1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年高考文科数学模拟考试试卷 数学文科 2009.4 （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意： 本试卷包括试题纸和答题纸两部分在本试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题可使用符合规定的计算器答题 一、填空题（本大题满分 60 分）本大题共有 12 题，每题 5 分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果 1直线 013 yx 的倾斜角为 2已知全集 RU ，集合 0542 xxxM ， 1 xxN ，则 )( NCM U = 3 若复数 z满足 i iz 3 (其中 i 是虚数单位 )， 则 z = 4二项式 6
2、)21( x 展开式中 3x 系数的值是 5高三（ 1）班班委会由 3 名男生和 2 名女生组成 ，现从中任选 2 人参加上海世博会的志愿者工作，则选出的人中至少有一名女 生的概率是 6如果某音叉发出的声波可以用函数 ttf 00.001sin40)( 描述，那么音叉声波的频率是 赫兹 7若抛物线 pxy 22 的焦点与椭圆 126 22 yx 的右焦点重合， 则实数 p 的值是 8 方程 33tan x 的解 是 9如图是输出某个数列前 10 项的框图，则该数列第 3 项的值是 10. 若经过点 P（ 1， 0）的直线与圆 22 4 2 3 0x y x y 相切，则此直线的 方程 是 .
3、11计算： )11211(lim 222 n nnnn = . 输出 A 1NN10N否 结束 是 1A1A开始 1N第 9 题 32 2 AAA 12在 ABC 中， 5AB ， 7AC ， D 是 BC 边的中点，则 BCAD 的值是 . 二、 选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题 4 分每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置 13线性方程组78615304zyxzyxzyx 的增广矩阵是（ ） A786115130411 B786115130411 C 861513411 D854611131 14在直角坐标系 xoy 中，已知 A
4、BC 的顶点 )01( ，A 和 )01(，C ，顶点 B 在椭圆 134 22 yx 上，则 B CAsin sinsin 的值是 （ ） A 23 B 3 C 2 D 4 15 以 cba 、 依次表示方程 232212 xxx xxx 、 的根，则 cba 、 的大小顺 序为 （ ） A cba B cba C bca D cab 16 如图，下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个 几何体 是 （ ） A （ 1）（ 2） B （ 1）（ 3） C （ 2）（ 3） D （ 1）（ 4） 三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有
5、5 题，解答下列各题 必须在答题纸上 与题号对应的区域写出必要的步骤 . （ 2）底面 直径和高均为 2 的圆柱 （ 1） 棱 长为 2 的正方体 （ 3）底面 直径和高均为 2 的圆锥 303x x（ 4）底面 边长为 2、高为 3 的正四棱柱 17 (本题满分 12 分 )动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的长方形熊猫居室（如图所示）如果可供建造围墙的材料长是 30 米，那么宽 x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？ 18. (本题满分 14 分 ) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分 . 已知某圆锥的体积
6、是 12 cm3，底面半径等于 3cm （ 1）求 该圆锥的高； （ 2） 求 该圆锥的侧面积 19 (本题满分 15 分 ) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 4 分，第 3小题满分 8 分 . 已知等差数列 na 和等比数列 nb 的通项公式分别为 )1(2 nan 、 nnb )21(，（其中 *Nn ） （ 1）求数列 na 前 n 项的和； （ 2）求数列 nb 各项的和； （ 3）设数列 nc 满足 )(. )( 为偶数时当 为奇数时当， na nbcnnn ， 求数列 nc 前 n 项的和 20 (本题满分 15 分 ) 本题共有 2 个小题，第
7、1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 10分 . 已知 a 为实数，函数 3sin)( af ， 1sin )1(3)( ag （ R ） （ 1）若 cos)( f ，试求 a 的取值范围； （ 2）若 1a ，求函数 )()( gf 的最小值 21 (本题满分 18 分 ) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 7 分 ，第 3 小题满分 7 分 . 已知 BA、 是抛物线 xy 42 上的相异两点 （ 1）设过点 A 且斜率为 1 的直线 1l ，与过点 B 且斜率 1 的直线 2l 相交于点 P(4， 4)，求直线 AB 的斜率； （ 2）问题（ 1）的条
