1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09届 高考理科数学 4 月月考 试题 数学试题 (理科 ) 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5分，满分 60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上） 1设集合 213|, xyyxA， 0164|, ayxyxB ，若 BA ，则 a的值为 A 4 B 2 C 4或 2 D 4或 2 2不等式 |x| (1 2x)0的解集是 A 21,B 21,00, C ,21D 21,03设 a 、 b 是两个不共线的向量，向量 a + b 与 (b 2a )共线的充要条件是等于 A 0 B 1 C 2 D 2
2、1 4等比数列 na 是递增数列，其前 n项的积为 Tn，若 T13=4T9， 则 a7 a16= A 2 B 2 C 4 D 4 5下面四个命题： 过空间一点有且仅有一条直线与两条异面直线都相交； 与三条两两异面的直线都相交的直线有无数条； 直线 a、 b异面，过 a有且只有一个平面与 b平行； 直线 a、 b异面，过 a有且只有一个平面与 b垂直 其中正确命题的序号是 A B C D 6在 ABC中， sinA=53 ， cosB=135 ，则 cosC= A 6516 B 6556 C 65566516或 D 65566516或 7已知 0321 aaa ，则使 (1 aix)21 (i
3、 =1， 2， 3)都 成立的 x的取值范围是 A 11,0a B 12,0a C 31,0a D 32,0a 8要从 10 名女生和 5 名男生中选取 6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别分层抽样，则能组成课外兴趣小组的概率是 A61525410C CC B61535310C CC C615615ACD 61525410A CC 9双曲线 0122 yxt 的一条渐近线与直线 2x+y+t=0垂直，则双曲线的离心率为 A 5 B 25 C 23 D 3 10某地区对一次高三诊断性考试进行抽样分析：考生成绩 符合正态分布 N 2( , ) ，且“语、数、外、综”总分平均分为 450分，标准差为
4、 120由以往各年的高考情况可知该地区一本上线率约为 20%，可划出该地区这次诊断考试的模拟一本分数线约为（参考数据：(0.85) 0.80 ） A 450 B 535 C 570 D 552 11若直线 1byax 过点 M(cos ,sin )，则 A 122 ba B 122 ba C 11122 baD 11122 ba12十进制“逢 10 进一”，二进制“逢 2进一”， 十六进制“逢 16 进一” .十进制用 0， 1，2 9这十个数字记数；二进制只需 0， 1两个数字记数；“十六进制”则需用 0， 1， 2，3 9， A， B， C， D， E、 F（从小到大）这十六个数字或表示数
5、的字母记数如：二进制数 (110101)2 化为十进制 数是 5321212121 0245 ，那么十进制数2009等于 A (11111011001)2 B (11000110101)2 C (7D9)16 D (8C9)16 二、填空题： (每小题 4分，共 16 分 ) 13.在 2 , 5 , 7 ,3A B C A A B B C A B C 中 ， 若 则 的 面 积 ； 14.已知P是直线3 4 80xy上的动点,P P是圆22 2 2 10x y x y的两条切线，,AB是切点， 是圆心 ，那么四边形C面积的最小值时，弦 AB ; 15. 已知 3, 3A，O为原点，点 ,Px
6、y的坐标满足303 2 00xyxyy ，则OA OPOA的最大值是 _，此时点 的坐标是 _. 16.下面有五个命题： 函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是. 终边在 y轴上的角的集合是 a|a=Zkk ,2. 在同一坐标系中，函数 y=sinx的图象和函数 y=x的图象有三个公共点 . 把函数.2sin36)32sin (3 的图象得到的图象向右平移 xyxy 函数.0)2sin ( 上是减函数，在 xy所有正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上） 三解答题： 17.（ 12 分）已知 ABC的面积 S满足 3 S 3 3 且 BCABBCAB 与,6 的夹角为 ，
