1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年高考 理科数学 模拟考试 试卷 数学试卷 （理工类） （完卷时间： 120 分钟 满分： 150 分） 一、填空题 ： （共 55 分，每小题 5 分） 1、方程 233lo g ( 1 0 ) 1 lo gxx- = +的解是 。 2、不等式 1223 x 的解集为 。 3、已知复数 z i 为纯虚数，则实数 a= 。 4、在极坐标系中， O 是极点，设点 )6,4( A ， )65,2( B ，则三角形 OAB 的面积为 5、若 51 xa的二项展开式中含 3x 项的系数是 80，则实数 a 的值为 6、在 1， 2， 3， 4， 5 这五个
2、数字中任取不重复的 3 个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是 。（用分数表示） 7、 关于函数 xxxf 2arcsin 有下列命题： xf 的定义域是 R ； xf 是偶函数； xf 在定义域内是增函数； xf 的最大值是 4 ，最小值是 0 。其中正确的命题是 。（写出你所认为正确的所有命题序号） 8、已知直角三角形的两直角边长分别为 3cm 和 4cm，则以斜边为轴旋转一周所得几何体的表面积为 。 9、已知各项均为正数的等比数列 na 的首项 11a ，公比为 q ，前 n 项和为 nS ，若1lim 1 nnn SS ，则公比为 q 的取值范围是 。 10、设实数 yx,
3、 满足 1)1( 22 yx ，若对满足条件 yx, ，不等式 0 cyx 恒成立，则 c 的取值范围是 。 11、现有 31 行 67 列表格一个，每个小格都只填 1 个数，从左上角开始，第一行依次为 1，2， 67 ；第二行依次为 68， 69134 ； 依次把表格填满 。现将此 表格 的数按另一方式填写，从左上角开始，第一列从上到下依次为 1， 2 ， 31；第二列从上到下依次为 32， 33， ，62； 依次把表格填满 。对于上述两种填法，在同一小格里两次填写的数相同，这样的小格在表格中共有 _个 。 二、选择题 ： （共 20 分，每小题 5 分） 12、条件 p：不等式 1)1(l
4、og2 x 的解；条件 q：不等式 0322 xx 的解。则 p 是 q的 （ ） A、充分非必要条件； B、必要非充分条件； C、充要条件； D、非充分非必要条件。 13、如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（ ） A、求三个数中最大的数 B、求三个数中最小的数 C、按从小到大排列 D、按从大到小排列 14、在正方体 1111- DCBAABCD 中，点 E 在 A1C1 上，111 41 CAEA 且 ADzAByAAxAE 1 ，则 （ ）。 （ A） 2121,1 zyx ， ，（ B） 211,21 zyx ， ， （ C）2131,1 zyx ，（ D） 4141,1 z
5、yx ， . 15、设函数 ()fx的定义域为 D，如果对于任意 1x D，存在唯一的 2x D 使 12( ) ( )f x f x开始 输入 a,b,c ab ac 输出 a 是 结束 a c 否 是 否 a b E D 1CA B C 1A1BD1 第 14 题 c（ c 为常数）成立，则称函数 ()y f x 在 D 上 “与 常数 c 关联 ”。 现有函数： 2yx ； 2sinyx ； 2logxy ； 2xy ， 其中 满足在其定义域上 “与常数 4 关联 ”的所有函数是 -（ ） （ A） （ B） （ C） （ D） 三、简答题（ 75 分） 16、 （本题 12 分，第（
6、1）小题 6 分，第（ 2）小题 6 分） 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中 , ABC=90, AB=BC=1. (1)求异面直线 B1C1与 AC 所成角的大小； (2)若直线 A1C 与平面 ABC 所成角为 45, 求三棱锥 A1-ABC 的体积 . 17、 （本题 14 分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分） 已知函数 .3c o s33c o s3s in)( 2 xxxxf （ 1）将 ()fx写成 )sin( xA 的形式，并求其图象对称中心的横坐标； （ 2）如果 ABC 的三边 a、 b、 c 满足 b2=ac，且边 b 所对的角为 x ，试求角 x 的范围
7、及此时函数 ()fx的值域 . 18、 （本题 14 分，第（ 1）小题 5 分，第（ 2）小题 9 分） 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 80出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券 : 消费金额 (元 )的范围 200,400) 400,500) 500,700) 700,900) 获得奖券的金额 (元 ) 30 60 100 130 根据上述促销方法 ,顾客在该商场购物 可以获得双重优惠。例如：购买标价为 400 元的商品，则消费金额为 320 元，获得的优惠额为： 4000.2+30=110（元）。设购买商品的优惠率 = 。 试问：（ 1
