1、 数学（理工农医类） 本试题共 4 页， 满分 150 分，考试时间 120 分钟。 祝考试顺利 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上， 并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。 3非选择题用 0.5 毫米的黑色签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡是每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第 卷 (选择题 共 50分 ) 一、选择题 (本大题共 10小题 ,每小题 5分
2、,共 50分每小题有且仅有一个正确答案 ,请将正确答案的代号填入答题卡中 .) 1设条件 p： xx| ；条件 q： 2 0xx ，那么 p是 q的什么条件 A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分且必要条件 D非充分非必要条件 2 某质检人员从编号 1 100的 100件产品中抽出号码为 3， 7， 13， 17， 23， 27， ,93,97的产品进行检验 ,则这样 的抽样方法为 A 简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D. 以上都可能 3 nnnnnn xbxbxbbxxaxaxaax 22221022210 )1(,)14( xN记 naaaaM 210 ， nbbbbN 24
3、20 ， 则 2lim3n MN 的值是 A 2 B 13C 0 D 23 4设 nS 为等差数列 na 的前 n项的和， 20081 a ， 220052007 200 5200 7 SS ，则 2008S = A -2007 B -2008 C 2007 D 2008 5已知 a ， b 是两个相互垂直的单位向量，而 13| c ， 3ac ， 4bc . 则对于任意实数 21,tt ， | 21 btatc 的最小值是 A 5 B 7 C 12 D 13 6已知函数 32( ) 3 2,f x x x (0,2)x 的反函数为 1()fx ，则 A1113( ) ( )22ffB1113
4、( ) ( )22ff C1113( ) ( )22ffD 1135( ) ( )22ff7从 P 点出发三条射线 PA， PB， PC 两两成 60 ，且分别与球 O 相切于 A， B， C 三点，若球的体积为 34，则 OP的距离为 A 2 B 3 C 23 D 2 8双曲线 222xy的左、右焦点分别为 12,FF，点 ,n n nP x y（ 1,2,3n ）在其右支上，且满足1 2 1nnP F PF ， 1 2 1 2PF FF ，则 2008x 的值是 A 40162 B 40152 C 4016 D 4015 9 B地在 A 地的正东方向 4km处， C 地在 B 地的北偏东
5、30 方向 2km处，沙 河 的沿岸 PQ(曲线 )上任意一点到 A的距离比到 B的距离远 2km。现要在曲线 PQ上选一处 M建一座码头，向 B、 C两地转运货物，经测算，从 M到 B， M到 C修建公路的费用分别是 a万元 /km，2a万元 /km，那么修建这两条公路的总费用最低是 A a)272( 万元 B 5a万元 C a)172( 万元 D a)332( 万元 10已知实数 xy 满足 2020 ,0xyxy x Z y Zy ，每一对整数 ,xy 对应平面上一个点，则过这些点中的其中三点可作多少个不同的圆 A 70 B 61 C 52 D 43 二、填空题 (本大题共 5小题 ,每
6、小题 5分 ,共 25 分 .请将答案填入答题卡中 ) 11 若 a为实数 ，iai212 - 2 i，则|1|1lim22 x axxx= ; 12.若正整数 m满足 15 1 2 10210 mm ，则 m= ；（ 3010.02lg ） 13 用数字 0、 1、 2、 3、 4组成没有重复数字的五位数 ,其中数字 1、 4相邻的偶数有 个 ; 14如果 O是线段 AB 上一点，则 0 OBOAOAOB ，类比到平面的情形；若 O是 ABC内一点，有 0 OBSOASOCS O C AO B CO A B ，类比到空间的情形：若 O 是四面体ABCD内一点，则有 . 15若 x 、 y 满
