1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年 高考理科数学 能力测试题 数学理 本试卷分第 卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )两部分 。 满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 卷（共 50 分 ） 注意事项： 1. 答第 卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置，并认真核准条形码上的姓名、座号和准考证号。 2. 第 卷共 2 页。答题时，考生须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他 答案。在试卷上作答无效。 参考公式： 球的体积公式： 343
2、SR ，其中 R 是球的半径 . 椎体的体积公式： 13V Sh ，其中 S 是椎体的底 面积， h 是椎体的高。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 化简复数 212iz i A. i B. i C. 1 D. 1 2. 已知集合 2 1| 2 3 , | , 0A y y x x B y y x xx ，则有 A. ABB. ABC.AB D. /AB 3. 已知命题 P:任意 2,2 1 0x R x ，则 p 是 A. 任意 2,2 1 0x R x B. 存在 2,2 1 0x R x C. 存在
3、2,2 1 0x R x D. 存在 2,2 1 0x R x 、 4. 如图所示给出的是计算 1 1 1 12 4 6 20 的值的一个程序框图，其中判断框内填入的条件是 A. 10i B. 10i C. 20i D. 20i 5. 设函数 2 ,0()2 , 0x bx c xfx x ，若 ( 4 ) (0 ), ( 2 ) 2f f f ，则关于 x 的方程 ()f x x 的解的个数为 A. 4 B.2 C.1 D.3 6. 函数 44( ) s in 2 s in c o s c o sf x x x x x 的最小值是 A. 32 B. 12 C. 12 D. 32 7. 设 0
4、 .3 2 22 , 0 .3 , lo g ( 0 .3 ) ( 1 )xa b c x x ，则 a、 b、 c 的大小关系是 A. abc B. bac C. c b a D. bac 8. 在 ABC 中 ， 159 0 , , ,2B A C D E 两 点 分 别 在 ,ABAC 上。使2 , 3A D A E DED B EC 。将 ABC 沿 DE 折成直二面角，则二面角 A EC B的余弦值为 A. 32222 B. 52222 C. 33434 D. 53434 9. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲 、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A.
5、63 B.64 C.65 D.66 10. 曲线 4cos2sinxy （ 为参数）上各点到直线 2 2 0xy 的最大距离是 A. 10 B. 210 C. 310 D. 3105 第 卷（共 100 分） 注意事项： 第 卷共 2 页。考生必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上个题目的指定答题区域内作答，填空题请直接写答案，解答题应写出文字、证明过程或演算步骤。在试卷上作答无效。 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 24 分。 11. 电动自行车的耗电量 y 与速度 x 这间的关系为 321 3 9 4 0 ( 0 )32y x x x x ，为使耗电量最小，则其速度应
6、定为 12. 极坐标系下，曲线 cos( ) 24与曲线 2 的公共点个数是 13. 在正三棱柱 1 1 1ABC ABC ，若 12, 1AB AA，则 A 到平面 1ABC 的距离 14. 如图，已知 EB 是半圆 O 的 直径， A 是 BE 延长线上一点， AC 切半圆 O 于点D , BC AC 于 C ，若 6, 8BC AC，则 AE ;AD 15. 设函数 ()fx是定义在 R 上的奇函数 ( 0)x ，若当 (0, )x 时， ( ) lgf x x ,则满足( ) 0fx 的 x 的取值范围是 16. 已知点 ( , )Pxy 的坐标满足条件 41xyyxyQ 点为 (2,