8、） 购买一件标价为 1000 的商品，顾客得到的优惠率是多少？ （ 2） 对于标价在 500,800)（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于 的优惠率？ 19、 （本题 16 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 7 分，第（ 3）小题 5 分） 已知点集 |),( nmyyxL ，其中 )1,2( bxm ， )1,1( bn ，点列 ),( nnn baP在 L 中， 1P 为 L 与 y 轴的交点，等差数列 na 的公差为 1， Nn 。 （ 1）求数列 nb 的通项公式； （ 2）若 ()fn，令 (1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( )nS f f f f n
9、 ；试用解析式写出nS 关于 n 的函数。 （ 3）若 ()fn，给定常数 m( *,2m N m),是否存在 Nk ，使得( ) 2 ( )f k m f m ，若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。 20、 （本题 19 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 9 分） 已知：点 P 与点 F（ 2， 0）的距离比它到直线 x 4 0 的 距离小 2，若记点 P 的轨迹为曲线 C。 （ 1）求曲线 C 的方程。 （ 2）若直线 L 与曲线 C 相交于 A、 B 两点，且 OA OB。求证：直线 L 过定点，并求出该定点的坐标。 （ 3）试利用所学圆锥曲线
10、知识参照（ 2）设计一个与直线 L 过定点有关的数学问题，并解答所提问题。 （本小题将根据你所设计问题的不同思维层次予以不同评分） 奉贤区 09届高三数学（理科）参考答案与评分标准 （ 09.3） 一、填空题 (每题 5 分 ) 1) 5x 2) 4x 3)0 4) 23 5) 12 6) 35 7） 8） 845 9） 01（ ， 10） 2 1, ) 11） 7 二、选择题 (每题 5 分 ) 12、 A 13、 B 14、 D 15、 D 三、解答题 16、 16、 （ 1）因为 11BC BC ，所以 BCA（或其补角）即为异面直线 11BC 与 AC所成角 -(3 分 ) ABC=9
11、0, AB=BC=1，所以 4BCA ， -(2 分 ) 即异面直线 11BC 与 AC 所成角大小为 4 。 -(1 分 ) （ 2） 直三棱柱 ABC-A1B1C1中， 1A A ABC平 面 ，所以 1ACA 即为直线A1C 与平面 ABC 所成角，所以1 4ACA 。 -(2 分 ) RtABC 中， AB=BC=1 得到 2AC ， 1Rt AAC 中，得到 1 2AA AC， -(2分 ) 所以11236A B C A B CS A A 1AV-(2 分 ) 17、 2( ) s i n c o s 3 c o s3 3 3x x xfx -(1 分 ) = 1 2 3 2 3si
12、n c o s2 3 2 3 2xx -(1 分 ) = 23sin( )3 3 2x -(1 分 ) 若 x 为其图象对称中心的 横坐标，即 2sin( )33x =0， -(1 分 ) 233x k ， -(1 分 ) 解得： 3 ()22x k k Z -(1 分 ) （ 2） 2 2 2 2 2 2c o s 2 2 2a c b a c a c a c a cx a c a c a c ， -(2 分 ) 即 1cos 2x ，而 (0, )x ，所以 (0, 3x 。 -(2 分 ) 28( , 3 3 3 9x ， 28s in ( ) s in ,13 3 9x ， -(2 分
13、 ) 所以 8 3 3( ) sin , 1 9 2 2fx -(2 分 ) 18、 1 0 0 0 0 .2 1 3 0 3 3(1) 1 0 0 0 1 0 0 ，顾客得到的优惠率是 33100 。 -(5 分 ) (2)、设商品的标价为 x 元，则 500x800 - -(2 分 ) 消费金额： 4000.8x640 由题意可得： （ 1） 无解 -(3 分 ) 或（ 2） 得： 625x750 -(3 分 ) 因此，当顾客购买 标价在 元内的商品时，可得到不小于 的优惠率。 -(1分 ) 19、（ 1） y (2x b) (b 1) 2x 1 -(1 分 ) 21yx与 x 轴的交点
14、1 1 1( , )Pa b 为 (0,1) ，所以 1 0a ； -(1 分 ) 所以 1 ( 1) 1na a n ，即 1nan， -(1 分 ) 因为 ( , )n n nP a b 在 21yx上，所以 21nnba，即 21nbn -(1 分 ) （ 2）设 ( ) nnafn b ( 2 1)( 2 )nknk （ *kN ） ， 即 1( ) 21nfn n ( 2 1)( 2 )nknk（ *kN ） -(1 分 ) （ A）当 2nk 时， 2 1 2 3 4 2 1 2 1 3 2 1. . . . ( . . . )n k k k kS S a b a b a a a
