1、 开始 1, 0nS 否 2nSS1nn是 输出 S 结束 俯视图主视图 左视图本资料来源于七彩教育网 http:/ 09届高考 数学 模拟试题 （二） 1复数 1+2ii (i 是虚数单位 ) 的实部是 ； 2.已知 R 为实数集， 2 | 2 0 , | 1 M x x x N x x ，则 )( NCM R 3已知等差数列 na 的公差为 0dd ，且 3 6 1 0 1 3 32a a a a ，若 8ma ，则 m为 ； 4. 已知 3sin( )45x ，则 sin2x 的值为 ； 5已知过点 A( 2， m)和 B(m， 4)的直线与直线 2x y 1 0 平行，则 m 的值为
2、6已知实数 xy， 满足 2203xyxyy,则 2z x y的取值范围是 7 已知直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，下面有三个命题： l m ； l m ； l m ； 则 真命题的个数为 ； 8如 右 图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图 都是边长为 2 的正三角形 ,其俯视图轮廓为正方形，则其 体积是 ； 9 设点 2 ,1 02tPtt，则 OP (O 为坐标原点 ) 的最 小值是 ； 10若右面的程序框图输出的 S 是 126，则应为 ； 11 已知点 F 、 A 分别为双曲线 C ： 221xyab( 0, 0)ab的左焦点、右顶点，点 (0, )Bb 满足 0FB A
3、B，则双曲线的离心率为 ； 12. 函数 2 2 ( 0 , 1)xy a a a 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 10mx ny 上 ,其中 0mn ，则 12mn 的最小值为 13 已知集合 2 1 2 0 , ZA x x x x ,从集合 A 中任选三个不同的元素 ,abc组成集合 , , M a b c ，则能够满足 0abc 的集合 M 的概率为 = ； 14定义：区间 1 2 1 2,x x x x 的长度为 21xx .已知函数 |2xy 的定义域为 ,ab ，值域为 1,2 ，则区间 ,ab 的长度的最大值与最小值的差为 _. 二解答题 15. 已知向量 (sin ,
4、 3)a , (1,cos )b , ( , )22 . （ 1） 若 ab ,求 ； （ 2） 求 |ab 的最大值 . 16. 如 图 ， 棱 锥 P ABCD 的底面 ABCD 是 矩 形 ， PA 平面 ABCD ，3 , 4P A A D A B ， Q 为棱 PD 上一点，且 2DQ QP . （ ）求二面角 Q AC D的余弦值； （ ）求点 C 到平面 PBD 的距离 . D P A B C Q 17. 已知抛物线 2 4xy ，过定点 0 (0, )( 0)M m m 的直线 l 交抛物线于 A、 B 两点 . ( )分别过 A、 B 作抛物线的两条切线， A、 B 为切点，
5、求证：这两条切线的交点 00( , )Px y 在定直线 ym 上 . ( )当 2m 时，在抛物线上存在不同的两点 P、 Q 关于直线 l 对称，弦长 |PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用 m 表示），若不存在，请说明理由 . 18. 已知 a 是实数，函数 ( ) ( )f x x x a. 求函数 f(x)的单调区间； 设 g(x)为 f(x)在区间 2,0 上的最小值 . （ i）写出 g(a)的表达式；（ ii）求 a 的取值范围，使得 2)(6 ag . 19. 设正数数列 na 的前 n 项和为 nS ，且对任意的 *Nn ， nS 是 2na 和 na 的等差中项
6、（ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）在集合 kmmM 2 ， Zk ，且 15001000 k 中，是否存在正整数 m ，使得 不等式 21005 2nn aS 对一切满足 mn 的正整数 n 都成立？若存在，则这样的正整数 m 共有多少个？并求出满足条件的最小正整数 m 的值；若不 存在，请说明理由； （ 3）请构造一个与数列 nS 有关的数列 nu ，使得 nn uuu 21lim存在，并求出这个极限值 试题答案 1 25 . 2. | 0 1xx ； 3. 8 4. 7/25 5 8 ； 6 5,7 ； 7. 2 8. 433 9. 5 10 6n ？ 11. 152 12. 8
7、 13. 3/28 14. 1 二，解答题 15. 解： （ 1） 因为 ab ,所以 sin 3 cos 0 得 tan 3 （用辅助角得到 0)3sin( 同样给分） 又 ( , )22 ,所以 = 3 （ 2） 因为 2 2 2| | ( s i n 1 ) ( c o s 3 )ab = 5 4sin( )3 所以当 =6 时 , 2|ab 的最大值为 5 4=9 故 |ab 的最大值为 3 16.解法一： （ ）在棱 AD 取三等分点 M ，使 MA2DM ，则 PAQM/ ， PA 平面 ABCD ， QM 平面 ABCD ，过点 M 作 ACMN 于 N ，连结 QN ， 则 A
8、CQN ， QNM 为所求二面角 Q AC D的平面角 . 在 QMN 中， 4Q M 2 , M N 5A M C DAC ， 22 2 2 95Q N Q M M N ， M N 2 2 9c o s Q N M .Q N 2 9 D P A B C Q O M N 所以，二面角 Q AC D的余弦值为 2 29.29 （ ）因为 OCAO ，所以点 C 到平面 PBD 的距离等于 A 到平面 PBD 的距离， PA 平面 ABCD ， 过点 A 作 BDAG 于 G ，连结 PG ，则 BDPG ， BD 平面 PAG ，过点 A 作 PGAH 于 H ， 则 PBDAH 平面 ， AH