7、足条件 1( 0)ax y a ， （ i） ( , )Pxy 的轨迹形成的图形的面积为 1，则 a ， （ ii） 222 2x y x ya 的最大值为 三、解答题 (本大题共 6小题 ,共 75分 .请将解答过程写在答题卡上 ) 16.(本小题满分 12分 ) 若 m= )0,sin3( x ， n= )0)(s in,(c o s xx ,在函数)(xf m （ m+ n） + t的图像中，对称中心到对称轴的最小距离为 4 ，且当 3,0 x 时，)(xf 的最大值为 1。 （ I） 求函数 )(xf 的解析式； （ II） 若关于 x 的方程 0)()( 2 mxfxf 在 3,0
8、内有实根，求实数 m的取值范围。 17（本小题满分 12分） 2008年北京奥运会乒乓球比赛将产生男子单打、女子单打、男子团体、女子团体共四枚金牌，保守估计中国乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为 ,43 中国乒乓球女队获得每枚金牌的概率均为 .54 （ I）求按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一枚金牌的概率； （ II）记中国乒乓球队获得金牌的枚数为 ，求按此估计 的分布列和数学期望 E 。（结果均用分数表示） 18 (本小题满分 12分 )如图，四棱锥 ABCDP 中，底面是 矩形且 AD=2， 2PAAB ， PA底面 ABCD， E是 AD的 中点， F在 PC 上 （ I） 求
9、 F在何处时， EF平面 PBC； （ II） 在条件 （ I） 下， EF是否为 PC 与 AD的公垂线段？ 若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由； （ III） 在条件 （ I） 下，求直线 BD 与平面 BEF所成的角 19（本题满分 12 分）如图，已知椭圆 134 22 yx 的右焦点为 F，过 F的直线（非 x轴）交椭圆于 M、 N两点，右准线 l 交 x轴于点 K，左顶点为 A. （ I）求证： KF平分 MKN ； （ II）直线 AM、 AN 分别交准线 l 于点 P、 Q，设直线 MN 的倾斜角为 ，试用 表示线段PQ的长度 |PQ|，并求 |PQ|的最小值 . A
10、O M N K P Q yA x F 20（本小题满分 13 分）函数 lnyx 关于直线 1x 对称的函数为 f x ，又函数 21 1 02y ax a的导函数为 gx ，记 h f gx x x （ I）设曲线 yhx 在点 1, 1h 处的切线为 l ，若 l 与圆 2 2 11 yx 相切，求 a 的值； （ II）求函数 hx 的单调区间； （ III）求函数 hx 在 0， 1上的最大值； 21 （本小题共 14分） 已知函数 *( ), ,y f x x y NN，满足： 对任意 *,a b a bN ，都有 )()()()( abfbafbbfaaf ； 对任意 *nN 都有
11、 ( ) 3f f n n . （ I）试证明： )(xf 为 *N 上的单调增函数； （ II）求 )28()6()1( fff 的值 ； （ III）令 *(3 ),nna f nN ，试证明： 121 1 1 14 2 4nnn a a a 2008 年普通高 等学校 招生全国统一考试 （ 模拟 考试） 数学（理工农医类） 参考答案 1 5 ABBBC 6 10 CBCBD 11. -3 12 154 13 24 14 0 ODVOCVOBVOAV A B COA B DOA C DOB C DO 15 (1) 2 ， (2) 23 (0 1)3 ( 1)aaa 16. m+n= )s
12、in,c o ss in3( xxx ， )(xf m （ m+ n ） + t= txxxx )s in,c o ss in3()0,s in3( = txxx )c o ss in3(s in3 = txxtxxx s i n2 32c o s2323c o ss i n3s i n3 2 = tx 23)32s in (3 4分 （ I） 对称中心到对称轴的最小距离为 4 ， )(xf 的最小正周期 T= 22 ，1 5分 txxf 23)32s in (3)( 6分 当 3,0 x 时， 3,332 x， 23,23)32s in ( x ttxf 3,)( ， 2,131)( m a