8、件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线 ，过该圆锥曲线上的相异两点 A、 B 所作的两条直线 21 ll、 相交于圆锥曲线 上一点；结论是关于直线AB 的斜率的值请你对问题（ 1）作适当推广，并给予解答； （ 3）线段 AB（不平行于 y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点 )0( 0，xQ 若 20x ，试用 0x 表示线段 AB 中点的横坐标 数学 文理科 试 卷 参 考答案 与评 分 标 准 2009.4 说明 1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同 ,可参照解答中评分标准的精神进行评分 . 2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答 中出现错误而
9、中断对该题的评阅 . 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分 . 3. 第 17 题至第 21 题中右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数 . 4. 给分或扣分均以 1 分为单位 . 答案及评分标准 1 3 ； 2 1xx ； 3 10 ； 4 160 ； 5（理） 66.8 元； （文） 0.7； 6（理） coscos42 ； （文） 200 赫兹； 7（理） 5； （文） p=4 8（理） 858 xx 或 ； （文
10、） Zkkxx ,69 2113 ； 10（理） cos 3 ； （文） 方程为 01yx 11（理） 34 ； （文） 21 ； 12 12 13 16： A； C ； C； 理 B 文 A 17设熊猫居室的总面积为 y 平方米，由题意得： )100()330( xxxy 6 分 解法 1： 75)5(3 2 xy ，因为 )10,0(5 ，而当 5x 时， y 取得最大值 75 10 分 所以当熊猫居室的宽为 5 米时，它的面积最大，最大值为 75 平方米 12 分 解法 2 ： 22 )330(331)330(331)330( xxxxxxy =75 ，当 且仅当xx 3303 ，即 5
11、x 时， y 取得最大值 75 10 分 所以当熊猫居室的宽为 5 米时，它的面积最大，最大值为 75 平方米 12 分 18理：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为 )0,0,1(A 、 )0,0,0(D 、 )0,2,0(C 、)1,0,1(A 、 )1,2,1(B 、 )1,0,0(D 2 分 设平面 ACB 的法向量为 ),( wvun ，则 ABn ， CBn 因为 )1,2,0( AB ， )1,0,1( CB ， 3 分 0 ABn ， 0 CBn ， 所以 .0 ,02 wu wv解得 vwvu 2,2 ，取 1v ，得平面 ACB 一个法向量 )2,1,2( n ，且
12、 3n 5 分 （ 1）在平面 ACB 取一点 A ，可得 )1,0,1(DA ，于是顶点 D 到平面 ACB 的距离34nDAnd ，所以顶点 D 到平面 ACB 的距离为34 ， 8 分 （ 2）因为平面 ABC 的一个法向量为 )1,0,0(1 n ，设 n 与 1n 的夹角为 ，则 32cos 11 nn nn， 12 分 结合图形可判断得二面角 BACB 是一个锐角，它的大小为 32arccos 14 分 文 ：（ 1）圆锥底面积为 9 cm2， 1 分 设圆锥高为 h cm，由体积 hV 931 ， 5 分 由 12V cm3 得 4h cm； 8 分 （ 2）母线长 5l cm，
13、 9 分 设底面周长为 c ，则该圆锥的侧面积 = cl21 ， 12 分 所以该圆锥的侧面积 = 15 cm2 14 分 19 （理）（ 1） 164a ； 3 分 A D A B C B C D （ 2）当 kn 2 时，（ *Nk ） kkkkkk kkSSa 2222221222 2)12(3412 )2()12(3412 )2( ， 6 分 所以， nna 42 （ *Nn ） 8 分 （ 3）与（ 2）同理可求得： )12(3112 na n， 10 分 设 nn aaaaaaaa 212654321 = nT ， 则 4)12(4543431 32 nn nT ，（用等比数列前
14、n 项和公式的推导方法）4)12(45434314 1432 nn nT ，相减得 4)12()444(24313 132 nnn nT ，所以 94)14(273249 12 11 nnn nT 14 分 （文）（ 1） 设数列 前 n 项和为 nS ，则 nnnnSn 22 )220( 3 分 （ 2）公比 121q ，所以由无穷等比数列各项的和公式得： 数列 nb 各项的和为21121=1 7 分 （ 3）设数列 nc 的前 n 项和为 nT ， 当 n 为奇数时， nnn bababT 1321 = 2 )1()41(1(32 221 nn ； 11 分 当 n 为偶数时， nnn a
15、bbabT 1321 = 2)41(1(32 22 nn 14 分 即为偶数时当，为奇数时当nnnnTnnn322)21(32,322 )1()21(3222)1( 15 分 20（ 1） cos)( f 即 a 3c o ss in ，又 )4s in (2c o ss in ， 2 分 所以 232 a ，从而 a 的取值范围是 23,23 5 分 （ 2） 21s in )1(3)1( s in)()( aagf ，令 x1sin ，则 20 x ，因为1a ，所以 )1(32)1(3 axax ，当且仅当 )1(3 ax 时，等号成立， 8 分 由 2)1(3 a 解得 37a ，所以
