1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年高考 理科数学 模拟考试 试卷 数学试卷（理科） 2009. 04 说明：本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答 必 须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据 。 一、填空题（本大题满分 55 分）本大题共有 11 小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中 .每个空格填对得 5 分，填错或不填在正确的位置一律得零分 . 1若集合 2 2 14xA x y ，则 AR 2 不等式 1 2 00 1 03 2 1xxx 的解为 3 设 fx()的反函数为 1()fx ，若函 数 fx()的图像
2、过点 (1,2) ，且 1 2 1 1fx() ， 则 x 4 若 1 1iz ， 2 iza， 其中 i 为虚数单位， 且 12zzR ，则实数 a 5二项式 61xx的 展开式中的常数项为 6 若点 00( , )M x y 是圆 2 2 2x y r内异于圆心的点，则直线 200x x y y r与该圆的位置关系是 7 将参数方程 21 2 cos ,2 sin ,xy （ 为参数 ， R ）化为普 通方程，所得方程是 8 右图给出的是计算 201614121 的 值的一个 框 图， 其中 菱形 判断框内应填入的条件是 9 在 ABC 中 ， 设 角 A 、 B 、 C 所对的边分别是
3、a 、 b 、 c ， 若 2 2 2 2b c a bc ， 且 2ab , 则 C 10若函数 2( ) 2 s i n 2 3 s i n s i n2f x x x x 能使得不等式 2| ( ) |f x m 在区间20 3, 上恒成立，则实数 m 的取值范围是 开 始01si12ssi1iis输 出结 束是否（第 8 题） 11在平面直角坐标系中，若 O 为坐标原点，则 A 、 B 、 C 三点在同一直线上的充要条件为存在惟 一的实数 ，使得 (1 )O C O A O B 成立，此时称实数 为“向量 OC关于 OA 和 OB 的终点共线分解系数”若已知 1(3,1)P 、 2(
4、1,3)P ，且向量 3OP 是直线: 10 0l x y 的法向量，则“向量 3OP 关于 1OP 和 2OP 的终点共线分解系数”为 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中 . 每题选对得 5 分，不选、选错或选出的代号超过一个，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分 . 12 若 m 、 n 为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面，则以下命题正确的是 ( ) A若 /m ， n ，则 /mn； B若 /mn， m ，则 n ； C若 /m ， /n ， 则 /mn； D若 m ， mn ，则 n
5、 13 若函数 ( ) 1f x x， 则 当 53,42 时， (s in 2 ) ( s in 2 )ff可化简为 ( ) A 2sin ； B 2cos ； C 2sin ； D 2cos 14设数列 na 的前 n 项之和为 nS ，若 21 ( 3)12nnSa( Nn )，则 na ( ) A 是等差数列，但不是等比数列； B 是等比数列，但不是等差数列； C 是等差数列，或是等比数列； D 可以既不是等比数列，也不是等差数列 15 关于 函数 131( ) 22x xf x x 和实数 m 、 n 的下列结论中正确的是 ( ) A 若 3 mn ，则 ( ) ( )f m f n
6、 ； B 若 0mn ，则 ( ) ( )f m f n ； C 若 ( ) ( )f m f n ，则 22mn ； D 若 ( ) ( )f m f n ，则 33mn . 三、解答题（本大题满分 75 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤 . 16. (本题满分 12 分 ， 第 1 小题 4 分，第 2 小题 8 分 ) 如图，已知 点 P 在 圆柱 1OO 的 底面圆 O 上， AB 为圆 O 的直径 . （ 1） 求证： 1BP AP ； 1A1O1BA O BP（第 16 题） （ 2） 若 圆柱 1OO 的体积 V 为 12 ， 2OA ，
7、 120AOP ，求异面直线 1AB 与 AP 所成的角（ 用 反三角函数值表示结果 ） . 17 (本题满分 14 分 ， 第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分 ) 袋中有 8 个 颜色不同，其它都相 同的球，其中 1 个为 黑球， 3 个为 白球， 4 个为 红球 . （ 1） 若 从袋中 一次 摸出 2 个球，求 所 摸出的 2 个 球恰为异色球 的 概率 ； （ 2） 若 从袋中 一次 摸出 3 个球， 且所摸得的 3 球中， 黑球 与 白球 的个数都没有超过 红球的个数 ， 记 此时 得到红球的个数为 ，求随机变量 的 概率 分布 律，并求 的数学期望 E和方差 D . 18.
