1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09届 高 考理科数学 适应 性 考试（二） 数 学（ A卷） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 参考公式： 如果事件 A， B 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 如果事件 A， B 相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 如果事件 A在一次实验中发生的概率是 p ，那么 n 次独立重复实验中事件 A恰好发生 k次的概率 ( ) (1 ) ( 0 , 1 , 2 , , )k k n knnP k C p p k n 球的表面积公式 2
2、4SR ，球的体积公式 343VR ，其中 R 表示球的半径 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置。 1（理）若 复 数 2 , , ,2 iyz x y i x y Rix 则 A 43 B 34 C 34 D 43 （文）若集合 22 | 1 , | 2 3 0 ,A x x B x x x A B 则 A 3 B 1 C D -1 2函数 ( ) | sin cos |f x x x的最小 正周期 为 A 4 B 2 C D 2 3已知两个正数
3、 . ( )aba b 的等差中项是 5，等比中项是 4，则椭圆 221xyab的离心率e 等于 A 174 B 154 C 3 D 233 4已知 mn、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的 平面 ，且 ,mn，则下列命题中不正确的是 A若 /n 则 B若 则 mn C若 m 与 n 相交，则 与 也相交 D若 与 相交，则 m 与 n 也相交 5（理）已知 ()fx是 R 上的增函数，点 ( 1,0), (1,1)AB 在它的图象上， 1()fx 是它的反函数，则不等式 1| ( )| 1fx 的解集为 A（ 0， 1） B（ -1， 0） C（ -1， 1） D（ 1， 2） （文）
4、“| 1| 2x 成立 ”是 “ ( 3) 0xx成立 ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6平面内有两组平行线，一组有 m 条，另一组有 n 条。这两组 平行线相交，可以构成平行四边形个数为 A ( 1) ( 1)m m n n B ( 1) ( 1)m m n n C ( 1) ( 1)22m m n n D ( 1) ( 1)22m m n n 7（理）已知等比数列 na 的公比 0q ，前 n 项的和为 nS ，则 45Sa 与 54Sa 的大小关系是 A 4 5 5 4S a Sa B 4 5 5 4S a Sa C 4 5 5 4S a S
5、a D不能确定 （文）设变量 xy、 满足约束条件 224yxyxy，则目标函数 z x y 的最小值为 A -8 B -4 C 83 D 6 8（理）已知随机变量 服从正态 分布 2( 4 , 6 ) , ( 5 ) 0 .8 9 , ,NP 则 ( 3)P A 0.89 B 0.22 C 0.11 D 0.78 （文）某工厂生产 A， B， C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 3： 4： 7，现用分层抽样的方法取出一个容量为 n 的样本，样本中 B 型号产品有 28 件，那么此样本的容量 n A 28 B 56 C 98 D 196 9已知函数 321( ) 2 2f x x x
6、m （ m 为常数）图象上 A 点处的切线与直线 30xy 的夹角 45，则点 A 的横坐标为 A 0 B 1 C 0 或 16 D 1 或 16 10（理）若实数 ,ab满足 221,ab且 c a b恒成立，则 c 的取值范围是 A ( , 2 B（ ,2 ） C 2, ) D ( 2, ) （文）已知等比数列 na 的公比 0q ,前 n 项 的和为 nS ，则 45Sa 与 54Sa 的大小关系是 A 4 5 5 4S a Sa B 4 5 5 4S a Sa C 4 5 5 4S a Sa D不能确定 11（理）已知双曲线 221 :116 9xyC 的左准线为 l ，左右焦点分别为