9、 为所求距离， .41 411254135123PGAGPAAH 所以， 求点 C 到平面 PBD 的距离为 .414112 解法二： 证：（ ）建立如图所示的直角坐标系， 则 A（ 0， 0， 0）、 D（ 0， 3， 0）、 P（ 0， 0， 3）、 B(4， 0， 0)、 C(4， 3， 0), 有已知得 (0,1,2)Q ， 得 ( 0 , 3 , 3 ) , ( 4 , 3 , 0 )P D A C . 设平面 QAC 的法向量为 ),(1 zyxn ，则 110 , 0n P D n A C ， 即 0 2 04 3 0 0yzxy ， 3412xyzy ， 令 4y ，得到平面
10、QAC 的一个法向量为 1 (3, 4,2)n PA 平面 ABCD， )01,0(AP 为平面 ABCD 的法向量 . 设二面角 P CD B 的大小为 ，依题意可得 112 2 2 9c o s .2929n A Pn A P ， D P A B C G H O D P A B C x y z Q （ ）由（ ）得 ( 4 , 0 , 3 ) , ( 0 , 3 , 3 )P B P D 设平面 PBD 的法向量为 ),(2 zyxn ，则 220 , 0n P B n P D ， 即 4 0 3 00 3 3 0xzyz ， 令 3x ，得到平面 QAC 的一个为法向量为 2 (3,4,
11、4)n (0,3,0)BC ， C 到面 PBD 的距离为 221 2 1 2 4 1 .4141n B Cdn 17. 解： ( )由 214yx ，得 1 2yx ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 过点 A 的切线方程为：1 1 11 ()2y y x x x ，即 112( )x x y y 同理求得过点 B 的切线方程为： 222( )x x y y 直线 PA、 PB 过 00( , )Px y ， 1 0 0 12( )x x y y, 2 0 0 22( )x x y y 点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y在直线 0
12、02( )xx y y上， 直线 AB 过定点 0(0, )Mm， 00 2( )ym，即 0 .ym 两条切线 PA、 PB 的交点 00( , )Px y 在定直线 ym 上 . ( ) 设 3 3 4 4( , ), ( , )P x y Q x y，设直线 l 的方程为： y kx m，则直线 PQ 的方程为：1y x nk ， 221 4404y x n x x nkkxy ， 3 4 3 44 ,4x x x x nk ， 24 16 0nk 设弦 PQ 的中点 55( , )Gx y ，则 345 5 5 22 1 2,2xxx y x n nk k k 弦 PQ 的中点 55(
13、 , )Gx y 在直线 l 上， 222()n k mkk ，即222 2 2( ) 2n k m mk k k 代入中，得 2224 2 11 6 ( 2 ) 0 2 .mmk k k 223 4 3 4 3 42222 2 2224 2 2 211| | 1 | | 1 ( ) 41 4 1 4 21 1 6 1 1 6 ( 2 )1 1 1 3 1 14 ( 3 ) 2 4 ( 2 )22P Q x x x x x xkknmk k k k kmmm m mk k k k 由已知 2m ，当 20 2330m mm 时， 弦长 |PQ|中不存在最大值 . 当 3m 时，这时 32 2m
14、m ，此时，弦长 |PQ|中存在最大值， 即当21302mk 时，弦长 |PQ|中的最大值为 2( 1).m 18. 解：函数的定义域为 0 )， ， 3()22x a x af x x xx （ 0x ） 若 0a ，则 ( ) 0fx ， ()fx有单调递增区间 0 )， 若 0a ，令 ( ) 0fx ，得 3ax ， 当 0 3ax 时， ( ) 0fx ， 当 3ax 时， ( ) 0fx ()fx有单调递减区间 03a， ，单调递增区间 3a， 解 :(i)若 0a ， ()fx在 02， 上单调递增，所以 ( ) (0) 0g a f 若 06a， ()fx在 03a，上单调递减
15、，在 23a ，上单调递增， 所以 2()3 3 3a a ag a f 若 6a ， ()fx在 02， 上单调递减，所以 ( ) ( 2 ) 2 ( 2 )g a f a 综上所述，002( ) 0 6332 ( 2 ) 6aaag a aaa ， ， ， （ ii）令 6 ( ) 2ga 若 0a ，无解 若 06a，解得 36a 若 6a ，解得 6 2 3 2a 故 a 的取值范围为 3 2 3 2a 19. 解：（ 1）由题意得， nnn aaS 22 ， 当 1n 时， 12112 aaa ，解得 11a ， 当 2n 时，有 12 112 nnn aaS ， 式减去式得， 12
16、 122 nnnnn aaaaa 于是， 12 12 nnnn aaaa ， 111 )( nnnnnn aaaaaa ， 因为 01 nn aa ，所以 11 nn aa ， 所以数列 na 是首项为 1，公差为 1的等差数列， 所以 na 的通项公式为 nan （ *Nn ） （ 2）设存在满足条件的正整数 m ，则 210052 )1( 2nnn ， 10052n ， 2010n ， 又 2000M ， 2002 ， 2008 ， 2010 ， 2012 ， 2998 ， 所以 2010m ， 2012 ， 2998 均满足条件， 它们组成首项为 2010 ，公差为 2 的等差数列 设共有 k 个满足条件的正整数，则 2 9 9 8)1(22 0 1 0 k ，解得 495k 所以， M 中满足条件的正整数 m 存在，共有 495 个， m 的最小值为 2010 （ 3）设nn Su1 ，即 )1( 2 nnun ， 则)1( 232 221 221 nnuuu n 111211131212112 nnn，其极限存在，且 21112limlim 21 nuuu nnn 注：nn Scu （ c 为非零常数）， 121 nScn nu （ c 为非零常数）， 1 nScn nqu （ c 为非零常数， 1|0 q ）等都能使 nn uuu 21lim存在
