1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 届 高 考文科数学第 二 次模拟卷 （ 数学文 ) 命题、审校人：沈阳二中 于 里 考试时间： 120 分钟 满分： 150 分 第 卷 (共 60 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分。在每小题列出的 4 个选项中，只有一项符合题目要求。 ) 1设 z的共轭复数是 z ， 若 4zz ， 8zz ，则 zz 等于 ( ) A 1 B i C 1 D i 2函数 2( ) s i n 3 s i n c o sf x x x x 在区间 , 42上的最大值是 ( ) A 1 B 132 C 32 D 13 3已
2、知数列 na 对任意的 p ， *qN 满足 p q p qa a a ， 且 2 6a ， 那么 10a 等于 ( ) A 165 B 33 C 30 D 21 4函数 ln c o s ( )22y x x 的图象是 ( ) 5一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120 人，超过 45 岁的有 80 人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本，应抽取超过 45 岁的职工 ( )人 A 30 B 20 C 10 D 5 6已知 ， a ， b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向 量 c 满足 ( ) ( ) 0a c b c ，
3、则|c 的最大值是 ( ) A 1 B 2 C 2 D 22 7在平面直角坐标系 XOY 中，椭圆 221xyab（ 0ab） 的焦距为 2c ， 以 O 为圆心，以 a 为半径作圆，过点 2( ,0)ac 所作圆的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率 e（ ） A 22 B 32 C 33 D 63 8已知 1 2 3 0a a a ， 则使得 2(1 ) 1iax（ 1,2,3i ） 都成立的 x 取值范围是 ( ) A11(0, )a B12(0, )a C31(0, )a D32(0, )a 9已知函数 13y x x 的最大值为 M，最小值为 m ， 则 mM 的值为 ( ) A 14
4、 B 12 C 22 D 32 10设 ()fx是连续的偶函数，且当 0x 时 ()fx是单调函数，则满足 3( ) ( )4xf x f x 的所有 x 之和为 ( ) A 3 B 3 C 8 D 8 11已知 A， B， C， D 在同一个球面上， AB 平面 BCD ， BC CD ， 若 6AB ，2 13AC ， 8AD ， 则 B， C 两点间的球面距离是 ( ) A 53 B 43 C D 3 12为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为 0 1 2aaa ， 0,1ia （ 0,1,2i ） ，传输信息为 0 0 1 2 1h
5、aaah ， 其中0 0 1h a a， 1 0 2h h a， 运算规则为： 0 0 0， 0 1 1 ， 1 0 1， 1 1 0 ，例如原信息为 111，则传输信息为 01111传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是 ( ) A 11010 B 01100 C 10111 D 00011 第卷（共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13 将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第 n 行（ 3n ）从左向 右的第 3 个数为 。 14 若 0a ， 0b ，且当 001xyxy时，恒有 1ax
6、by，则以 a ， b 为坐标点 ( , )Pab 所形成的平面区域的面积等于 。 15如图 1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底 部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 p。 如果将容器 倒置，水面也恰好过点 P(图 2)。有下列四个命题： A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 C任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 D若往容器内再注入 a 升水，则容器恰好能装满 其中真命题的代号是： (写出所有真命题的代号 )。 16已知 ( ) sin( )3f x x （ 0 ）， ( ) ( )63
7、ff ， 且 ()fx在区间 ( , )63 有最小值，无最大值，则 。 三、解答题：本大题共 6 小题共 74 分，解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤。 17 (本小题满分 12 分 ) 已知函数 2( ) s i n 3 s i n s i n ( )2f x x x x ，（ 0 ）， 的最小 正周期为 （ ）求 的值； （ ） 求函数 ()fx在区间 20, 3 上的取值范围。 18 (本小题满分 12 分 ) 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位： cm ） （ 1） 在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯
8、视图； （ 2） 按照给出的尺寸，求该多面体的体积； （ 3） 在所给直观图中连结 BC ，证明： /BC 面 EFG 。 19 (本小题满分 12 分 ) 现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 1A 、 2A 、 3A 通晓日语， 1B 、 2B 、 3B 通晓饿语 ，1C 、 2C 通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小 组 （ ） 求 1A 被选中的概率； （ ） 求 1B 和 1C 不全被选中的概率。 20 (本小题满分 12 分 ) 在数列 na 中， 1 1a ， 21 12 (1 )nnaan （ ） 证明数列2nan是等比数列，并求 na 的通项公式
9、； （ ） 令1 12n n nb a a， 求数列 nb 的前 n 项和 nS ； （ ） 求数列 na 的前 n 项和 nT 。 21 (本小题满分 12 分 ) 已知 a 是 实 数 ， 函 数 2( ) ( )f x x x a （ ） 若 (1) 3f ， 求 a 的值及曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程； （ ） 求 ()fx在区间 0,2 上的最大值。 22 (本小题满分 14 分 ) 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 1( 3,0)F ， 一条渐近线的方程是5 2 0xy。 （ ） 求双曲线 C 的方程； （ ） 若以 k （ 0k ） 为斜率的