7、 12FF、 ，抛物线 2C 的准线为 l ，焦点是 2F ，若 1C 与 2C 的一个交点为 P ，则 2|PF 的值等于 A 40 B 32 C 8 D 4 （文）已知函数 0.5( ) 2 lo g ( 1)f x x x ，则 ()fx的反函数是 A 12( ) 2 ( 2 )xf x x B 12( ) 2 ( 2 )xf x x C 12( ) 2 ( 2 )xf x x D 12( ) 2 ( 2 )xf x x 12已知直线 2x 及 4x 与函数 3logyx 图象的交点分别为 AB、 ，与函数 5logyx的交点分别为 CD、 ，则直线 AB 与 CD A平行 B相交，且交
8、点在第二象限 C相交，且交 点在第三象限 D相交，且交点在原点 第 卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13（理）在平面直角坐标系中，已知向量 (3, 1), (2 ,1),AB n 且 7n AC，那么nBC_。 （文）设向量 a 与 b 的夹角为 ，且 (3 , 3 ), 2 ( 1,1),a b a 则 cos =_。 14（理） 71()x x 展开式的第四项等于 7，则 2lim (1 )nn x x x =_。 （文） 52()x x 的二项展开式各项系数之和为 _（用数字作答） 15已知 , , ,ABCD 在同一球面 上
9、, 6 2 1 3A B B C D B C C D A B A C 平 面 ， ， 若 ， , 8,AD B C 则 ， 两点间的球面距离为 _。 16已知定点 (4,2),AO为坐标原点， P 是 线段 OA 的垂直平分线上一点，若 OPA 为钝角，那么点 P 的横坐标的取值范围是 _。 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 10 分） 在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 ,abc向量 ( , ) , ( c o s , c o s ) ,m a b n A B ( 2 2 s i n , 2 s i n )
10、 ,2BCpA 若 2/ ,| | 9m n p ，试判断 ABC 的形状。 18（本小题满分 12 分） （理）有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下： 其中 和 分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好，试从期望与方差的指标分析该用哪个厂的材料。 （文）甲、乙两名跳高运动员一次试跳 2 米高度成的概率分别是 0.7、 0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求： （ I）甲试跳三次，第三次才成功的概率； （ ）甲、乙两人在第一次试跳中
11、至少有一人成功的概率 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 19（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 090BAC， 1 1AB BB，直线 1BC 与平面 ABC 成 30角。 （文、理）（ I）求证：平面 1 1 1B AC ABB A 平 面 （文、理）（ ）求二面角 1B BC A的大小； （理）（ III）求点 A1 到平面 B1AC 的距离。 20（本小题满分 12 分） （理）已知函数 2( ) 8 , ( ) 6 l nf x x x g x x m （ I）求 ()fx在区间 , 1tt 上的
12、最大值 ()ht ； （ ）是否存在实数 m ，使得 ()y f x 的图象与 ()y gx 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m 的取值 范围；若不存在，说明理由。 （文）如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M（ 2， 0）， AB 边所在直线的方程为 3 6 0xy ，点 ( 1,1)T 在 AD边所在直线上。 （ I）求 AD 边所在直线的方程； （ ）求矩形 ABCD 外接圆的方程； （ ）若动圆 P 过点 ( 2,0)N ，且与矩形 ABCD 的 外接圆外切，求动圆 P 的圆心的轨迹方程。 21（本小题满分 12 分） （理）已知抛物线 2: 2 ,C y x 直线
13、 2y kx交 C 于 ,AB两点， M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N （ I）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行； （ ）若 0NA NB，求 k 的值。 （文）设函数 2 3 2( ) c o s 4 s i n c o s 4 3 4 ,22xxf x x t t t t x R ，其中 | | 1t |，将 ()fx的最小值记为 ()gt 。 （ I）求 ()gt 的表达式； （ ）讨论 ()gt 在区间 （ 1， 1）内的单调性并求极值。 22（本小题满分 12 分） 已知 1 1 1 11 , , ( 1 ) ,nn n n na