13、x ttxf 21)32s in (3)( xxf 8分 （ II） 由 (1)得 ,1,2)( xf 2,41)()(2 xfxf .方程 0)()(2 mxfxf 有实根 , 41,2m 12 分 17解：（ I）设中国乒乓球男队获 0枚金牌，女队获 1枚金牌为事件 A，中国乒乓球男队获1 枚金牌，女队获 2枚金牌为事件 B，那么， )()()( BPAPBAP 212212 544314354154431 CC 5013 5 分 （ II）根据题意中国乒乓球队获得金牌数是一随机变量 ， 它 的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,2,3,4 （ 单 位 ： 枚 ） 。 那 么 ，,259
14、)54()43()4(,5021)541()54()43()54()43()431()3(,4 0 073)541()43()54()431()54()541()43()431()2(,2 0 07)541()54()431()541()43()431()1(,1 0 01)541()431()0(222122122222121221221222PCCPCCPCCPP则概率分布为： 0 1 2 3 4 P 4001 2007 40073 5021 259 10 分 那么，所获金牌数的数学期望 10312594502134 0 07322 0 0714 0 010 E （枚） 答：中国乒乓球队获
15、得金牌数的期望为 1031 枚。 12 分 18 （ I） 以 A为坐标原点，分别以射线 AD、 AB、 AP 为 x轴、 y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0, 0, 0), P(0, 0, )2 , B(0, 2 , 0), C(2, 2 , 0), D(2, 0, 0), E(1, 0, 0)， F在 PC上 ， 不妨令 PCPF ， 设 ),( zyxF ， BC (2, 0, 0)， PC (2, 2 , )2 , 1( xEF , y, z)， EF 平面 PBC， 0BCEF ， 0PCEF 又 PCPF ， 21， x=1，22zy， 故 F为 PC的中点 4
16、分 （ II）由 (1)可知： EF PC，且 EF BC 即 EF AD， EF 是 PC与 AD的公垂线段， 21， x=1，22zy， 0(EF , 22, )22，即 1| EF 8分 （ 3） 由 (1)可知 PC (2, 2 , )2 ，且 2BCPB ， F为 PC的中点， PC BF，又 EF PC， PC 为平面 BEF 的一个法向量， 而 2(BD , 2 , 0)，设 BD 与平面 BEF 所成角为 ， 则63|,c o ss in PCBD PCBDPCBD， 63arcsin，故 BD与平面 BEF所成的角为63arcsin。 12分 19 解：（ I）法一：作 MM
17、1 l 于 M1， NN1 l 于 N1，则| | | 11KN KMNFMF ， 又由椭圆的第二定义有 | | | 11NN MMNFMF | | | 1111 MMKMNNKN KMM1= KNN1，即 MKF= NKF， KF平分 MKN5 分 法二：设直线 MN 的方程为 1myx . 设 M、 N的坐标分别为 1 1 2 2( , ),( , )x y x y , 由 096)43(1341 2222 myymyx myx 43 9,43 6221221 myym myy设 KM和 KN的斜率分别为 21,kk ，显然只需证 021 kk 即可 . )0,4(K )4)(4( )(4
18、44 21 2121122 21 121 xx yyyxyxx yx ykk而 )(4)1()1()(4 212112212112 yyymyymyyyyxyx 043 6343 92)(32 222121 m mmmyyymy 即 021 kk 得证 . （ II）由 A， M， P三点共线可求出 P点的坐标为 )26,4( 11xy由 A， N， Q三点共 线可求出 Q点坐标为 )26,4( 22xy， 7 分 设直线 MN的方程为 1myx .由 096)43(1341 2222 myymyx myx 43 9,43 6221221 myym myy9 分 则：9)(3 )(18)(24
19、 )(262 62 6| 21212 212121 2112212211 yymyym yyxxxx yxyxyyxyxyPQ2222222 16943 6343 94336)436(18mmmmmmmmm 11 分 又直线 MN的倾斜角为 ，则 ),0(,c o t m ， s in6c o t16| 2 PQ 2 时， 6| minPQ 12 分 20解：（ I）由题意得 .)2ln ()(,)(),2ln ()( axxxhaxxgxxf （ 2分） )1(,1(,21)( hxaxh 过 点的直线的斜率为 a 1， )1(,1( h过 点的直线方程为 ).1)(1( xaay 又已知