16、当 371 a 时，函数 )()( gf 的最小值是2)1(32 aa ； 11 分 下面求当 37a 时，函数 )()( gf 的最小值 当 37a 时， 2)1(3 a ，函数 xaxxh )1(3)( 在 2,0( 上为减函数所以函数)()( gf 的最小值为 2 )1(522 )1(32 aaa 当 37a 时，函数 xaxxh )1(3)( 在 2,0( 上为减函数的证明：任取 20 21 xx ，)1(31)()()( 121212 xxaxxxhxh ， 因 为 40 12 xx ， 4)1(3 a ， 所 以0)1(31 12 xxa ， 0)()( 12 xhxh ，由单调性
17、的定义函数 xaxxh )1(3)( 在 2,0( 上为减函数 于是，当 371 a 时，函数 )()( gf 的最小值是 2)1(32 aa ；当 37a 时，函数 )()( gf 的最小值 2 )1(5 a 15 分 21（ 1）由 .4 ,082 xyyx 解得 )8,16( A ；由 .4 ,02 xyyx 解得 )0,0(B 由点斜式写出两条直线 21 ll、 的方程， 0:;08: 21 yxlyxl ， 所以直线 AB 的斜率为 21 4 分 （ 2） 推广的评分要求分三层 一层 :点 P 到一般或斜率到一般 ,或抛物线到一般（ 3 分，问题 1 分、解答 2 分 ） 例： 1已
18、知 BA、 是抛物线 xy 42 上的相异两点 设过点 A 且斜率为 1 的直线 1l ， 与过点 B 且斜率为 1 的直线 2l 相交于抛物线 xy 42 上的一定点 P ),4(2 tt ，求直线 AB 的斜率； 2已知 BA、 是抛物线 xy 42 上的相异两点 设过点 A 且斜率为 k 1 的直线 1l ， 与 过点B 且斜率为 k 的直线 2l 相交于抛物线 xy 42 上的一点 P（ 4， 4），求直线 AB 的斜率； 3已知 BA、 是抛物线 )0(22 ppxy 上 的相异两点 设过点 A 且斜率为 1 的直线 1l ，与 过点 B 且斜率为 1 的直线 2l 相交于抛物线 )
19、0(22 ppxy 上的一定点 P ),2(2 tpt，求直线 AB 的斜率； AB 的斜率的值 二层 :两个一般或推广到其它曲线（ 4 分，问题与解答各占 2 分） 例： 4已知点 是抛物线 xy 42 上的定点过点 P 作斜率分别为 k 、 k 的两条直线21 ll、 ，分别交抛物线于 A、 B 两点，试计算直线 AB 的斜率 三层 :满分 （对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法） （ 7 分，问题 3 分、解答 4 分） 例如： 5.已知抛物线 pxy 22 上有一定点 P，过点 P 作斜率分别为 k 、 k 的两条直线 21 ll、 ，分别交抛物线于 A、 B 两点，试计算
20、直线 AB 的斜率 过点 P （ 00,yx ）， 斜 率 互 为 相 反 数 的 直 线 可 设 为 00 )( yxxky ，00 )( yxxky ，其中 020 2pxy 。 由 pxy yxxky 2 )(2 00得 022 2002 kypypyky ，所以 )2,2 )2( 020ykppykpA 同理，把上式中 k 换成 k 得 )2,2 )2( 020ykpp ykpB ，所以 当 P 为原点时直线 AB 的斜率不存在，当 P 不为原点时直线 AB 的斜率为0yp 。 （ 3）（理）点 )0( 0，xQ ，设 ),(),( 2211 yxByxA ，则 )2,1(42 ixy
21、 ii 设线段 AB 的中点是 ),( mm yxM ，斜率为 k ，则1212 xx yyk =myyy2421 12 分 所以线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 )(2mmm xxyyy ， 又点 )05(，Q 在直线 l 上 ， 所 以 )5(2mmm xyy ，而 0my ，于是3mx 13 分 (斜率 ，MQ，ABxyk mmMQ 50 mmm yxy 52 ，则 3mx -13分 ) 线段 AB 所在直线的方程为 )3(2 xyyy mm， 14 分 代入 xy 42 ，整理得 03612244 242 mm yyxx 15 分 621 xx ， 4 3612 2421 mm
22、yyxx 。设 AB 线段长为 l ，则 4) (41()(1( 21221222122 xxxxyxxkl m = 488)12)(4( 2422 mmmm yyyy 16 分 因为 1240 2 mm xy ，所以 ），（），（ 320032 my 18 分 即： 488 24 mm yyl （ 3232 my ） （文）设 ),(),( 2211 yxByxA ，则 )2,1(42 ixy ii 13 分 设线段 AB 的中点是 ),( mm yxM ，斜率为 k ，则1212 xx yyk =myyy2421 ， 15 分 线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 )(2mmm xxyyy ， 17 分 又点 )0( 0，xQ 在直线 l 上，所以 )(20 mmm xxyy ， 而 0my ，于是 20 xxm 故线段 AB 中点的横坐标为 20x 18 分