7、 （ ）求 的取值范围； （）求 22s i n 2 s i n c o s 3 c o s f （ ） = 的最小值。 18（本小题满分 12分） 某高校自愿献血的 50 位学生的血型分布的情况如下表： 血型 A B AB O 人数 20 10 5 15 （）从这 50位学生中随机选出 2人，求这 2人血型都为 A型的概率； （）从这 50位学生中随机选出 2人，求这 2人血型相同的概率； （）现有一位血型为 A型的病人需要输血，要从血型为 A,O的学生中随机选出 2人准备献血，记选出 A型血的人数为，求随机变量的分布列及数学期望 19（本小题满分 12分）四棱锥 P ABCD中，底面 AB
8、CD 是边长为 2的正方形， PB BC， PD CD，且 PA=2， E点满足PE31 （ I）求证： PA 平面 ABCD； （ II）求二面角 E AC D的大小； （ III）在线段 BC 上是否存在点 F使得 PF 面 EAC？若存在，确定 F的位置；若不存在，请说明理由。 D P E C A B 20、椭圆 C 的中心在原点 O ，它的短轴长为 22，相应的焦点 1 0Fc， （ 0c ）的准线 l 与 x 轴相交于 A ， 112OF F A （ 1）求椭圆的方程； （ 2）过椭圆 C 的左焦点作一条与两坐标轴都不垂直的直线 l ，交椭圆于 PQ、 两点，若点 M在 x 轴上，且
9、使 2MF 为 MPQ 的一条角平分线，则称点 M 为椭圆的“左特征点”，求椭圆 C 的左特征点； （ 3）根据（ 2）中结论，猜测椭圆 22221xyab左特征点位置 21、设 nS 是正项数列 na 的前 n 项和，且 21 1 34 2 4n n nS a a （ 1）求数列 na 的通项 公式； （ 2）是否存在等比数列 nb ，使 11 1 2 2 2 1 2 2nnna b a b a b n 对一切正整数都成立？并证明你的结论 （ 3）设 *11n nc n Na，且数列 nc 的前 n 项和为 nT ，试比较 nT 与 16 的大小 22、已知函数 1l n 0f x x ax
10、 xx ， ，（ a 为实常数） （ 1）当 0a 时，求 fx最小值； （ 2）若 fx在 2， 是单调函数，求 a 的取值范围； （ 3 ） 设 各 项 为 正 的 无 穷 数 列 nx 满足 *11l n 1nnx n Nx ， 证 明 ： *1nx n N 数学（理）答案 一、选择题：（ 60 分，第小题 6分） 1 5CBDAB 6 10ABABD 11 12 DA 二、填空题： 13. 答案： 4315 14.答案 423 解：过圆心 C（ 1， 1）作直线3 4 80xy的垂线，垂足为 P,这时 四边形PACB面积的最小值为 22，四边形PACB中 42, 3 , 3A B C
11、P C P A B m a x( , ) ( 3 , 3 ) 3 315.9 3 2 3( 1 , 3 ) 3 ( 1 , 3 )O A O P x y x yOAP B P P设 P(x,y), 则 Z=当 点 与 点 重 合 时 ， 即 时 ， Z ，44sin c o s c o s 2 1x x x 最 小 正 周 期 为 ， （ ） 正 确 . 终边在 y轴上的角的集合是 , ( 2) .2k 不 正 确 函数 y=sinx的图象和函数 y=x的图象只有一个交点，因此（ 3）不正确 . 3 sin 2 ( ) 3 sin 2 , ( 4 )63y x x 正 确 . s i n (
12、) 0 ,2yx 在 上 为 增 函 数 ， （ 5 ） 不 正 确 . 16.答案： P B A C y x 17.解（）由题意知 6c o s| BCABBCAB c o s6| BCAB t a n3s i nc o s621s i n|21)s i n (|21 BCABBCABS 3分 333 S 3t a n133t a n33 即 4分 BCAB与是 的夹角 ,0 3,4 6分 （） 222 c o s22s i n1c o s2c o ss i n2s i n)(f )42(222c o s2s in22 9分 3,4 1211,4342 a )(3121142 f时即当当 有
13、最小值。 )(f 的最小值是 233 12 分 18 解：（）记“这 2人 血型都为 A型”为事件 A，那么220250 38() 245CPA C， 即这 2人血型都为 A型的概率是38245 4 分 （）记“这 2人血型相同”为事件 B，那么2 2 2 220 10 5 15250 350 2() 1225 7C C C CPB C ， 所以这 2人血型相同的概率是27 8分 （）随机变量可能取的值为 0， 1， 2且215235 3( 0) 17CP C ， 1120 15235 60( 1) 119CCP C ，220235 38( 2) 119CP C 所以的分布列是 0 1 2 P