8、 (本题满分 14 分 ， 第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分 ) 已 知 数列 na 的 前 n项和为 nA ， 且 对任意正整数 n ，都 满足： 1nnta A ，其中 1t 为实数 . （ 1） 求 数列 na的通项公式； （ 2） 若 nb 为杨辉三角第 n行中所有数的和，即 01 nn n n nb C C C ， nB 为 杨辉三角前 n行中所有数的和，亦即为 数列 nb 的 前 n项和 ， 求 limnn nAB的值 . 19 (本题满分 17 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 11 分 ) 已知函数 1( ) | 2 1|xfx ， ()Rx . （ 1） 证明
9、：函数 ()fx在区间 (1, ) 上为增函数，并指出函数 ()fx在区间 ,1 上的单调性； （ 2） 若函数 ()fx的图像与直线 yt 有两个不同的交点 ( , )Amt ， ( , )Bnt ，其中 mn ，求 mn 的取值范围 . 20. (本题满分 18 分 ， 第 1 小题 4 分，第 2 小题 5 分，第 3 小题 9 分 ) 如图，已知点 ( 3,0)H ，动点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴上，其横坐标不小于零，点 M 在直线 PQ 上， 且满足 0HP PM， 32PM MQ . O3 333yxPQMH（第 20 题） （ 1）当点 P 在 y 轴上移动时，求点
10、M 的轨迹 C ； （ 2）过定点 (1,0)F 作互相垂直的直线 l 与 l ， l 与 （ 1）中的轨迹 C 交于 A 、 B 两点， l 与（ 1）中的轨迹 C 交于 D 、 E 两点，求四边形 ADBE面积 S 的最小值； （ 3） （在下列 两 题中，任选一题，写出计算过 程 ， 并 求出结果， 若 同时 选做 两 题， 则只批阅 第 小 题， 第 题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）： （ 解答本题，最多得 6 分 ） 将 （ 1）中的曲线 C 推广为椭圆： 2 2 12x y，并 将（ 2）中的定点取为焦点 1,0F ，求与（ 2）相类似的问题的解； （ 解答本题，最
11、多得 9 分 ） 将 （ 1）中的曲线 C 推广为椭圆： 221xyab，并 将（ 2）中的定点取为原点，求与（ 2）相类似的问题的解 . 2009 学年卢湾区高考模拟考试数学试卷评分标准（理科） 一、填空题（本大题共 11 题，每小题 5 分，满分 55 分） 1 ( 2,2) 2 2 3 2 3x 3 12 4 1 5 15 6 相离 7 2 3 (1 3)y x x 剟 8 10i 9 712 10 (1,2 11 1 二、选择题（本大题共 4 题，每小题 5 分，满分 20 分） 12 B 13 D 14 D 15 C 三、解答题（本大题满分 75 分） 16（ 1）证明 ：易知 AP
12、 BP ，又由 1AA 平面 PAB ，得 1AA BP ，从而 BP 平面 1PAA ，故 1BP AP ； （ 4 分） （ 2）解： 以 O 为原点，分别以 OB ， 1OO 为 x ， z轴的正向，并以 AB 的垂直平分线为 y轴，建立空间直角坐标系 . 由题意 2 114 1 2V O A A A A A ，解得 1 3AA . （ 6 分） 易得相关点的坐标分别为： 2,0,0A ， 1 3 0P , ， 1 2,0,3A ， 2,0,0B .得 3, 3 , 0AP ， 1 4 ,0 , 3AB， （ 9 分） 设 1AB 与 AP 的夹角为 ，异面直线 1AB 与 AP 所成的
13、角为 ， 则 1123c o s 05A B A PA B A P ，得 23arc co s 5 ，即异面直线 1AB 与 AP 所成的角为 23arccos 5 . （ 12 分） 17 解：（ 1）摸出的 2 个球 为异色球 的 不同摸法 种数为 1 1 17 3 4 19C C C种 ，从 8 个球 中 摸出2 个球 的不同摸法 种数为 28 28C ，故所求概率为 1928 ； （ 6 分） （ 2） 符合条件的 摸法包括以下三种：一种是 所摸得的 3 球中有 1 个 红球 ， 1 个 黑球， 1个 白球 ，共有 114312CC 种不同摸法， 一种是 所摸得的 3 球中有 2 个
14、红球 ， 1 个其它颜色球，共有 214424CC 种不同摸法， 一种是 所摸得的 3 球均为 红球 ，共有 34 4C 种不同摸法，故符合条件的 不同 摸法共有 40 种 . 由题意 随机变量 的 取值可以为 1， 2 ， 3 . 得 随机变量 的 概率 分布 律为： x 1 2 3 ()Px 310 35 110 3 3 1 91 2 31 0 5 1 0 5E ， （ 13 分） 2 2 29 3 9 3 9 1 91 2 35 1 0 5 5 5 1 0 2 5D . （ 14 分） 18解：（ 1） 由已知 111nnta A ， 1nnta A ，相减得 11n n nta ta
15、a，由 10t得 11nna tat ，又 111ta a ，得1 11a t ，故 数列 na 是一个以1 11a t 为首项，以1tq t 为公比的等比数列 . （ 4 分） （ 12 分） 从而 1111 1 1nnn tta t t t t n*N ； （ 6 分） （ 2） 111nnn tA ta t ， （ 7 分） 又 01 2nnn n n nb C C C ，故 2 2 1nnB ， （ 11 分） 于是111lim lim 22nn nnnntA tB ， 当 21tt ，即 2t 时， 1lim2nn nAB ， 当 21tt ，即 2t 时， lim 0nn nAB
