1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年高考文科数学模拟考试试卷 数学（文科） 一 . 填空题（本大题满分 60 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得5 分，否则一律得零分 1. 若 2 2 311n n nC C C n N，则 n _ 2. 若复数 z满足 1 3 2i2izz （ i 是虚 数 单位），则 z _ 3. 已知 1tan62， tan 36，则 tan _ 4. 由 0 ， 1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 六个数字组成无重复数字且数字 2 ， 3 相邻的四位数共 _个（结果用数字表示） 5. 函数 2sin cosy x x的最小正周期是
2、_ 6. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设 I 为地震时所散发出来的相对能量强度，则里氏震级量度 r可定义为 2lg 23rI 2008 年 5 月 12 日，四川汶川发生的地震是 8.0级，而 1976 年唐山地震的震级为 7.8 级，那么汶川地震所散发的相对能量是唐山地震所散发的相对能量的 _倍 （精确到个位） 7. 已知直线 3 2 5 0xy 的方向向量与直线 5 2 0ax y 的法向量垂直，则实数a _ 8. 在一个水平放置的底面半径为 3 cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升 R cm，则R
3、_cm 9. 已知 ,Pxy 是抛物线 xy 82 的准 线与 双曲线 128 22 yx 的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则 yxz 2 的最大值为_ 10. 如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为 1 的正方体和 4 个边长为 1 的正三角形组成，则该多面体的体积是 _ 11. 已知函数 2 31f x m x m x 的值域是 0, ) ，则实数 m 的取值范围是_ 12. 在解决问题：“证明数集 23A x x 没有最小数”时，可用反证法证明 假设 23aa 是 A 中的最小数，则取 22aa ，可得：2 2 2232 2 2a a aaa ，与假设中“
4、a 是 A 中的最小数”矛盾！ 那么对于问题：“证 明 数集 , , ,nB x x m n n mm N 并 且没有最大数”，也可以用反证法证明我们可以假设 00nx m 是 B 中的最大数，则可以找到 x _（用0m ， 0n 表示） ，由此可知 xB ， xx ，这与假设 矛盾！ 所以数集 B 没有最大数 二选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4 分，否则一律得零分 . 13. 圆 22 8 6 1 6 0x y x y 与圆 2264xy的位置关系是 ( ) (A) 相交
5、 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 14. 已知无穷等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，各项的和为 S ，且 lim 2 1nn SS ，则其首项 1a 的取值范围是 ( ) (A) 1,0 0,1 (B) 2, 1 1, 0 (C) 0,1 1,2 (D) 2,0 0, 2 15. 在平面 直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为 整数 的点称为整点，如果函数 fx的图像恰好通过 nn *N 个整点，则称函数 fx为 n 阶整点函数有下列函数： sin 2f x x 3g x x 13xhx lnxx ， 其中是一阶整点函数的个数为 （ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （
6、 D） 4 16. 已知正方形 ABCD 的面积为 36 ， BC 平行于 x 轴，顶点 A 、 B 和 C 分别在函数3logayx 、 2logayx 和 logayx （其中 1a ）的图像上，则实数 a 的值为 ( ) (A) 3 (B) 6 (C)63 (D) 36 三解答题 （本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤 . 17. (本题满分 12 分 ) 已知函数 2 21f x x tx ， 2,5x 有反 函 数，且函数 fx的最大值为 8 ，求实数 t 的值 . 18. (本题满分 14 分 ) 本题共有 2
