1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年高考数学预测 试题 1 6 题，容易题； 7 12 题，中等题；较 08 年略难一点 13 14 题，较难题 一、填空题： 1 已知复数 122 i, 2 iz a z ， 若 | z1 | | z2 |，则实数 a 的取值范围是 答案：（ 1， 1） 2 以椭圆 22143xy的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 答案： 22 13yx 3 一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、左视图、俯视图的面积分别是 1， 2， 4，则这个几何体的体积为 答案： 434 已 知 函 数 23( ) lo g lo g 3f x a x b x ，若 1(
2、 ) 42009f ，则 (2009)f 的值为 答案： 2 5 将 圆 31 22 yx 绕 直线 01 ykx 旋转一周 ， 所得几何体的体积为 答案： 43 6 某 单位 为了了解用电量 y（度）与气温 x（ C）之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与当天气温，并制作了对照 表： 由表中数据得线性回归方程 y bx a中 2b ，预测当气温为 4C 时，用电量的度数约为 答案： 68 气温 x（ C） 18 13 10 1 用电量 y（度） 24 34 38 64 俯视图左视图正视图7 如图，在 Rt ABC 中， AC BC， D 在边 AC 上，已知 BC 2，CD 1， ABD
3、 45，则 AD 答案： 5 8 经过 抛物线 212yx上一 点 A（ 2， 2）的直线 与 抛物线的 另一交点为 B，若抛物线在 A， B 两处的 切线互相垂直，则直线AB 的 斜率为 答案： 349 抛掷一颗骰子 的 点数 为 a，得到 函数 ( ) sin( )3af x x， 则 “ )(xfy 在 0， 4上至少有 5 个零点 ” 的概率是 答案： 2310 按右图所示的流程图运算 ， 则输出 的 z 答案： 305 11 等边 ABC 中， P 在线段 AB 上，且 AP PB ， 若 CP AB PB AC ，则实数 的值是 答案： 2 12 在平面直角坐标系中，不等式组 0,
4、0,xyxyxa（ a 为常数）表示的平面区域的面积是 4， 则 yx 2 的最小值为 答案： 14 13 从一个半径为 1 的圆形铁片中剪去圆心角为 x 弧度的一个扇形，将余下的部分卷成一个圆锥（不考虑连接用料），当圆锥的容积达到最大时， x 的值是 答案： 6 2 6314 若 1|xax 12对一切 x 0 恒成立，则 a 的取值范围是 答案： a 2 二、解答题： 第一题：立几，容易题，预期得分率 0.75 立体几何考什么？怎样出题？ 1。平行（线线，线面，面面），重点仍是线面平面 两种方法（线线法，面面法） 2。垂直：条件与结论中都有垂直。重点是线线垂直与线面垂直（或面面垂直）的转化
5、。 结束 开始 I 1 y 5 z 2y x 输出 z N Y （第 8 题） x 2 x y y z I I 1 I 100 DC BA3。面积与体积。 4。题目的形成：长（正）方体一角，三棱柱一角。 要注意寻找三度（相当于长宽高）的垂直。 中点问题常与中位线、中线、重心相关。 求体积可结合变换法（如放缩法）更易。 15 1 如图，在三棱锥 D ABC 中，已知 BCD是正三角形， AB 平面 BCD， AB BC a，E 为 BC 的 中点， F 在棱 AC 上，且 AF 3FC （ 1）求三棱锥 D ABC 的表面积； （ 2）求证 AC 平面 DEF； （ 3）若 M 为 BD 的 中
6、点，问 AC 上是 否存在一点 N，使 MN 平面 DEF？ 若存在，说明点 N 的位置；若不存在，试说明理由 15 1 解（证明）（ 1） AB 平面 BCD， ABBC， AB BD BCD 是正三角形， 且 AB BC a， AD AC 2a 设 G 为 CD 的中点，则 CG 12a， AG 72a 212ABC ABDS S a， 234BCDSa ， 274ACDSa 三棱锥 D ABC 的表面积 为 24 3 74A C DSa （ 2）取 AC 的中点 H， AB BC， BH AC AF 3FC， F 为 CH 的中点 E 为 BC 的 中点， EF BH则 EF AC BC
