1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年高考理科数学模拟考试试卷 数学试卷 （理科） 2009.04 说明：本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答 必须写 在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据 。 一、填空题（本大题满分 55 分）本大题共有 11 小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中 .每个空格填对得 5 分，填错或不填在正确的位置一律得零分 . 1若 复数 2z i i（ i 是虚数单位），则 |z . 2. 已知 函数 )10(lo g1)( aaxxf a 且 ， )(1 xf 是 )(xf 的反函数，若 )(1 x
2、fy 的图像过点 (3,4) ，则 a . 3. 用金属薄板制作一个直径为 0.2 米，长为 3 米的圆柱形通风管 .若不计损耗，则需要原材料 平方米（保留 3 位小数） . 4. 设 1e 、 2e 是平面内一组基向量，且 122a e e 、 12b e e ，则向量 12ee 可以表示为另一组基向量 a 、 b 的线性组合，即12ee a b . 5. 右图是某 算法的程序框图， 该 算法可表示分段函数，则其 输出结果所表示的分段函数为 fx . 6. 关于 x、 y 的二元线性方程组 23 52 ynx myx的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为 110 301，则 nm7. 在 极坐
3、标系中， 设 曲线 4sin 和 cos 1 相交于点 A 、 B ，则 AB . 8. 设 联结双曲线 221xyab与 221yxba（ 0a ， 0b ）的 4 个顶点的四边形面积为1S ，联 结其 4 个焦点的四边形面积为 2S ，则 12SS 的最大值为 . 开 始x输 入0x 1y 0x 1y 0y 结 束y输 出是是否否第 5 题图 9. 将函数 3 sin()1 cosxfx x=的图像向左平移 a（ 0a ）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则 a的最小值为 10. 园丁要 用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图所示 圆形花坛的四块区域 . 要求同一区域 内须 用同一种
4、颜色 的 鲜花，相邻区域 须 用不同颜色 的 鲜花 . 设 花圃中 布置 红色鲜花的 区域 数 量 为 ， 则随机变量 的 数学期望 E . 11. 已知数列 na 是首项为 a 、公差为 1 的等差数列，数列 nb 满足 1 nn nab a.若对任意的 *Nn ,都有 8nbb 成立 ,则实数 a 的取值范围是 . 二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中 . 每题选对得 4 分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分 . 12. 以下向量中，能
5、成为以行列式形式表示的直线方程 1 0 12 1 011xy 的一个法向量的是 （ ） A 1, 2n； B. 2,1n ； C. 1, 2n ; D. 2,1n . 13. 设 数列 na 的首项 11a 且前 n 项和为 nS .已知向量 1, naa ，1 1, 2nba满足ab ， 则 nn Slim（ ） A. 12 ； B. 1 ; C. 23 ; D. 32 . 14. 在 ABC 中，“ CBA sinsin2c o s ”是“ ABC 为钝角三角形”的 （ ） A必要非充分条件； B充分非必要条件； C充要条件； D既非充分又非必要条件 . 15. 现有两个命题： （ 1）
6、若 lg lg lg ( )x y x y ，且不等式 2y x t 恒成立，则 t 的取值范围是集合 P ； （ 2） 若函数 () 1xfx x ， 1,x 的图像与函数 ( ) 2g x x t 的图像没有交点，则 t 的取值范围是集合 Q ； 则以下集合关系正确的是 （ ） A PQ ； B. QP ； C. PQ ； D. PQ . 第 10 题图 三、解答题（本大题满分 79 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤 . 16. （本题满分 12 分）过抛物线 2 4yx 的焦点 F 且方向向量为 1,2d 的直线 l 交该抛物线于 A 、 B 两
7、点，求 OAOB 的值 . 17. （本题满分 14 分） 已知复数 1 cosz x i， 2 1 sinz x i （ i 是虚数单位），且125zz .当实数 2 ,2x 时，试用列举法表示满足条件的 x 的取值集合 P . 18. （本题满分 15 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 9 分） 若 *Nn ， 1 2 2nnnab （ na 、 nbZ ） . (1) 求 55ab 的值； （ 2）求证：数列 nb 各项均为奇数 . 19. （本题满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分） 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所
