1)(1 ) 2 1n nnnnx 。 所以 10 (2 1)1,( 1)(2 1)nnnx n 所以0 ( 1)2 1( 1)(2 1)nnnx n 。易知 0 0x ， 10 221 ( 1)(2 1)nnnx n ，由知， 0x 时， (1 ) 1nx nx ， 所以 112 (1 1 ) 1
19、 ( 1 ) 1 2nn nn ，所以 0 10x ，即 0x 所以 001x 232( ) ( ) ( ) (1 )h x f x f x x x 2( ) (1 ) 2 (1 ) (1 ) (1 3 )h x x x x x x 当 ( , 1)x 时， ( ) 0hx ，当 1( 1, )3x 时， ( ) 0hx ，当 1( , )3x 时， ( ) 0hx ，且 ( 1) 0, (0) 0hh 考察直线 y kx （显然 0k 不符合条件，所以 0k ）与 ()y hx 相交的问题。 过 ()hx极小值点 14( , )3 27A 作直线 427y 与 ()hx交予另一点 44( ,
20、 )3 27B ，绕原点 O 旋转直线 ( 0)y kx k可知存在多个区间符合题意，显然 19k 时， , ab = 4 ,03 ，即 存在区间 , ab 使值域为 11 , 99ab 21、选考题 1、矩阵与变换 （ 1）由已知得 2 2 0: 4 0 4x x x xT y y y y 变化 T的矩阵是 2004（ 2）由 2 , 4x x y y，得： 11, 24x x y y， 代入方程 221xy，得： 2211 14 16xy 圆 C： 221xy在变化 T的作用下变成了椭圆 2214 16xy 2、参数方程与极坐标 解：将直线 1:53xtlyt 化为普通方程得： 5 3(
21、1)yx 即 3 5 3 0xy 将曲线 C： 2 2 c o s 4 s in 3 0 化为知角坐标方程内： 22 2 4 3 0x y x y 即 22( 1) ( 2) 2xy 圆心（ 1， 2）到直线 3 5 3 0xy 的距离 3 2 5 3 7 222d 直线 l 与圆 C相离 3、不等式选讲 解：由柯西不等式得 2( ) ( ) (1 1 1 )a b c a b c 代入已知 a+b+c=3 2( ) 9abc 3abc 当且仅当 a=b=c=1，取等号。 勘误： 18题（ 1）解答改为下列内容： 若1211,23PP，嘉宾得分为 100 只能是先答对 A题，后答错 B题，所以所求概率为 1 1 2 1P( 100) 2 2 3 6