7、D 是正三角形， DE BC AB 平面 BCD， AB DE AB BC B， DE平面 ABC DE AC DE EF E， AC平面 DEF （ 3）存在这样的点 N， 当 CN 38CA时， MN 平面 DEF 连 CM，设 CM DE O，连 OF 23 CM 由条件知， O 为 BCD 的重心， CO当 CF 23CN 时， MN OF CN3 1 32 4 8CA CA E C B D A F N M E C B D A F N M G H O 15 2如图 ，已知正三 棱 柱 ABC A1B1C1的所有棱长都是 2， D、 E 分别为 CC1、 A1B1的中点 （ 1）求 证
8、C1E平面 A1BD； （ 2） 求 证 AB1平面 A1BD； （ 3）求 三棱锥 A1 C1DE 的体积 15 2 证明（解）（ 1）设 AB1与 A1B 相交于 F，连EF， DF 则 EF为 AA1B1的中位线， EF/ 12A1A C1D / 12A1A， EF / C1D，则四边形 EFDC1为平行四边形， DF C1E C1E 平面 A1BD， DF 平面 A1BD， C1E平面 A1BD （ 2）取 BC 的中点 H，连结 AH， B1H， 由正三 棱 柱 ABC A1B1C1，知 AH BC， B1B平面 ABC， B1B AH B1B BC B， AH平面 B1BCC1 A
9、H BD 在正方形 B1BCC1中， tan BB1H tan CBD 12， BB1H CBD则 B1H BD AH B1H H， BD平面 AHB1 BD AB1 在正方形 A1ABB1中， A1B AB1而 A1B BD B， AB1平面 A1BD （ 3） E 为 AB 的中点，1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 3 3212 2 3 4 6A C D E D A E C D A B CV V V 第二题：三角与向量，容易题，预期得分率 0.70 左右 三角考什么？怎样出题？ 1。三角形问题：正弦定理，余弦定理。面积。 E D C B 1 C 1 A 1 A B E D C B
10、1 C 1 A 1 A B F H 2。两角和与差的三角函数。 3。题目的 形成：以平面向量为载体（向量平行，垂直，数量积） 16 1在 ABC 中，已知 AB AC =9， sinB =cosA sinC ， 面积 S ABC 6 （ 1）求 ABC 的三边的长； （ 2）设 P 是 ABC （含边界）内一点， P 到三边 AC ， BC ， AB 的距离分别为 x， y和 z，求 x y z 的取值范围 16 1 解：设 A B c A C b B C a ， ， （ 1） c o s 9 4ta ns in 1 2 3b c A Ab c A ， 4si5A， 3cos5A， 15bc
11、， sin 3cossin 5BbACc ，由 15 33 55bc bb cc ，用余弦定理得 4a （ 2） 1 2 12 3 4 5 1 2 ( 2 )55ABCS x y z x y z x y 设 2t x y， 3 4 1200xyxy ， ， ，由线性规划得 08t 12 45 x y z 16 2已知 4c o s , s i n , c o s , s i n , c o s , s i n5 c o sO M O N x x P Q x x （ 1）当 4cos5sin x时，求函数 y ON PQ的最小正周期； （ 2）当 12 ,13OM ON OM ,P Q x x
12、都 是 锐 角时 ，求 cos2 的值 . 16 2 解：（ 1） 4c o s , s i n , c o s , s i n5 c o sO N x x P Q x x ， y ON PQ 22 4 sinco s sin5 co s xxx 又 4cos5sin x ， 2 2 24 s i nc o s s i n c o s 2 s i n5 c o s xy x x x x 1 c o s 2 1 1c o s 2 c o s 22 2 2xxx 该函数的最小正周期是 （ 2） c o s , s i n , c o s , s i nO M O N x x 12c o s c o
13、 s s i n s i n c o s13O M O N x x x x 是锐角 2 5s i n 1 c o s 13xx OM PQ 4c o s s i n s i n c o s 05xx ，即 4sin 5x x 是锐角 2 3c o s 1 s i n 5xx c o s 2 c o s c o s c o s s i n s i nx x x x x x 3 12 4 5 165 13 5 13 65 ，即 cos2 1665 第 三 题：解析几何，中等题，预 期得分率 0.48 左右 解析几何考什么？怎样出题？ 1。以椭圆（或双曲线、抛物线）为入口， 求标准方程。 2。几何性