7、 2) ，那么 2PQ 的取值范围为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 12 分） 设向量 ( s i n , c o s ) , ( c o s , c o s ) ,a x x b x x x R ，函数 ( ) ( )f x a a b （ 1） 求函数 ()fx的最小正周期； （ 2） 当 ,44x 时，求函数 ()fx的值域； （ 3） 求使不等式 ( ) 1fx 成立的 x 的取值范围。 18. （本小题满分 12 分） 某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有 2 个 A 班同学和 2 个 B 班同学；乙景点内有 2 个 A 班同学和
8、3 个 B 班同学，后由于某种原因，甲、乙两景点各有一个同学交换景点观光。 （ 1） 求甲景点恰有 2 个 A 班同学的概率； （ 2） 求甲景点 A 班同学数 的分布列及数学期望。 19. （本小题满分 12 分） 设函数 22( ) 2 1 ( , 0 )f x tx t x t t R t （ 1） 求 ()fx的最小值 ()st ； （ 2） 若 ( ) 2s t t m 对 (0,2)t 时恒成立，求实数 m 的取值范围。 20. （本小题满分 12 分） 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 是 一 直 角 梯 形 ，9 0 , / / , 1 , 2B A D
9、A D B C A B B C A D ,PA 底面 ABCD ， PD 与底面成 30 角。 （ 1）若 AE PD ， E 为垂足，求证： BE PD ； （ 2）求异面直线 AE 与 CD 所成的角的余弦值； （ 3）求 A 点到平面 PCD 的距离。 21. （本小题满分 14 分） 在等比数列 na 中，前 n 项和为 nS ，若 21,m m mS S S成等差数列，则 21,m m ma a a成等差数列。 （ 1）写出这个命题的逆命题； （ 2）判断逆命题是否为真？并给出证明。 22. （本小题满分 14 分） 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2
10、 倍且经过点 (2,1)M ，平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 ( 0)mm ， l 交椭圆于 AB、 两个不同点 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）求 m 的取值范围； （ 3）求证直线 MA MB、 与 x 轴始终围成一个等腰三角形。 理科数学参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分， 1 5BADAD 6 10CBCAA 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 24 分。 351 1 .4 0 , 1 2 .1 , 1 3 . , 1 4 . ; 5 , 1 5 .( , 1 ) ( 0 , 1 ) , 1 6 . 9 , 1622
11、 17. 解：（ 1） (sin co s , 0 )a b x x 2( ) ( s i n , c o s ) ( s i n c o s , 0 ) s i n s i n c o sa a b x x x x x x x 1 c o s 2 1 1 2sin 2 sin ( 2 )2 2 2 2 4x xx 所以 22T （ 2）当 ,44x 时， 324 4 4x 2 2 1s in ( 2 )2 2 4 2x 所以 1 2 1 2 sin ( 2 ) 12 2 2 4x ，即 12 ( ) 12 fx 。 （ 3） ( ) 1fx 即 12sin (2 ) 12 2 4x 所以 2
12、sin (2 )42x 572 2 2 ,4 4 4k x k k Z 所以 3 ,24k x k k Z 所以 3|,24x x k x k k Z 18. 解：（ 1）甲、乙两景点各有一个同学交换景点后，甲景点恰有 2 个 A 班同学有两种情况 互换的是 A 班同学，此时甲景点恰有 2 个 A 班的同学的事件记为 1A . 11221 1145 1() 5CCPA CC 互换的是 B 班同学，此时甲景点恰有 2 个 A 班的同学的事件记为 2A . 11232 1145 3() 10CCPA CC所以甲景点恰有 2 个 A 班的同学的概率12 1 3 1( ) ( ) 5 1 0 2P P
13、 A P A . (2) 甲景点内 A 班的同学数为 ， 则 11231145 3( 1) 10CCP CC ， 1( 2) 2P， 11221145 1( 3) 5CCP CC 所以 3 1 1 1 91 2 31 0 2 5 1 0E 。 19. 解：（ 1） 23( ) ( ) 1 ( , 0 )f x t x t t t t R t xt 时， ()ft 取得最小值 3( ) 1f x t t ， 即 3( ) 1s t t t （ 2）令 3( ) ( ) ( 2 ) 3 1h t s t t m t t m 由 2( ) 3 3 0h t t ，得 1t 或 1t （舍去） t （