10、直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M， N，且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 812 ， 求 k 的取值范围 沈阳二中 2009 届 高三二模 (数学文 )参考答案 一、 1 D 2 C 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 B 9 C 10 C 11 B 12 C 二、 13 2 62nn 14 1 15 B， D 16 143 三、 17 解：（ ） 1 c o s 2 3( ) sin 222xf x x 3 1 1sin c o s 22 2 2xx 1sin(2 )62x 因为函数 ()fx的最小正周期为 ， 且 0 ， 所以 22 解得 1
11、6 分 （ ） 由 （ ） 得 1( ) s in ( 2 )62f x x 因为 20 3x ， 所以 726 6 6x 所以 1 sin (2 ) 126x 因此 130 s in ( 2 )6 2 2x ， 即 ()fx的取值范围为 30, 2 12 分 18解： （ ） 如图 ( )所求多面体体积 V V V长 方 体 正 三 棱 锥 114 4 6 ( 2 2 ) 232 2284()3 cm 7 分 ( )证明：在长方体 ABCD A B C D 中， 连结 AD ， 则 /AD BC 因为 E， G 分别为 AA ， AD中点， 所以 /AD EG ， 从而 /EG BC 又 B
12、C 平面 EFG ， 所以 /BC 面 EFG 12 分 19解： （ ） 从 8 人中选出日语、俄浯和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本事件空间 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 3 1 1 2 2 2 1 1 ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) ,A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1( , , ) , ( , , ) ,
13、( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) ,A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C3 2 2 3 3 1 3 3 2( , , ) , ( , , ) , ( , , ) A B C A B C A B C 由 18 个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因 此这些基本事件的发生是等可能的 用 M 表示 “ 1A 恰被选中 ”这一事件，则 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 3 1 1 2 2 ( , , ) , ( , , ) , (
14、, , ) , ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) M A B C A B C A B C A B C A B C A B C 事件 M 由 6 个基本事件组成 因而 61()18 3PM 6 分 （）用 N 表示 “ 1B 、 1C 不全被选中 ” 这一事件，则其对立事件 N 表示 “ 1B 、 1C 全被选中 ” 这一事件 ， 由于 1 1 1 2 1 1 3 1 1( , , ) , ( , , ) , ( , , ) N A B C A B C A B C ， 事件 N 有 3 个基本事件组成， 所以 31() 18 6PN ， 由对立事件的概率公式得 15( )
15、1 ( ) 1 66P N P N 12 分 20解： （ ） 由条件得 1221( 1) 2nnaa ， 又 1n 时 ，2 1nan， 故数列2nan构成首项为 1，公式为 12 的等比数列从而2112n nan ， 即 212n nna 4 分 （） 由 22( 1 ) 2 12 2 2n n n nn n nb 得23 5 2 12 2 2n nnS 2 3 11 3 5 2 1 2 12 2 2 2 2n nnnnS ， 两式相减得：2 3 11 3 1 1 1 2 12 ( )2 2 2 2 2 2n nn nS ，所以 255 2n nnS 8 分 （） 由2 3 1 1 21(
16、 ) ( )2n n nS a a a a a a 得 11 12n n n nT a a T S 所以 211 1462 2 2 1 2 2n n n nnnT S a a 12 分 21 (1)解： 2( ) 3 2f x x ax 因为 ( ) 3 2 3f I a ， 所以 0a 又当 0a 时 ( ) 1fI ， ( ) 3fI ， 所以曲线 ()y f x 在 (1, ( )fI 处的切线方程为 3 2 0xy 4 分 （） 解：令 ( ) 0fx ， 解得 1 0x ，2 23ax 当 2 03a ，即 0a 时， ()fx在 0,2 上单调递增，从而 m ax (2 ) 8 4
17、f f a 6 分 当 2 23a 时，即 3a 时， ()fx在 0,2 上单调递减 ， 从而 max (0) 0ff 8 分 当 2023a，即 03a， ()fx在 20, 3a 上单调递减 ，在 2 ,23a 上单调递增， 从而max 8 4 ,0, af 0223aa 10 分 综上所述 ，max 8 4 ,0, af 22aa 12 分 22 ( )解：设双曲线 C 的方程为 2222 1xyab（ 0a ， 0b ）， 由题设得 22952abba 解得 2245ab 所以双曲线 C 的方程为 22145xy 4 分 ( )解：设直线 l 的方程为 y kx m（ 0k ）， 点
18、 11( , )Mx y ， 22( , )Nx y 的坐标满足方程组 ,y kx m 22145xy 将式代入式，得 22()145x kx m， 整理得 2 2 2( 5 4 ) 8 4 2 0 0k x k m x m 此方程有 两个不等实根，于是 25 4 0k，且 2 2 2( 8 ) 4(5 4 )(4 20) 0km k m 整理得 225 4 0mk 7 分 由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 00( , )xy 满足 120 242 5 4xx kmx k， 00 2554my kx m k 从而线段 MN 的垂直平分线的方程为 225 1 4()5 4 5 4m kmyxk k k 此直线与 x 轴 ， y 轴的交点坐标分别为29( ,0)54kmk，29(0, )54mk由题设可得 221 9 9 8 1| | | |2 5 4 5 4 2km mkk整理得 222 (5 4 )|km k， 0k 11 分 将上式代入 式得 22 2(5 4 ) 5 4 0|k kk 整理得 22( 4 5 ) ( 4 | | 5 ) 0k k k ， 0k 解得 50 | | 2k 或 5|4k 所以 k 的取值范围是 5 5 5 5( , ) ( , 0 ) ( 0 , ) ( , )4 2 2 4 14 分