8、示的自动通风设施 .该设施的下部 ABCD 是矩形，其中 2AB 米， 0.5BC 米 .上部 CmD 是个半圆，固定点 E 为 CD的中点 . EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风）， MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆（ MN 和 AB DC、 不重合） . （ 1）当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时，求此时三角通风窗 EMN 的通风面积； （ 2）设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米，试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S （ 平方米）表示成关于 x 的函数 S f x ； （ 3）当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时
9、，三角通风窗 EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面 积 . 20. （本题满分 22 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是直角梯形，其中DA AB ， /AD BC . 22PA AD BC ， 22AB （ 1） 求异面直线 PC 与 AD 所成角的大小； （ 2） 若平面 ABCD 内有一经过点 C 的曲线 E ，该曲线上的任一动点 Q 都满足 PQ 与 AD所成角的大小恰等于 PC 与 AD 所成角 . 试判断曲线 E 的形状并说明理由； （ 3）在平面 ABCD 内，
10、设点 Q 是（ 2）题中的曲线 E 在直角梯形 ABCD 内部（包括边界）的一段曲线 CG 上的动点，其中 G 为曲线 E 和 DC 的交点 . 以 B 为圆心， BQ 为半径的圆分别与梯形的边 AB 、 BC 交于 M 、 N 两点 . 当 Q 点在曲线段 GC 上运动时，试提出一个研究有关四面体 P BMN 的问题（如体积、线面、面面关系等）并尝试解决 . 【说明：本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分；本 小题的计算结果可以使用近似值，保留 3 位小数】 ABCDP第 20 题图 A BCD EmM NA BCDEmM N图 （ 2） 第 19 题图 上海市普陀区 2008 学
11、年度第二学期高三年级质量调研 数学试卷参考答案及评分标准（文理科） 2009.04 一、填空题（每题 5 分，理科总分 55 分、文科总分 60 分）： 1. 2 ； 2. 理： 2；文： ,1 2, ； 3. 理： 1.885；文： 2； 4. 理： 21,33 ；文： 1.885； 5. 理 ： 1, 00, 01, 0xxx； 文 ： 4； 6. 理 ：351 ；文： 21,33 ； 7. 理： 23；文： 1, 00, 01, 0xxx； 8. 理 ： 12 ；文： 6； 9. 理： 56p；文： 112 ； 10. 理： 1； 文： 12 ； 11. 理： 8, 7 ；文： 56p；
12、 12. 文： 8, 7 ； 二、选择题（每题 4 分，总分 16 分）： 题号 理 12；文 13 理 13；文 14 理： 14；文： 15 理 15；文： 16 答案 A C B C 三、解答题： 16.（理，满分 12 分） 解：因为抛物线的焦点 F 的坐标为 (1,0) ，设 11,Ax y 、 22,B x y ， 由条件，则直线 l 的方程为 1 11 2 2x y yx ， 代入抛 物线方程 2 4yx ，可得 2224 2 4 02yy y y ，则 12 4yy . 于是， 2121 2 1 2 1 2 1 4 316yyO A O B x x y y y y . 2 4
13、8 12 17.（文，满分 12 分） 解 ： 因为 0a b a b ，所以由条件可得1 2nn aa ， *Nn . 4 即数列 na 是公比 12q 的等比数列 . 又 31 2 1aa q， 所以，1 12lim 1131 2nnaS q . 6 8 12 （理） 17.（文） 18. （满分 14 分） 解：因为 12 c os 1 1 sinz z x x i 22c o s 1 1 s i n 5xx 所以， sin cos 1xx 2 sin 14x 2si n 42x 即 3244xk 或 244xk ， kZ 2xk 或 2 2xk， kZ 又由 2 ,2x ，即 当 0k
14、 时， x 或 2x ；当 1k 时， x 或 32x . 所以，集合 3, , ,22P . 3 7 11 14 18.(理，满分 15 分 ，第 1 小题 6 分，第 2 小题 9 分） 解：（ 1）当 5n 时， 5 2 50 1 2 55 5 5 51 2 2 2 2C C C C 2 4 3 50 2 4 1 3 55 5 5 5 5 52 2 2 2 2C C C C C C 41 29 2 故 5 29a ， 5 41b ，所以 5570ab . （ 2）证：由数学归纳法 （ i）当 1n 时，易知 1 1b ，为奇数； （ ii）假设当 nk 时， 1 2 2kkkab ，其中
15、 kb 为奇数； 则当 1nk时， 3 6 8 11 2 1 2 1 2 2 1 2kk kkab 22k k k ka b b a 所以 1 2k k kb b a ，又 ka 、 kbZ ，所以 2ka 是偶数， 而由归纳假设知 kb 是奇数，故 1kb 也是奇数 . 综上（ i）、（ ii）可知， nb 的值一定是奇数 . 证法二： 因为 20 1 21 2 2 2 2nn nn n n nC C C C 当 n 为奇数时， 2 4 10 2 4 12 2 2 nnn n n n nb C C C C 则当 1n 时， 1 1b 是奇数；当 3n 时， 因为其中 2 4 12 4 12