14、 0,1） 1 （ 1,2） ()ht 0 ()ht 增 极大值 1m 减 ()ht 在 (0,2) 内有最大值 1m ， ( ) 2s t t m 对 (0,2)t 时恒成立等价于 () 0ht 恒成立。 即 10m 1m 20. (1)证明：以 A 为原点， AB,AD,AP 所在直线为坐标轴建立直角坐标系（如图） 则 23( 0 , 0 , 0 ) , (1 , 0 , 0 ) ( 0 , 2 , 0 ) ( 0 , 0 , )3A B D P 23(1 , 0 , 0 ) ( 0 , 2 , ) 03A B P D 又 0,A E P D A B P D A E P D 所以 PD 面
15、 BEA BE 面 BEA ， PD BE （ 2）解： PA 面 ABCD ， PD 与底面成 30 角 , 30PDA 过 E 作 EF AD ，垂足为 F，则 sin 30 1AE AD , 60EAF 1 3 1 3, ( 0 , , )2 2 2 2A F E F E ,于是 13(0, , )22AE 又 (1 ,1 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 1 ,1 , 0 )C D C D 则 24A E CDCO S A E CD AE 与 CD 所成角的余弦值为 24 。 （ 3）设 V 平面 PCD ，则 ,V PD V CD 即 2 3 2 3( , , )
16、( 0 , 2 , ) 0 2 033x y z y z ( , , ) ( 1 ,1 , 0 ) 0 0x y z x y 令 1y 则 1 , 3 3 , (1 ,1 , 3 )x y z y V A 点到平面 PCD 的距离设为 d ,则 255V DAdV即 A 点到平面 PCD 的距离设为 255 。 21. 解：（ 1）在等比数列 na 中 ，前 n 项和为 nS ，若 21,m m ma a a成等差数列，则21,m m mS S S成等差数列。 （ 2）数列 na 的首项为 1a ，公比为 q 。由题意知： 212 m m ma a a 即 111 1 12 m m ma q
17、a q a q 21 10 , 0 , 2 1 1 0 , 1 2a q q q q 或 当 1q 时，有 1 , 2 1 , 1 1 ,( 2 ) ( 1 )m m mS m a S m a S m a 显然： 212 m m mS S S。此时逆命题为假。 当 12q 时，有21 22112 (1 ( ) )4122 1 ( )1 3212mmmaSa ， 11 21111( 1 ( ) ) 2 ( 1 ( ) )4122 1 ( )3211mmmmmaaS S a 212 m m mS S S ，此时逆命题为真。 22. 解：（ 1）设椭圆方程为 22 1( 0)xy abab 则222
18、411abab 解得 2282ab 所以椭圆方程 22182xy （ 2）因为直线 l 平行于 OM，且在 y 轴上的截距为 m 又 12OMK ，所以 l 的方程为： 12y x m 由 222212 2 2 4 0182y x mx m x mxy 因为直线 l 与椭圆交于 AB、 两个不同点， 22( 2 ) 4 ( 2 4 ) 0 ,mm 所以 m 的取值范围 是 | 2 2, 0m m m 。 （ 3）设直线 MA MB、 的斜率分别为 12,kk，只要证明 120kk即可 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则 121211,22yykkxx由 222
19、 2 4 0x m x m 可得 21 2 1 22 , 2 4x x m x x m 而 1 2 1 2 2 112 1 2 1 21 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )2 2 ( 2 ) ( 2 )y y y x y xkk x x x x 1 2 2 11211( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )22( 2 ) ( 2 )x m x x m xxx 1 2 1 212( 2 ) ( ) 4 ( 1 )( 2 ) ( 2 )x x m x x mxx 2122 4 ( 2 ) ( 2 ) 4 ( 1 ) 0( 2 ) ( 2 )m m m mxx 120kk 故直线 MA、 MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形。