14、b a b n b a n N （文、理）（ I）求 35,aa的值； （文、理）（ ）求通项公式 na ； （文）（ ）求：2 4 21 1 1 ;na a a （理）（ ）求证：1 2 3 21 1 1 1 1 34na a a a 高 三 适 应 性 考 试 （二） 数学（ A 卷）参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 理 A C B D A C B C C B B D 文 D C B D B C B C C B A D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13（理）
15、 2 （文） 31010 14（理） 56 （文） 243 15 43 16（ 1， 2） （ 2， 3） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17解： / , c o s c o sm n a B b A （ 2 分） 由正弦定理得 s in c o s s in c o sA B B A （ 4 分） s in ( ) 0 ,A B A B 故 （ 5 分） 2 2 2| | 8 s i n 4 s i n 92BCpA 又 （ 6 分） 24 (1 c o s ) 4 (1 c o s ) 9AA （ 8 分） 2 1( 2 c o s 1 ) 0 c o s 2AA 即 得
16、60A （ 9 分） ABC故 为 等 边 三 角 形 （ 10 分） 18（理）解： 8 0 . 2 9 0 . 6 1 0 0 . 2 9E （ 2 分） 2 2 2( 8 9 ) 0 . 2 ( 9 9 ) 0 . 6 ( 1 0 9 ) 0 . 2 0 . 4D （ 4 分） 8 0 . 4 9 0 . 2 1 0 0 . 4 9E （ 6 分） 2 2 2( 8 9 ) 0 . 4 ( 9 9 ) 0 . 2 ( 1 0 9 ) 0 . 4 0 . 8D （ 8 分） 由此可知， 9,E E D D ，从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，该选甲厂的材料。 （
17、12 分） （文）解：记 “甲第 i 次试跳成功 “为事件 iA ， “乙第 i 次试跳成功 ”为事件 iB ，依题意得( ) 0 .7 , ( ) 0 .6 ,iiP A P B且 , ( 1, 2,3),iiA B i 相互独立 （ 2 分） （ I） “甲第三次试跳才成功 ”为事件 123AAA ，且三次试跳相互独立， 1 2 1 233( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 3 0 . 3 0 . 7 0 . 0 6 3P A A A P A P A P A 。 答：甲第三次试跳才成功的概率为 0.063 （ 6 分） （ ） “甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功 ”为事件 C ，
18、 解法一： 111 1 1 1 ,C A B A B A B 且 111 1 1,A B A B A B彼此互斥， （ 8 分） 111 1 1 1111 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 . 7 0 . 4 0 . 3 0 . 6 0 . 7 0 . 6P C P A B P A B P A BP A P B P A P B P A P B 0.88 （ 12 分） 解法二： 11( ) 1 ( ) ( ) 1 0 . 3 0 . 4 0 . 8 8P C P A P B 答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为 0.88 1
19、9（ I）证 明：由直三棱柱性质知 11B B A B C B B A C 平 面 ， 又 1,B A A C B B B A B 1111 1 1A C A B B AA C B A CB A C A B B A平 面又 平 面平 面 平 面（理 4分文 6分） （ ）以 A 为 原点， 1,AC AB AA 分别为 ,x ,yz轴，建立如图的空间直角坐标系 A xyz 直线 1 30B C A B C 与 平 面 所 成 角 ， 11130 , 3 20 0 0 0 1 0 2 0 00 0 1 0 1 1B CB B C A CA B CAB 则 ，则 （ ， ， ） ， （ ， ， ）
