1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年高考理科数学模拟考试试卷 数学（理科）试卷 一 、 填空题（本大题满分 60 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 5 分，否则一律得零分 1. 若 2 2 311n n nC C C n N，则 n _ 2. 若复数 z满足 1 3 2i2izz （ i 是虚数单位），则 z _ 3. 已知 1tan62， tan 36，则 tan _ 4. 由 0 ， 1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 六个数字组成无重复 数字 且数字 2 ， 3 相邻的四位数共 _个（结果用数字表示） 5. 函数 44sin cosy x x的单调递
2、增区间是 _ 6. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设 I 为地震时所散发出来的相对能量强度，则里氏震级量度 r可定义为 2lg 23rI 2008年 5月 12日，四川汶川发生的地震是 8.0级，而 1976 年唐山地震的震级为 7.8 级，那么汶川地震所散发的相对能量是唐山地震所散发的相对能量的 _倍 （精确到个位） 7. 在一个水平放置的底面半径为 3 cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为 R cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升 R cm，则R _cm 8. 已知平面上直线 l 的方向向量 3, 4d，点 0,0O 和 4, 2A 在 l
3、上的射影分别是1O 和 1A ， 则 11OA _ 9. 已知函数 2 31f x m x m x 的值域是 0, ) ，则 实数 m 的取值范围是_ 10. 有一道解三角形的问题，缺少一个条件具体如下：“在 ABC 中，已知 3a ，45B ， _，求角 A 的大小”经推断缺少的条件为三角形一边的长度，且答案提示 60A ，试将 所缺的 条件 补充完整 11. 如图，设 A 是棱长为 a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面， 对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同 围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：有 12个顶点；有 24 条棱；有 12个面；
4、表面积为 23a ；体积为 365a 其中正 确的结论是 _（要求填上所有正确结论的序号） 12. 在解决问题：“证明数集 23A x x 没有最小数”时，可用反证法证明 假设 23aa 是 A 中的最小数，则取 22aa ，可得：2 2 2232 2 2a a aaa ，与假设中“ a 是 A 中的最小数”矛盾！ 那么对于问题：“证明数集 , , ,nB x x m n n mm N 并 且没有最大数”，也可以用反证法证明我们可以假设 00nx m 是 B 中的最大数，则 可 以找到 x _（用0m ， 0n 表示），由此可知 xB ， xx ，这与假设矛盾！所以数集 B 没有最大数 二选择
5、题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4 分，否则一律得零分 . 13. 圆 22 8 6 1 6 0x y x y 与圆 2264xy 的 位 置 关 系 是 ( ) (A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 14. 已知无穷等比数列 na 的前 n 项 和 为 nS ，各项的和为 S ，且 lim 2 1nn SS ，则其首项 1a 的取值范围是 ( ) (A) 1,0 0,1 (B) 2, 1 1, 0 A(C) 0,1 1,2 (D) 2,0 0, 2 15. 在
6、平面 直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数 y f x 的图像上有且仅有 nn *N 个整点，则称函 数 y f x 为 n 阶整点函数有下列函数： sin 2f x x ； 3g x x ； 13xhx ； lnxx ， 其中是一阶整点函数的个数为 （ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 16. 已知正方形 ABCD 的面积为 36 ， BC 平 行 于 x 轴，顶点 A 、 B 和 C 分别在函数3logayx 、 2logayx 和 logayx （其中 1a ）的图像上，则实 数 a 的值为 ( ) (A) 3 (B) 6 (C)63 (D
7、) 36 三解答题 （本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤 . 17. (本题满分 12 分 ) 已知函数 2 21f x x tx ， 2,5x 有反函数，且函数 fx的最大值为 8 ，求实数 t 的值 . 18. (本题满分 14 分 ) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 . 如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1的正 方形， PD 底面 ABCD ，且 2PD （ 1） 若点 E 、 F 分别在棱 PB 、 AD 上，且 4PE EB ， 4DF FA ，