16、， 当 21tt ，即 12t 时， limnn nAB不存在 . （ 14 分） 19（ 1）证明： 任取 1 (1, )x ， 2 (1, )x ，且 12xx ， 1 2 1 21 1 1 112( ) ( ) 2 1 2 1 ( 2 1 ) 2 1x x x xf x f x 121 (2 2 )2 xx， 1 2 1 21 2 1 2, 2 2 , 2 2 0 , ( ) ( )x x x xx x f x f x . 所以 ()fx在区间 (1, ) 上 为增函数 . （ 5 分） 函数 ()fx在区间 ,1 上 为 减 函数 . （ 6 分） （ 2）解： 因为函数 ()fx在区
17、间 (1, ) 上 为增函数 ，相应的函数值为 (0, ) ， 在区间 ,1 上为减 函数 ，相应的函数值为 (0,1) ，由题意 函数 ()fx的 图像 与直线 yt 有 两个 不同的 交点 ，故有 (0,1)t ， （ 8 分） 易知 ( ,)Amt ， ( ,)Bnt 分别位于直线 1x 的两侧，由 mn ， 得 1mn ，故12 1 0m ， 12 1 0n ，又 A ， B 两点 的坐标满足方程 121xt ，故得 112mt ，121nt ，即 2log (2 2 )mt， 2log (2 2 )nt， （ 10 分） 故 22lo g ( 2 2 ) lo g ( 2 2 )m
18、n t t ， 当 10 2t 时， 01m ， 21 log 3n ，故 20 log 3mn ， 又 2 2 222211l o g ( 4 4 ) l o g 4 14 4 4mnm n t ，因此 01mn ； （ 14 分） 当 1 12 t 时， 0m ， 20 log 3 2n ，从而 0mn ； （ 16 分） 综上所述， mn 的取值范围为 ( ,1) . （ 17 分） 20. 解：（ 1）设 , , 0, ,M x y P b ,0Qa ( 0)a ，易知 3,HP b ， ,PM x y b， ,MQ a x y ，由题设 32PM MQ ， 得 3 ,23 ,2x a
19、 xy b y 其中 0a ，从而 13ax ， 12by，且 0x ， 又由已知 0HP PM，得 HP PM ， 当 0b 时， 0y ，此时 3HP bk ，得 3PMk b， 又 PM PQkk ，故 3bab ， 23ba ，即 21 1 13 3 2xy， 2 4yx 0x ， 当 0b 时，点 P 为原点， HP 为 x 轴， PM 为 y 轴，点 Q 也为原点，从而点 M 也为原点，因此点 M 的轨迹 C 的方程为 2 4yx ，它表示以原点为顶点，以 1,0 为焦点的抛物线 ； （ 4 分） （ 2） 由题设，可设直线 l 的方程为 10y k x k ，直线 l 的方程为
20、1 1yxk ， 0k ， 又设 11,Ax y 、 22,B x y ， 则由 214y k xyx ，消去 x ，整理得 2 4 4 0ky y k ， 故 2241 kAB k ，同理 241DE k， （ 7 分） 则 2 2222411 1 14 1 8 2 3222 kS A B D E k kkk ，当且仅当1k 时等号成立，因此 四边形 ADBE 面积 S 的最小值为 32 . （ 9 分） （ 3） 当 0k 时 可设直线 l 的方 程为 1y k x， 由 22112y k xx y ，得 2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k ， 故 222 2 (1 )
21、12 kAB k ， 222 2 (1 )2kDE k ， （ 12 分） 22 24222 2241 2 2 1 6222 92 5 21 2 2 25k kSkkkk kk ， 当且仅当 2 1k 时等号成立 . （ 14 分） 当 0k 时，易知 22AB ， 2DE ，得 162 9S ，故当且仅当 2 1k 时 四边形 ADBE 面积 S 有最小值 169 . （ 15 分） 由题设，可设直线 l 的方程为 y kx ，当 0k 时，由 22221y kxxyab ， 消去 x ，整理得 2 2 2 2 2 2 0b a k x a b ，得 22 2 221ab kAB b a k
22、 ， 同理 22 2 221ab kDE b k a ， （ 12 分） 则 2 2 22 2 2 2 2 22112a b kS A B D Eb a k b k a ，其中 2 0k ， 若令 21uk ，则由 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 44222 2221b a k b k a a u c b u c ccv a bu u uk 22224 1124abc u ，其中 1u ，即 101u，故当且仅当 2u ，即 2 1k 时，v 有最大值 2224ab ，由 222abS v ，得 S 有最小值 22224abab ，故 当且仅当 1k 时， 四边形 ADBE 面积 S 有最小值为 22224abab. （ 17 分） 又当 0k 时， 2AB a ， 2DE b ，此时 2S ab ，由 22224 2ab abab，得当且仅当 1k 时， 四边形 ADBE 面积 S 有最小值为 22224abab. （ 18 分）