14、质 17 1已知双曲线 2222 1 0 , 0xy abab 左右两焦点为 12,FF， P 是右支上一点， 2 1 2 1,P F F F O H P F于 H， 1 11,92O H O F . (1)当 13 时，求双曲线的渐近线方程； （ 2）求双曲线的离心率 e 的取值范围； （ 3）当 e 取最大值时，过 12,F F P 的圆的截 y 轴的线段长为 8，求该圆的方程 . 17 1 解：由相似三角形知， 121OFOHPF PF ，222babaa， 2 2 2 2 22 , 2 1a b b a b ， 22 21ba （ 1）当 13 时， 22 1ba， ,a b y x
15、. （ 2） 222 2 1 121 1 111cbe aa = 221111 ，在 11,92上单调递增函数 . 12 时， 2e 最大 3， 19 时， 2e 最小 54 ， 25 34 e， 5 32 e . （ 3） 当 3e 时， 3ca ， 3c ， 222ba . 2 1 2PF FF ， 1PF 是圆的直径，圆心是 1PF 的中点， 在 y 轴上截得的弦长就是直径， 1PF =8. 又 221 22 2 4baP F a a aaa ， 4 8 , 2 , 2 3 , 2 2a a c b . 22 24bPF aa ，圆心 0,2C ，半径为 4， 22 2 16xy . 1
16、7 2 如图，已知椭圆 C ： 22 1 ( 0)xy abab 的长轴 AB 长为 4，离心率 32e， O 为坐标原点，过 B 的直线 l 与 x轴垂直 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点， PHx 轴， H 为垂足，延长 HP 到点 Q 使得 HP PQ ，连结 AQ 延长交直线 l 于点 M ， N 为 MB 的中点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）证明 Q 点在以 AB 为直径的圆 O 上； （ 3）试判断直线 QN 与圆 O 的位置关系 17 2 解：（ 1）由题设可得 32 4,2ca a， 解得 2, 3ac， 1b 椭圆 C 的方程为 2 2 14x y （ 2）
17、设 00,Px y ，则 2 200 14x y HP PQ ， 00,2Q x y 220022O Q x y Q 点在以 O 为圆心， 2 为半径的的圆上即 Q 点在以 AB 为直径的圆 O 上 ABxyMNQPHlO（ 3）设 00,Px y 0 2x ，则 00,2Q x y ，且 2 200 14x y 又 2,0A ， 直线 AQ 的方程为 002 22yyxx 令 2x ，得 0082, 2yM x又 2,0B ， N 为 MB 的中点， 0042, 2yN x 00,2OQ x y ， 000 022, 2xyNQ x x 22 000 0 0 00 0 0 0 0 0 00
18、0 04242 2 2 22 2 2xxx y x yO Q NQ x x y x x x xx x x 0 0 0 02 2 0x x x x OQ NQ 直线 QN 与圆 O 相切 第 四 题：应用题，中等题，预期得分率 0.58 左右 18 1 建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为 60 （如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为 36 平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（ 梯形的上底线段 BC 与两腰长的和 ）要最小 （ 1） 求外周长的最小值，此时防洪堤高 h 为多少米？ （ 2） 如防洪堤的高限制在 32,3 的范围内，外周
19、长最小为多少米？ 18 1 解 ： （ 1） hBCAD )(2136 ， AD BC+2hcot 60 =BC+ h332 ， hhBC )3 322(2136 ， 解得 hhBC 3336 设外周长为 l ，则 hhhBCABl 333660s in22 26363 hh； 当 hh 363 ，即 6h 时等号成立外周长的最小值为 26 米，此时堤高 h 为 6米 （ 2） ),6(3363 hhhh 设 323 21 hh ， 则 112266 hhhh 0)61)(2112 hhhh， l 是 h 的增函数， 353 3633m in l(米 )（当 3h 时取得最小值） 18 2 某