20、 ， （ ， ， ） ，（ ， ， ） ， （ ， ， ）连 结 1 ,AB 易知 1AB 是平面 1BAC 的一个法向量， 1AB =（ 0， 1， -1），设 ( , , )n x y z 为平面 11BCCB 的一个法向量，则 1 ,n BB n BC 又 1 ( 0 , 0 , 1 ) , ( 2 , 1 , 0 )B B B C 020zxy令 1x 得 2, 0yz得 (1, 2,0)n 设二面角 1B BC A的大小为 ，则 11 1 3c o s c o s , 3| | | |n A Bn A B n A B 二面角 1B BC A的大小为 3arccos 3 （理 8分文
21、12 分） （ ）又 1 ( 2 , 0,1)AC 点 1A 到平面 1BAC 的距离 111| 22|A B A Cd AB（理 12 分） 20（理）解：（ I） 22( ) 8 ( 4 ) 1 6f x x x x 当 14t ，即 3t 时， ()fx在 , 1tt 上单调递增 2 2( ) ( 1 ) ( 1 ) 8 ( 1 ) 6 7h t f t t t t t （ 2 分） 4 1 3 4 ( ) ( 4 ) 1 6t t t h t f 当 时 ， 即 时 ， （ 4 分） 24 ( ) , 1 ( ) ( ) 8t f x t th t f t t t 当 时 ， 在 上
22、单 调 递 减 ， 22- 6 7 3( ) 1 6 3 484t t th t tt t t 综 上 ， （ 6 分） （ ） 令 2( ) 8 6 lnx x x x m 26 2 8 6 2 ( 1 ) ( 3 )( ) 2 8 ( 0 )x x x xx x xx x x （ 7 分） ( 0 , 1 ) ( ) 0 , ( )( 1 , 3 ) ( ) 0 , ( )( 3 , ) ( ) 0 , ( )1 , 3 ( ) 0( ) ( 1 ) 7 , ( ) ( 3 ) 6 l n 3 1 5x x xx x xx x xx x xx m x m 极 大 值 极 小 值当 时 ，
23、是 增 函 数 ；当 时 ， 是 减 函 数 ；当 时 ， 是 增 函 数 ；当 或 时 ，所 以 ，0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 .x x x x 当 充 分 接 近 时 ， ， 当 充 分 大 时 ， （ 10 分） )( ) 7 0( ) 6 l n 3 1 5 07 1 5 6 l n 3xxxmxmm 极 大 值极 小 值要 使 （ 的 图 象 与 轴 的 正 半 轴 有 三 个 不 同 的 交 点 ， 必 须 且 只 需 ：, ( ) ( )m y f x t g x故 存 在 实 数 使 得 的 图 象 与 的 图 象 有 且 只 有 三 个 不 同 的 交 点 （ 12
24、分） （文）解：（ I）因为 AB 边所在直 线的方程为 3 6 0 ,x y A D A B A D 且 与 垂 直 ， 所 以 直 线 的 3斜 率 为 （ 1 分） 11 1 3 ( 1 )T A D A Dyx 又 因 为 点 （ ， ） 在 直 线 上 ， 所 以 边 所在 直 线 的 方 程 为 3 2 0xy 即 （ 4 分） （ ）由 3 6 0 023 2 0xy Axy 解 得 点 的 坐 标 为 （ ， ） ， （ 5 分） 20A B C D M因 为 矩 形 两 条 对 角 线 的 交 点 为 （ ， ） M A B C D所 以 为 矩 形 外 接 圆 的 圆 心
25、（ 6 分） 22| | 2 0 0 2 2 2AM 又 （ ） （ ） 222 ) 8A B C D x y 从 而 矩 形 外 接 圆 的 方 程 为 （ （ 8 分） （ ）因为动圆 P 过点 N ，所以 |PN 是该圆的半径，又因为动圆 P 与圆 M 外切， 所以， | | | | 2 2PM PN ， 即 | | | | 2 2PM PN 故点 P 的轨迹是以 ,MN为焦点，实轴长为 22的双曲线的左支。 因为实半轴长 2,a 半焦距 2c 所以虚半轴长 22 2b c a 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为 22 1( 2 )22xy x （ 12 分） 21（理） 解法一：（ I）
