1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年高考理科数学模拟考试试卷 数学理科 2009.4 （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意： 本试卷包括试题纸和答题纸两部分在本试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题可使用符合规定的计算器答题 一、填空题（本大题满分 60 分）本大题共有 12 题，每题 5 分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果 1直线 013 yx 的倾斜角为 2已知全集 RU ，集合 0542 xxxM ， 1 xxN ， 则 )( NCM U = 3 若复数 z满足 i iz 3 (其中 i 是虚数单位 )， 则 z = 4二项式
2、6)21( x 展开式中 3x 系数的值是 5市场上有一种“双色球”福利彩票， 每注售价为 2 元，中奖 概率为 6.71%，一注彩票的平均奖金额为 14.9 元如果小王购 买了 10 注彩票，那么他的期望收益是 元 6把 5cos3cos 化为积的形式，其结果为 7已知 )( yxP ， 是椭圆 1916 22 yx 上的一个动点，则 yx 的最大值是 8已知21tan1 tan 2 xx（ 0 ，x ），则 x的值是 9如图是输出某个数列前 10 项的框图，则该数列第 3 项 的值是 10. 在极坐标系中 ,过圆 6cos 的圆心 ,且垂直于极轴的 直线的极坐标方程是 11如图，用一平面去
3、截球所得截面的面积为 2 cm2，已知 输出 A 1NN10N否 结束 是 1A1A开始 1N第 9 题 32 2 AAA 理第 11 题 球心到该截面的距离为 1 cm，则该球的体积是 cm3. 12在 ABC 中， 5AB ， 7AC ， D 是 BC 边的中点，则 BCAD 的值 是 . 二、 选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题 4 分每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置 13线性方程组78615304zyxzyxzyx 的增广矩阵是（ ） A786115130411 B786115130411 C 861513411 D854
4、611131 14在直角坐标系 xoy 中，已知 ABC 的顶点 )01( ，A 和 )01(，C ，顶点 B 在椭圆 134 22 yx 上，则 B CAsin sinsin 的值是 （ ） A 23 B 3 C 2 D 4 15. 以 cba 、 依次表示方程 232212 xxx xxx 、 的根，则 cba 、 的大小顺 序为 （ ） A cba B cba C bca D cab 16已知数列 na ，对于任意的正整数 n ， )2010(.)31(2)20091(12009 nnann， ，设 nS 表示数列 na 的前 n 项和下列关于nn Slim的结论，正确的是（ ） A 1
5、lim nn SB 2008lim nn SC )2010(.1 )20091(2009lim n nS nn ，（ *Nn ） D 以上结论都不对 三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题 必须在答题纸上 与题号对应的区域写出必要的步骤 . 17 (本题满分 12 分 ) 动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的长方形熊猫居室（如图所 303x x示）如果可供建造围墙的材料长是 30 米，那么宽 x为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？ 18. (本题满分 14 分 ) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题
6、满分 6 分 . 在长方体 DCBAABCD 中， 2AB ， 1AD ， 1AA 求： （ 1）顶点 D 到平面 ACB 的距离； （ 2）二面角 BACB 的大小 （结果用反三角函数值表示） 19 (本题满分 15 分 ) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 4 分， 第 3 小题满分 8 分 . 设数列 na 的前 n和为 nS ，已知 311S， 3132S， 3163S， 3644S， 一般地，)().12(3412)(),12(3412 )1(212为偶数时当为奇数时当nnnnSnnn（ *Nn ） （ 1）求 4a ； （ 2）求 na2 ； A D