20、圆心为（ 1， 0），半径为 1，由题意得 .1,11)1( |11| 2 aa a 解得 （ 4分） （ II） 2 1 1 1( ) ( 2 ) , ( , 2 ) .22a x ah x a xx a x 函 数 定 义 域 为.212,0 a （ 5分） 令 ,212,0)(;12,0)( xaxhaxxh 解得令解得 （ 7分） 所以， .)()2,12(,)()12,( 的减区间是的增区间是 xhaxha （ 8分） （ III） 当 ,1,0)(,210,012 上是减函数在时即 xhaa .2ln)0()( hxh 的最大值为 （ 9分） 当 上是减函数在上是增函数在时即 )1
21、,12(,)12,0()(,121,1120 aaxhaa ， .ln12)12()(,12 aaahxhax 的最大值为时当 （ 11分） 当 上是增函数在时即 1,0)(,1,112 xhaa .)1()( ahxh 的最大值为 综上，当 )(,210 xha 时 的最大值为 ln2； 当 )(,121 xha 时 的最大值为 aa ln12 ； )(,1 xha 时当 的最大值为 a. （ 13分） 21解：（ I）由 知，对任意 *,a b a bN ，都有 0)()()( bfafba ， 由于 0ba ，从而 )()( bfaf ，所以函数 )(xf 为 *N 上的单调增函数 .
22、3分 （ II）令 af )1( ，则 1a ，显然 1a ，否则 1)1()1( fff ，与 3)1( ff 矛盾 .从而 1a ，而由 3)1( ff ,即得 3)( af . 又由（ I）知 afaf )1()( ，即 3a . 于是得 31 a ，又 *aN ，从而 2a ，即 2)1( f . 5分 进而由 3)( af 知， 3)2( f . 于是 623)2()3( fff , 7分 933)3()6( fff , 1863)6()9( fff , 2793)9()18( fff , 54183)18()27( fff , 81273)27()54( fff , 由于 5 4
23、2 7 8 1 5 4 2 7 , 而且由（ I）知，函数 )(xf 为单调增函数，因此 55154)28( f . 从而 (1 ) (6 ) ( 2 8 ) 2 9 5 5 6 6f f f . 9分 （ III） 1333)3()( nnnn ffaf , nnnn aafffa 3)()3( 11 ， 6)3(1 fa . 即数列 na 是以 6为首项 , 以 3为公比的等比数列 . 16 3 2 3 ( 1, 2 , 3 )nnnan 11分 于是21211( 1 )1 1 1 1 1 1 1 1 1 133( ) ( 1 )12 3 3 3 2 4 313nnnna a a ,显然
24、41)311(41 n 12 分 另一方面 1 2 23 ( 1 2) 1 2 2 2 1 2n n n nn n nC C C n , 从而 1 1 1 1(1 ) (1 )4 3 4 2 1 4 2n nnn . 综上所述 , 121 1 1 14 2 4nnn a a a . 14分 2008年普通高等学校招生全国统一考试（模拟考试） 数学 答 题卡 （理 科 ） 姓 名 考生禁填写：缺考考生，监考员用 2B 铅笔填涂右面的缺考标记 填涂样例 正确填涂 一、 选择题 请在各题目的答题区内作答，超出黑色矩形框限定区的答案无效 1 A B C D 5 A B C D 9 A B C D 2
25、A B C D 6 A B C D 10 A B C D 3 A B C D 7 A B C D 4 A B C D 8 A B C D 1、 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好 条形码。 2、 选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3、 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 保持卡面清洁，不要折叠、不 弄 注 意 事 项 贴条形码区 准考证号 三、解答题 16、 请在各题目的答题区内作答，超出黑色矩形框限定区的答案无效 二、填空题 11. 12. 13. 14. 15. 续 16. 请在各题目的答题区内作答，超出黑色矩形框限定区的答案无效