7、个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 . 在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且 co s 3 co s co sb C a B c B. （ 1） 求证： 1cos 3B ； （ 2） 若 2BA BC，且 22b ，求 a 和 c 的值 . 19. (本题满分 14 分 ) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 . 已知数列 na 满足1 25a，且对任意 n N ，都有 112 2 3n n n na a a a （ 1） 求证：数列 1na为等差数列； （ 2） 试问数列 na 中任意连续
8、两项的乘积 1kka a k N是否仍是 na 中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由 20. (本题满分 16 分 )本题共有 3 个小题， 第 1 小题 满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分 . 定义区间 ,mn ， ,mn ， ,mn ， ,mn 的长度均为 nm ，其中 nm （ 1） 若关于 x 的不等式 22 12 3 0ax x 的解集构成的区间的长度为 6 ，求实数 a的值； （ 2） 求关于 x 的不等式 2s in c o s 3 c o s 0x x x， 0,2x 的解集构成的各区间的长度和； （ 3） 已知关于 x 的不
9、等式组 226 1,lo g lo g 3 2xx tx t 的解集构成的各区间长度和为6 ，求实数 t 的取值范围 21. (本题满分 18 分 )本题共有 3 个小题， 第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分 . 已知等轴双曲线 C 的两个焦点 1F 、 2F 在直线 yx 上，线段 12FF 的中点是坐标原点，且双曲线经过点 33,2 （ 1） 若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线 C 的方程： 22274xy ； 9xy ； 92xy 请确定哪个是 等轴双曲线 C 的方程，并求出此双曲线的实轴长； （ 2） 现要在等轴双曲线 C 上选一处
10、P 建一座码头，向 3,3A 、 9,1B 两地转运货物经测算，从 P 到 A 、从 P 到 B 修建公路的费用都是 每单位长度 a 万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？ （ 3） 如图，函数 313yxx的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分） 数学 文科答案 说明 1. 本解答列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解法不同 ,可参照解答中评分标准的精神进行评分 . 2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅 . 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分
11、，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分 . 3. 第 17 题至第 21 题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数 . 4. 给分或扣分均以 1 分为单位 . 答案及评分标准 一、（第 1 至 12 题）每题正确的给 5 分，否则一律得零分 . 1.5 . 2. 47i55 . 3. 7 . 4. 60 . 5. . 6. 2 . 7. 152 . 8. 32 . 9.5 . 10. 26c . 11. 0,1 9, 12.答案不惟一， 0011nm ， 000
12、2nmm ， . 二、（第 13 至 16 题）每一题正确的给 4 分，否则一律得零分 . 题 号 13 14 15 16 代 号 C B B C 三、（第 17 至 21 题） 17.【解】 因为函数有反函数，所以在定义域内是一一对应的 函数 2 21f x x tx 的对称轴为 xt ，所以 2t 或 5t 3 分 若 2t ，在区间 2,5 上函数是单调递增的，所以 m a x 5 2 5 1 0 1 8f x f t ，解得 95t ，符合 7 分 若 5t ，在区间 2,5 上函数是单调递减的，所以 m a x 2 4 4 1 8f x f t ，解得 34t ，与 5t 矛盾，舍去
13、 11 分 综上所述 ，满足题意的实数 t 的值为 95 12 分 18【解】 （ 1）因为 c o s 3 c o s c o sb C a B c B， 由正弦定理，得 s i n c o s 3 s i n c o s s i n c o sB C A B C B， 3 分 整理 得 sin 3 sin c o sB C A B 因为 A 、 B 、 C 是 ABC 的三内角，所以 s in s in 0B C A ， 5 分 因此 1cos 3B 6 分 （ 2） 1c o s 23B A B C B A B C B a c ，即 6ac 9 分 由余弦 定理得 2 2 2 2 c o