8、求证： EF 平面 PBC ； （ 2） 若点 G 在线段 PA 上，且三棱锥 G PBC 的体积为 14 ，试求线段 PG 的长 FEDCBAP19. (本题满分 14 分 ) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 . 已知数列 na 满足1 25a，且对任意 n N ，都有11422nnaa （ 1） 求证：数列 1na为等差数列； （ 2） 试问数列 na 中任意连续两项的乘积 1kka a k N是否仍是 na 中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由 20. (本题满分 16 分 )本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，
9、第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分 . 定义区间 ,mn ， ,mn ， ,mn ， ,mn 的长度均为 nm ，其中 nm （ 1） 若关于 x 的不等式 22 12 3 0ax x 的解集构成的区间的长度为 6 ，求实数 a的值； （ 2） 已知关于 x 的不等式 2s i n c o s 3 c o s 0x x x b ， 0,x 的解集构 成的各区间的长度和超过 3 ，求实数 b 的取值范围； （ 3） 已知关于 x 的不等式组 227 1,1lo g lo g 3 2xx tx t 的解集构成的各区间长度和为6 ，求实数 t 的取值范围 21. (本题满分 18 分
10、 )本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分。 22. 已知等轴双曲线 C 的两个焦点 1F 、 2F 在直线 yx 上，线段 12FF 的中点是坐标原点，且双曲线经过点 33,2 （ 1） 若 已 知 下 列 所 给 的 三 个 方 程 中 有 一 个 是 等 轴 双 曲 线 C 的 方 程 ： 22274xy ； 9xy ； 92xy 请确定哪个是 等轴双曲线 C 的方程，并求出此双曲线的实轴长； （ 2） 现要在等轴双曲线 C 上选一处 P 建一座码头，向 3,3A 、 9,6B 两地转运货物经测算，从 P 到 A 、从 P 到
11、B 修建公路的费用都是每单位长度 a 万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？ （ 3） 如图，函数 313yxx的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分） 理科答案 说明 1. 本解答列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解法不同 ,可参照解答中评分标准的精神进行评分 . 2. 评阅 试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅 . 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面
12、部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分 . 3. 第 17 题至第 21 题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数 . 4. 给分或扣分均以 1 分为单位 . 答案及评分标准 一、（第 1 至 12 题）每题正确的给 5 分，否则一律得零分 . 1.5 . 2. 47i55 . 3. 7 . 4. 60 . 5. ,2 4 2kk k Z. 6. 2 . 7. 32 . 8. 4 . 9. 0,1 9, . 10. 622c . 11. 12.答案不惟一， 0011nm ， 0002nmm ， 二、（第 13 至 16 题）每一题正确的给 4 分，否则一律得零
13、分 . 题 号 13 14 15 16 代 号 C B B C 三、（第 17 至 21 题） 17.【解】 因为函数有反函数，所以在定义域内是一一对应的 函数 2 21f x x tx 的对称轴为 xt ，所以 2t 或 5t 3 分 若 2t ，在区间 2,5 上函数是单调递增的，所以 m a x 5 2 5 1 0 1 8f x f t ，解得 95t ，符合 7 分 若 5t ，在区间 2,5 上函数是单调递减的，所以 m a x 2 4 4 1 8f x f t ，解得 34t ，与 5t 矛盾，舍去 11 分 综上所述，满足题意的实数 t 的值为 95 12 分 18.【解】 （