15、a a 2 4 2( . )kb b b -(1 分 ) = 0 2 2 3 4 122kkkk = 2k ，而 2nk ，所以 234nSn-(1 分 ) （ B）当 21nk时， 2 1 1 3 2 1 2 4 2 2( . . . ) ( . . . )n k k kS S a a a b b b -(1 分 ) = 0 2 2 3 4 5 ( 1 )22kkkk = 23 4 1kk， -(1 分 ) 而 12nk ，所以 2314 2 4n nSn -(1 分 ) 因此2231 , 2 14 2 43 ,24nnn n kSn n k ，（ *kN ） -(1 分 ) （ 3）假设
16、Nk ，使得 ( ) 2 ( )f k m f m ， （ A） m 为奇数 （一） k 为奇数，则 km 为偶数。则 ( ) 1f m m， ( ) 2 ( ) 1f m k m k 。则2 ( ) 1 2 ( 1)m k m ，解得： 2k 与 *kN 矛盾。 -(1 分 ) （二） k 为偶数，则 km 为奇数。则 ( ) 2 1f m m， ( ) ( ) 1f m k m k 。则( ) 1 2 ( 2 1)m k m ，解得： 31km（ 31m 是正偶数）。 -(1 分 ) （ B） m 为偶数 （一） k 为奇数，则 km 为奇数。则 ( ) 1f m m， ( ) ( ) 1
17、f m k m k 。则( ) 1 2 ( 1)m k m ，解得： 1km（ 1m 是正奇数）。 -(1 分 ) （二） k 为偶数，则 km 为偶数。 则 ( ) 2 1f m m， ( ) 2 ( ) 1f m k m k 。则2 ( ) 1 2 ( 2 1 )m k m ，解得： 12km与 *kN 矛盾。 -(1 分 ) 由此得：对于给定常数 m( *,2m N m)， 这样的 k 总存在；当 m 是奇数时， 31km；当 m 是偶数时， 1km。 -(1 分 ) 20、（ 1）解法（ A）： 点 P 与点 F（ 2， 0）的距离比它到直线 x 4 0 的距离小 2，所以 点 P与点
18、 F（ 2， 0）的距离与它到直线 x 2 0 的距离相等。 -(1 分 ) 由抛物线定义得：点 P 在以 F 为焦点 直线 x 2 0 为准线的抛物线上， -(1 分 ) 抛物线方程为 2 8yx 。 -(2 分 ) 解法（ B ）： 设 动 点 ( , )Pxy ，则 22( 2) | 4 | 2x y x 。当 4x 时，2 2 2( 2 ) ( 6 )x y x ，化简得： 2 8( 2)yx，显然 2x ，而 4x ，此时曲线不存在。当 4x 时， 2 2 2( 2 ) ( 2 )x y x ，化简得： 2 8yx 。 （ 2） 1 , 1 2 , 2) , )x y x y设 直
19、线 L ： y=kx+b 与 抛 物 线 交 予 点 (， ()a 若 L斜 率 存 在 ， 设 为 k， 22 0, 8 8 0 ,8 6 4 3 2 0y k x b kk y y by x k b =则 ， -(1 分 ) 2 22 211 121 2 1 2 2222 88 , 648yx yybby y x xkk 所 以 又 ， 得， 1212,1yyO A O B xx 由 得 ，即 8 1kb ， 8bk ， -(2 分 ) 直线为 ( 8)y k x，所以 (8,0)L过 定 点 -(1 分 ) x(b) 直 线 L 与 轴 垂 直 ， 则 直 线 OA （ 或 直 线 OB
20、 ） 的 斜 率 为 1, 2 8 , ( 8 0 )8yx xyx 得 直 线 L 过 定 点 、-(1 分 ) 由（ a）（ b）得：直线恒过定点 (8,0) 。 -(1 分 ) 1、 （逆命题）如果直线 (8,0)L过 定 点 ， 且与抛物线 2 8yx 相交于 A、 B两点， O为坐标原点。求证： OA OB （ 评分：提出问题得 1分，解答正确得 1分 ） （若，求证： =0，得分相同） 2、 （简单推广命题）如果直线 L与抛物线 2px(p0)相交于 A、 B两点，且 OA OB。求证：直线 L过定点（ 2p， 0） 或：它的逆命题（ 评分：提出问题得 2分，解答正确得 1分 ）
21、3、 （类比） 3 1（ 1）如果直线 L与椭圆 1(ab0)相交于 A、 B两点， M是其右顶点，当 MA MB。求证：直线 L过定点 ( ,0) 3 1（ 2）如果直线 L与椭圆 1(ab0)相交于 A、 B两点， M是其左顶点，当 MA MB。求证：直线 L过定点 ( ,0) 3 1（ 3）或它的逆命题 3 2（ 1）如果直线 L与双曲线 1(a0,b0)相交于 A、 B两点， M是其右顶点，当MA MB。求证：直线 L过定点 ( ,0)(ab) 3 2（ 2）如果直 线 L与双曲线 1(a0,b0)相交于 A、 B两点， M是其左顶点，当MA MB。求证：直线 L过定点 ( ,0)(a
22、b) 3 2（ 3）或它的逆命题 （ 评分：提出问题得 3分，解答正确得 3分 ） 4、（再推广） 直角顶点在圆锥曲线上运动 如：如果直线 L与抛物线 2px(p0)相交于 A、 B两点， P是抛物线上一定点 ( , )，且PA PB。求证：直线 L过定点 ( 2p, ) （ 评分 ：提出问题得 4分，解答正确得 3分 ） 5、 （再推广） 如果直线 L与抛物线 2px(p0)相交于 A、 B两点， P是抛物线上一定点 ( , )， PA与 PB的斜率乘积是常数 m。求证：直线 L过定点 ( , ) （ 评分：提出问题得 5分，解答正确得 4分 ） 或 为常数 顶点在圆锥曲线上运动并把直角改为一般定角或 OA与 OB的斜率乘积是常数或 为常数