14、3176011938的数学期望为 E=03+1 +2 =136 8119 7 12分 19解： 证明：在正方形 ABCD中， AB BC 又 PB BC BC面 PAB BC PA 同理 CD PA PA面 ABCD 4分 在 AD 上取一点 O使 AO= 31AD， 连接 E， O， 则 EO PA， EO面 ABCD 过点 O做 OH AC 交 AC 于 H点，连接 EH，则 EH AC， 从而 EHO为二面角 E AC D的平面角 6分 在 PAD中， EO 32AP 34在 AHO中 HAO 45 ， HO AOsin45= 323222 ， tan EHO22HOEO， 二面角 E
15、AC D等于 arctan28分 当 F为 BC 中点时， PF面 EAC，理由如下： AD 2FC， 21ADFCSDFS，又由已知有 21EDPE， PF ES PF面 EAC， EC面 EAC PF面 EAC， 即当 F为 BC 中点时， PF面 EAC 12分 20、解：（ 1）由条件知 2 2 2b ，可设椭圆方程为 222 12xya 又2222 62 2ac aacc cc 椭圆方程为 22162xy 4分 （ 2）设左特征点为 0Mm， ，左焦点为 2 20F ， ，可设直线 PQ 的方程为2.yx k 由 2yx k与 22162xy，消去 x 得 22143 2 0yykk
16、 又设 1 1 2 2P x y Q x y， 、 ，则 12 2413kyy k 212 2213kyy k 6分 因为 2MF 为 PMQ 的角平分线，所以 PM QMkk 0 ，即 H O S F E P D C B A 12120yyx m x m 将 11 2yx k与 22 2yx k代入化简，得 1 2 1 2 1 22 20y y y m y yk 再将代入得 2222 2 4201 3 1 3kkmk k k 3m 即左特征点为 30M ， 10 分 （ 3）椭圆的左准线与 x 轴的交点为 30， ，故猜测椭圆的左特征点为左准线与 x 轴的交点 12 分 21、解：（ 1）
17、21 1 34 2 4n n nS a a 得 21 1 11 1 34 2 4n n nS a a ，相减并整理为 11 20n n n na a a a 又由于 1 0nnaa ，则 1 2nnaa ，故 na 是等差数列 21 1 1 11 1 3 04 2 4a S a a ， 1 3a，故 21nan 3分 （ 2 ）当 12n， 时， 231 1 1 1 2 22 2 1 1 2 6 2 2 2 1 2 26a b a b a b ， 可解得， 1224bb， ， ，猜想 2nnb 使 11 1 2 2 2 2 1 2nnna b a b a b n 成立 5分 下面证明 2 3
18、13 2 5 2 7 2 2 1 2 2 2 1 2nnnn 恒成立 令 233 2 5 2 7 2 2 1 2 nSn 2 3 4 12 3 2 5 2 7 2 2 1 2 n 可得 1 1 12 1 2 2 2 2 2 1 2 2n n nS n n 8分 （ 3） 21 1 1 1 12 1 2 3 2 2 1 2 322nC n n n nn 则12 1 1 1 1 1 1 12 3 5 5 7 2 1 2 3nnT c c c nn 1 1 1 12 3 2 3 6n ，故 16nT 12 分 22、解（ 1） 2221 1 1ax xf x ax x x ，当 0a 时， 2 1x
19、fx x ， 01x时， 0; 1f x x 时 0fx 故 m in 11f x f 3分 （ 2） 2221 1 1ax xf x ax x x ，显然 0a 时， 0fx 符合要求； 当 0a 时，令 2 1g x a x x x g x ， ， 故此时 fx在 2， 上只能是单调递减的 故 1 4 0a 或 0201 22ga 解得 14a ，可知 1 04a ， ， 8分 （ 3）反证法：不妨设 1 1xb，由（ 2）知11l n 1 l nn nnnxb xb x x 故 *11lnnnb b n Nxx 故1 2 31 1 11 l n l n l nb b b bx x b x 2 4l n 1 1l n l nbbbb b x 22 21 1 1 1 1 1 1 1l n 1 l n 1n n nnb b b b x b b b 21 1 1 11 l i m l n 1 l n11nn bbb b bb 又由（ 2）知当 1b 时， 1ln 1b b，故 11ln 1 ln 111bbbb ， ，这与上面结论矛盾 故 1 1x， 同理 *231 1 1nx x x n N ， ， ， 14 分