26、如图 ,设 221 1 2 2( , 2 ), ( , 2 ),A x x B x x把 2y kx代入 22yx 得 22 2 0x kx ，由韦达定理得1 2 1 2, 1,2kx x x x （ 2 分） 12 ,24NM xx kx x N 点的坐标为 2( , )48kk （ 3 分） 设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 2 ()84kky m x 将 22yx 代入上式得 222 0 ,48m k kx m x lC直 线 与 抛 物 线 相 切 ， 22 2 2 28 ( ) 2 ( ) 0 , ,48/m k km m m k k m k m kl A B 即（ ） 10
27、 , | | | |2N A N B N A N B M A B M N A B 则 ， 又 是 的 中 点 ， 由（ I）知1 2 1 2 1 21 1 1( ) ( 2 2 ) ( ) 4 2 2 2My y y k x k x k x x 221 ( 4 ) 22 2 4kk 2 2 2 16| | | | 24 8 8MN k k kM N x M N y y 轴 ， （ 9 分） 2 2 21 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4A B k x x k x x x x 又 2 2 2 211 ( ) 4 ( 1 ) 1 1 622kk k k （ 11 分） 2 22
28、1 6 1 1 1 6 , 284k k k k 解 得 20k N A N B 当 时 ， （ 12 分） 解法二：（ I）设 2 2 21 1 2 2( , 2 ) , ( , 2 ) , 2 2A x x B x x y k x y x 把 代 入 得 2 1 2 1 22 2 0 , 12kx k x x x x x ， 由 韦 达 定 理 得 （ 2 分） 2 212 , ( , ) , 2 , 4 ,2 4 4 8NM xx k k kx x N y x y x 点 的 坐 标 为 （ 4 分） 4 , / /4kN l k l A B 抛 物 线 在 点 处 的 切 线 的 斜
29、率 为 （ 6 分） （ ） 0NA NB 由（ I） 知 22221 1 2 2( , 2 ) , ( , 2 ) ,4 8 4 8k k k kN A x x N B x x 则 22221 2 1 2( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )4 4 8 8k k k kN A N B x x x x 22221 2 1 21 2 1 2221 2 1 2 1 2 1 222( ) ( ) 4 ( ) ( )4 4 1 6 1 6( ) ( ) 1 4 ( ) ( ) 4 4 4 4 ( ) 1 4 ( ) 4 1 6 4( 1 ) 1 4 ( 1 ) 4 2 1 6 2 4k k k kx
30、x x xk k k kx x x xk k kx x x x x x k x xk k k k kk 2 23( 1 )( 3 )1 6 4k k 0 （ 10 分） 2 231 0 , 3 0 , 21 6 4k kk 解 得 2 , 0k N A N B 当 时 （ 12 分） （文）解：（ I） 2 3 2( ) c o s 4 s i n c o s 4 3 422xxf x x t t t t 2 2 22 2 3si n 1 2 si n 4 3 4si n 2 si n 4 3 3x t x t t tx t x t t t 23( s in ) 4 3 3x t t t （
31、3 分） 由于 2(sin ) 0, | | 1x t t ，故当 sinxt 时 ()fx达到其最小值 ()gt ，即 3( ) 4 3 3g t t t （ 6 分） （ ） 2( ) 1 2 3 3 ( 2 1 ) ( 2 1 ) , 1 1g t t t t t 列表如下： t 1( 1, )2 12 11( , )22 12 1( ,1)2 ()gt + 0 - 0 + ()gt 极大值 1()2g 极小值 1()2g （ 10 分） 由此可见， ()gt 在区间 1( 1, )2 和 1( ,1)2 单调增加，在区间 11( , )22 单调减小， 极小值为 1( ) 2,2g 极大值为 1( ) 42g （ 12 分） 22 解： 1 ( 1)nnnba 1 1 12 ( 1 )nn n n nn a b n a a n 当 时 ， 代 入 得 （ I） 3 1 5 31 2 2 , 3 5a a a a （ 2 分） （ ）由（ I）知 311aa 533aa 2 1 2 3 ( 2 3 )nna a n