14、1）以点 D 为坐标原点， DA 为 x 轴正方向， DC 为 y 轴正方向建立空间直角坐标系 1 分 则 0,0,0D ， 1,0,0A ， 1,1,0B ， 0,1,0C ， 0,0,2P ， 因为 4PE EB ， 4DF FA ，所以 4,0,05F， 442,555E， 3 分 则 420, ,55EF ， 1,0,0BC ， 1, 1, 2PB 5 分 0EF BC， 0EF PB，即 EF 垂直于平面 PBC 中两条相交直线，所以 EF 平面PBC 7 分 （ 2） 1,0, 2PA，可设 01PG PA ， 所以向量 PG 的坐标为 ,0, 2 ， 8 分 平面 PBC 的法向
15、量为 420, ,55EF 点 G 到平面 PCE 的距离4252 5 55P G E FdEF 10 分 PBC 中， 1BC ， 5PC ， 6PB ，所以 52PBCS 12 分 三棱锥 G PBC 的体积 1 1 5 2 13 3 2 3 45PBCV S d ，所以 34 13 分 此时向量 PG 的坐标为 33,0,42， 3 54PG ，即线段 PG 的长为 354 14 分 19.【解】 （ 1）由11422nnaa 及 1 25a 可知数列 na 的每一项都是正的 1 分 1 1 12 4 2n n n n n na a a a a a ，即 112 2 3n n na a
16、a a， 3 分 所以11 1 32nnaa ， 4 分 所以数列 1na是以 52 为首项，公差为 32 的等差 数列 6 分 （ 2）由（ 1）可得数列 1na的通项公式为 1 3 22n na ，所以 232na n 8 分 1 22 2 43 2 3 1 2 9 2 1 1 0kkaa k k k k 229 21 6 22kk 223 7 2322kk 10 分 因为 2 2 13 7 2 3122 kkkk kk ， 11 分 当 k N 时， 12kk 一定是正整数，所以 23 7 22kk是正整数 13 分 所以 1kkaa 是数列 na 中的项，是第 23 7 22kk项 1
17、4 分 20.【解】 （ 1） 0a 时不合题意； 1 分 0a 时，方程 22 12 3 0ax x 的两根设为 1x 、 2x ，则 126xxa， 12 32xx a ，由题意知 2 21 2 1 2 1 2 23 6 664x x x x x x aa ， 2 分 解得 2a 或 3a （舍）， 3 分 所以 2a 4 分 （ 2）因为 2s in c o s 3 c o sx x x b 1 3 3sin 2 1 c o s 2 sin 22 2 3 2x x b x b ， 5 分 设 si n 23f x x ，原不等式等价于“ 32f x b ， 0,x ”， 6 分 因为函数
18、 fx的最小正周期为 ， 0, 的长度恰为函数的一个正周期， 所以 当 3122b 时， 32f x b ， 0,x 的解集构成的各区间的长度和超过 3 ，即 b 的取值范围为 13,2 9 分 （ 3）先解不等式 7 11x ，整理得 6 01xx ，即 1 6 0xx 所以不等式 7 11x 的解集 1,6A 10 分 设不等式 22lo g lo g 3 2x tx t 的解集为 B ，不等式组的解集为 AB 不等式 22lo g lo g 3 2x tx t 等价于20303 4 0xtx ttx tx 11 分 所以 0,B ， 0,6AB ，不等式组的解集的各区间长度和为 6 ，所
19、以不等式组2303 4 0tx ttx tx ，当 0,6x 时，恒成立 12 分 当 0,6x 时，不等式 30tx t恒成立，得 0t 13 分 当 0,6x 时，不等式 2 3 4 0tx tx 恒成立，即2 43t xx 恒成立 14 分 当 0,6x 时，243xx的取值范围为 2 ,27，所以实数 227t 15 分 综上所述， t 的取值范围为 20,27 16 分 21.【解】 （ 1）双曲线 22274xy 的焦点在 x 轴上，所以 不是双曲线 C 的方程 1 分 双曲线 9xy 不经过点 33,2，所以 不是双曲线 C 的方程 2 分 所以 92xy 是 等轴双曲线 C 的
20、方程 3 分 等轴双曲线 92xy 的 焦点 1F 、 2F 在直线 yx 上，所以双曲线的顶点也在直线 yx上， 4 分 联立方程 92xyyx ，解得双曲线 92xy 的两顶点坐标为 3 3 3 3,22， 3 3 3 3,22，所以双曲线 92xy 的实轴长为 6 5 分 （ 2） 所求问题即为：在双曲线 92xy 求一点 P ，使 PA PB 最小 首先，点 P 应该选择在等轴双曲线的 92xy 中第一象限的那一 支上 6 分 等轴双曲线的 92xy 的长轴长为 6 ，所以其焦距为 62 又因为双曲线的 两个焦点 1F 、 2F 在直线 yx 上，线段 12FF 的中点是原点，所以 3
21、,3A 是92xy 的一个焦点， 7 分 设双曲线的另一个焦点为 2 3, 3F ，由双曲线的定义知： 2 6PA PF 所以 2 6PA PB PF PB ，要求 PA PB 的最小值，只需求 2PF PB 的最小值 8 分 直线 2BF 的方程为 3 4 3 0xy ，所以直线 2BF 与双曲线 92xy 在第一象限的交点为 33,2 9 分 所以码头应在建点 P 33,2处，才能使修建两条公路的总费用最低 10 分 （ 3） 3 1 3 133f x x x f xxx ，此双曲线是中心对称图形，对称中心 是原点 00， ； 1 分 渐近线是 33yx 和 0x 当 0x 时，当 x 无限增大时， 1x 无限趋近于 0 ，