16、2 2 nnn n nC C C 中必能被 2 整除，所以为 偶数， 于是， 2 4 10 2 4 12 2 2 nnn n n n nb C C C C 必为奇数； 当 n 为偶数时， 240 2 42 2 2 nnn n n n nb C C C C 其中 24242 2 2 nnn n nC C C 均能被 2 整除，于是 nb 必为奇数 . 综上可知， nb 各项均为奇数 . 10 14 15 10 14 15 19. （文，满分 14 分） 解：如图，设 BC 中点为 D ，联结 AD 、 OD . 由题意， 2OB OC, 60BOC ,所以 OBC 为等边三角形， 故 2BC ，
17、且 3OD . 又 1 332ABCS B C A D A D ， 所以 22 6A O A D O D . 而圆锥体的底面圆面积为 2 4S OC , 所以圆锥体体积 1 4 633ABCV S A O . 3 8 10 14 （理） 19. （文） 20. （满分 16 分，第 1 小 题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分） 解：（ 1）由题意，当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时， MN 应位于 DC 上方， A O C B 第 19题图 D 且此时 EMN 中 MN 边上的高为 0.5 米 . 又因为 1 12EM EN DC 米，可得 3MN 米 . 所以，
18、1324E M NS M N h 平方米， 即三角通风窗 EMN 的通风面积为 34 平方米 . （ 2） 1 如图（ 1）所示，当 MN 在矩形区域滑动，即 10,2x 时， EMN 的面积 1 1 1( ) | |2 2 2S f x M N x x ； 2 如图（ 2）所示，当 MN 在半圆形区域滑动，即 13,22x 时， 21| | 2 1 ( )2M N x ，故可得 EMN 的面积 11( ) | |22S f x M N x 21 1 12 1 ( ) ( )2 2 2xx 211122xx ； 综合可得： 211, 0 , ,22()1 1 1 31 ( ) , , .2 2
19、 2 2xxS f xx x x （ 3） 1 当 MN 在矩形区域滑动时， ()fx在区间 10,2上单调递减， 则有 1( ) (0) 2f x f； 2 当 MN 在半圆形区域滑动时， 2 4 6 9 10 12 A BCDEmM N图 （ 2）A BCD EmM N图 （ 1）222 2 211( ) 1 ( ) 1 1 1 1 122( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 2 2 2 2xxf x x x x x ， 等号成立 2211( ) 1 ( )xx ， 13,22x 1 1 3( 2 1) ,2 2 2x . 因而当 1 ( 2 1)2x（米）时，每个三角通
20、风窗 EMN 得到最大通风面积，最大面积为max 12S （平方米） . 15 16 21（文，满分 18 分，第 1 小题 5 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 7 分） 解 ：（ 1）设右焦点坐标为 ( ,0)Fc （ 0c ） . 因为双曲线 C 为等轴双曲线，所以其渐近线必为 yx ， 由对称性可知，右焦点 F 到两条渐近线距离相等，且 4POF . 于是可知， OPF 为等腰直角三角形，则由 2OP 2OF c ， 又由等轴双曲线中， 222ca 2 2a. 即，等轴双曲线 C 的方程为 222xy. （ 2）设 11,Ax y 、 22,B x y 为双曲线 C 直线 l 的
21、两个交点 . 因为 (2,0)F ，直线 l 的方向向量为 1,2d ，直线 l 的方程为 2 2 ( 2 )12xy yx . 代入双曲线 C 的方程 222xy，可得 2224 2 2 3 16 18 0x x x x ， 于是有 121216 ,36.xxxx 而 1 2 1 2 1 2 1 24 2 2O A O B x x y y x x x x 1 2 1 2 105 8 1 6 3x x x x . （ 3） 假设存在定点 ,0Pm ，使 PMPN 为常数，其中 ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN 为直线l 与双曲线 C 的两个交点的坐标 . 当直线 l 与 x 轴不
22、垂直时，设直线 l 的方程为 )2( xky 3 5 7 9 11 代入 222xy， 可 得 0)24(4)1( 2222 kxkxk . 由题意可知， 1k ，则有 142221 k kxx， 1242221 kkxx 于是， 21 2 1 222P M P N x m x m k x x 22212212 4)(2()1( mkxxmkxxk )21(21 )1(41 2)21(241 )2(41 )24)(1(2222222222222mmk mmk kmmkk mkkk kk 要使 PMPN 是与 k 无关的常数，当且仅当 1m ，此时 1PM PN . 当直线 l 与 x 轴垂直时，可得点 )2,2(M , )2,2( N ， 若 1m ， 1PM PN 亦 为常数 . 综上可知，在 x 轴上存在定点 (1,0)P ，使 1PM PN 为常数 . 13 16 17 18