20、校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 80 名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示 （ 1） 估计这次测试数学成绩的平均 分； （ 2） 假设在 90， 100 段的学生的数学成绩都不相同，且都在 94 分以上，现用简单随机抽样的方法，从 95， 96， 97， 98， 99， 100 这 6 个数中任取 2 个数，求这两个数恰好是在 90， 100段的两个学生的数学成绩的概率 解：（ 1） 利用组中值估算抽样学生的平均分： 1 2 3 4 5 64 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 5f f f f f f 4 5 0 . 0 5 5 5 0 . 1 5 6 5 0
21、 . 2 7 5 0 . 3 8 5 0 . 2 5 9 5 0 . 0 5 72 所以，估计这次考试的平均 分是 72 分 （ 2）从 95， 96， 97， 98， 99， 100 中抽 2 个数的全部可能的基本结果有： （ 95， 96），（ 95， 97），（ 95， 98），（ 95， 99），（ 95， 100） （ 96， 97），（ 96， 98），（ 96， 99），（ 96， 100） （ 97， 98），（ 97， 99），（ 97， 100），（ 98， 99），（ 98， 100），（ 99， 100） 共 15 种结果 如果这两个数恰好是两个学生的成绩，则这两个学生
22、的成绩在 90， 100段，而 90，100段的人数是 0.0051080 4（人） 不妨设这 4 个人的成绩是 95， 96， 97， 98，则事件 A“ 2 个数恰好是两个学生的成绩”，包括的基本结果有：（ 95， 96），（ 95， 97），（ 95， 98），（ 96， 97），（ 96， 98），（ 97， 98）共6 种基本结果 P(A) 6215 5 第五题：函数，较难题，预期得分率 0.35 左右 19 1 已知函数 f(x) xx2+1 (1)讨论 f(x)的奇偶性和单调性，并求出 f(x)的值域； (2)求出 y f(x)的图象在点 (x0， f(x0)处的切线方程；当 x
23、 ( 34， )时，证明函数图象在点 (13， 310)处切线的下方， 利用这一结论证明下列不等式： 已知 a， b， c ( 34， )，且 a b c 1，证明 ： aa2+1 bb2+1 cc2+1 910 (3)已知 a1， a2， an是正数，且 a1 a2 an 1，猜想k 1n akak2+1的最大 值 (不要求证明 ) 19 1 解： (1) f(x) xx2+1的定义域是 ( ， )， 因为 f( x) f(x)，所以 f(x)是奇函数 因为 f(x) 1 x2(x2+1)2，所以 f(x)在 ( ， 1 上单调递减 ， 在 1， 1上单调递增 ， 在 1， )上单调递减 又
24、当 x 0 时， f(x) 0，且 f(1) 12， x 0， )时， f(x)的取值范围是 0， 12 所以， f(x)的值域为 12， 12 (2) y f(x)的图象在点 (x0， f(x0)处的切线方程为 y x01+x021 x02(1+x02)2(x x0) 当 x0 13时，函数图象在点 (13， 310)处的切线方程是 y 310 1825(x 13)，即 y 36x+350 要当 34 x 时， 证明函数图象在点 (13， 310)处切线的下方，只需证明 xx2+1 36x+350 ，成立 这等价于证明 (3x 1)2(4 x 3) 0， 这是显然的 由此知 aa2+1 36
25、a+350 ， bb2+1 36b+350 ， cc2+1 36c+350 将三个不等式相加得 aa2+1 bb2+1 cc2+1 910 (3)猜想k 1n akak2+1的最大 值是n2n2 1 19 2 已知函数 | 2() xxf x a a， (a0， a1) （ 1） a 1，解关于 x 的方程 f(x)=m （其中 22m ） ； （ 2） 记函数 g(x)=f( x)， x 2, ) ，若 g(x)的最值与 a 无关，求 a 的范围 . 解： (1) 当 x 0 时， 1xa ，方程即 2xxama，即 2 20xxa ma ， 2 82x mma . a 1， x 0， xa 1令 xa t，则当 t 1， 2 时， 2ytt是单调递减函数，当 t 2 ， )时， 2ytt是单调递增函数