14、 sb a c ac B ，所以 2212ac， 12 分 解方程组226 12acac ，得 6ac 14 分 19【解】 （ 1）由 112 2 3n n n na a a a，可得11 1 32nnaa ， 3 分 所以数列 1na是以 52 为首项，公差为 32 的等差数列 6 分 （ 2）由（ 1）可得数列 1na的通项公式为 1 3 22n na ，所以 232na n 8 分 1 22 2 43 2 3 1 2 9 2 1 1 0kkaa k k k k 229 21 6 22kk 223 7 2322kk 10 分 因为 2 2 13 7 2 3122 kkkk kk ， 11
15、 分 当 k N 时， 12kk 一定是正整数，所以 23 7 22kk是正整数 13 分 所以 1kkaa 是数列 na 中的项，是第 23 7 22kk项 14 分 20【解】 （ 1） 0a 时不合题意； 1 分 0a 时，方程 22 12 3 0ax x 的两根设为 1x 、 2x ，则 126xxa， 12 32xx a ，由题意知 2 21 2 1 2 1 2 23 6 664x x x x x x aa ， 2 分 解得 2a 或 3a （舍）， 3 分 所以 2a 4 分 （ 2）因为 2sin c o s 3 c o sx x x 13sin 2 1 c o s 222xx
16、3si n 2 32x ， 原不等式即为 3si n 232x ， 0,2x 6 分 不等式 3si n 232x 的解集为 ,32x k x k k Z， 7 分 所以原不等式的解集为 2 3 50 , , , 22 3 2 3 8 分 各区间的长度和为 53 9 分 （ 3）先解不等式 6 1x ，整理得 6 0xx ，即 60xx 所以不等式 6 1x 的解集 0,6A 10 分 设不等式 22lo g lo g 3 2x tx t 的解集为 B ，不等式组的解集为 AB 不等式 22lo g lo g 3 2x tx t 等价于20303 4 0xtx ttx tx 11 分 又 0,
17、6AB ，不等式组的解集的各区间长度和为 6 ，所以不等式组2303 4 0tx ttx tx ，当 0,6x 时，恒成立 12 分 当 0,6x 时，不等式 30tx t恒 成立，得 0t 13 分 当 0,6x 时，不等式 2 3 4 0tx tx 恒成立，即2 43t xx 恒成立 14 分 当 0,6x 时，243xx的取值范围为 2 ,27，所以实数 227t 15 分 综上所述， t 的取值范围为 20,27 16 分 21【解】 （ 1）双曲线 22274xy 的焦点在 x 轴上，所以 不是双曲线 C 的方程 1 分 双曲线 9xy 不经过点 33,2，所以 不是双曲线 C 的方
18、程 2 分 所以 92xy 是 等轴双曲线 C 的方程 3 分 等轴双曲线 92xy 的 焦点 1F 、 2F 在直线 yx 上，所以双曲线的顶点也在直线yx 上， 4 分 联立方程 92xyyx ，解得双曲线 92xy 的两顶点坐标为 3 3 3 3,22， 3 3 3 3,22，所以双曲线 92xy 的实轴长为 6 5 分 （ 2） 所求问题即为：在双曲线 92xy 求一点 P ，使 PA PB 最小 首先，点 P 应该选择在等轴双曲线的 92xy 中第一象限的那一支上 6 分 等轴双曲线的 92xy 的长轴长为 6 ，所以其焦距为 62 又因为双曲线的 两个焦点 1F 、 2F 在直线
19、yx 上，线段 12FF 的中点是原点，所以 3,3A 是 92xy 的一个焦点， 7 分 设双曲线的另一个焦点为 2 3, 3F ，由双曲线的定义知： 2 6PA PF 所以 2 6PA PB PF PB ，要求 PA PB 的最小值，只需求 2PF PB 的最小值 8 分 直线 2BF 的方程为 3 4 3 0xy ，所以直线 2BF 与双曲线 92xy 在第一象限的交点为 33,2 9 分 所以码头应在建点 P 33,2处，才能使修建两条公路的总费用最低 10 分 （ 3） 3 1 3 133f x x x f xxx ，此双曲线是中心对称图形，对称中心是原点 00， ； 1 分 渐近线
20、是 33yx 和 0x 当 0x 时，当 x 无限增大时， 1x 无限趋近于 0 ，313yxx与 33yx 无限趋近；当 y 无限增大时， x 无限趋近于 0 2 分 双曲线的对称轴是 3yx 和 33yx 3 分 双曲线的顶点为 443 27,， 443 27,，实轴在直线 3yx 上，实轴长为4212 4 分 虚轴在直线 33yx ，虚轴长为 4423 5 分 焦点坐标为 44 4, 123， 44 4, 123，焦距 46423 6 分 说明：（ i）若考生能把上述六条双曲线的性质都写出，建议此小题给满分 8 分 （ ii）若考生未能写全上述六条双曲线的性质，但是给出了 313yxx的一些函数性质（诸如单调性、最值） ，那么这些函数性质部 分最多给 1 分