7、 B C B C D A （ 3）求和： nn aaaaaaaa 212654321 20 (本题满分 15 分 ) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 10 分 . 已知 a 为实数，函数 3sin)( af ， 1sin )1(3)( ag （ R ） （ 1）若 cos)( f ，试求 a 的取值范围； （ 2）若 1a ，求函数 )()( gf 的最小值 21 (本题满分 18 分 ) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 7 分 ， 第 3 小题满分 7 分 . 已知 BA、 是抛物线 xy 42 上的相异两点 （ 1）设过点
8、 A 且斜率为 1 的直线 1l ，与过点 B 且斜率 1 的直线 2l 相交于点 P(4， 4)，求直线 AB 的斜率； （ 2）问题（ 1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线 ，过该圆锥曲线上的 相异两点 A、 B 所作的两条直线 21 ll、 相交于圆锥曲线 上一点；结论是关于直线AB 的斜率的值请你对问题（ 1）作适当推广，并给予解答； （ 3）线段 AB（不平行于 y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点 )0( 0，xQ 若 50 x ，试用线段 AB 中点的纵坐标表示线段 AB 的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围 数学 文理科 试 卷 参 考答案 与评 分 标 准 200
9、9.4 说明 1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同 ,可参照解答中评分标准的精神进行评分 . 2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅 . 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分 . 3. 第 17 题至第 21 题中右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数 . 4. 给分或扣分均以 1 分为单位 . 答案及评分标准 1 3 ； 2 1xx ； 3 10
10、 ； 4 160 ； 5（理） 66.8 元； （文） 0.7； 6（理） coscos42 ； （文） 200 赫兹； 7（理） 5； （文） p=4 8（理） 858 xx 或 ； （文） Zkkxx ,69 2113 ； 10（理） cos 3 ； （文） 方程为 01yx 11（理） 34 ； （文） 21 ； 12 12 13 16： A； C ； C； 理 B 文 A 17设熊猫居室的总面积为 y 平方米，由题意得： )100()330( xxxy 6分 解法 1： 75)5(3 2 xy ，因为 )10,0(5 ，而当 5x 时， y 取得最大值 75 10 分 所以当熊猫居室的
11、宽为 5 米时，它的面积最大，最大值为 75 平方米 12 分 解法 2 ： 22 )330(331)330(331)330( xxxxxxy =75 ， 当 且 仅 当xx 3303 ，即 5x 时， y 取得最大值 75 10 分 所以当熊猫居室的宽为 5 米时，它的面积最大，最大值为 75 平方米 12 分 18理：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为 )0,0,1(A 、 )0,0,0(D 、 )0,2,0(C 、)1,0,1(A 、 )1,2,1(B 、 )1,0,0(D 2 分 设平面 ACB 的法向量为 ),( wvun ，则 ABn ， CBn 因为 )1,2,0( A
12、B ， )1,0,1( CB ， 3 分 0 ABn ， 0 CBn ， 所以 .0 ,02 wu wv解得 vwvu 2,2 ，取 1v ，得平面 ACB 一个法向量 )2,1,2( n ，且 3n 5 分 （ 1）在平面 ACB 取一点 A ，可得 )1,0,1(DA ，于是顶点 D 到平面 ACB 的距离34nDAnd ，所以顶点 D 到平面 ACB 的距离为34 ， 8 分 （ 2）因为平面 ABC 的一个法向量为 )1,0,0(1 n ，设 n 与 1n 的夹角为 ，则 32cos 11 nn nn， 12 分 结合图形可判断得二面角 BACB 是一个锐角，它的大小为 32arcco
13、s 14 分 文 ：（ 1）圆锥底面积为 9 cm2， 1 分 设圆锥高为 h cm，由体积 hV 931 ， 5 分 由 12V cm3 得 4h cm； 8 分 （ 2）母线长 5l cm， 9 分 设底面周长为 c ，则该圆锥的侧面积 = cl21 ， 12 分 所以该圆锥的侧面积 = 15 cm2 14 分 19 （理）（ 1） 164a ； 3 分 （ 2）当 kn 2 时，（ *Nk ） kkkkkk kkSSa 2222221222 2)12(3412 )2()12(3412 )2( ， 6 分 所以 ， nna 42 （ *Nn ） 8 分 （ 3）与（ 2）同理可求得： )1
14、2(3112 na n， 10 分 设 nn aaaaaaaa 212654321 = nT ， 则 4)12(4543431 32 nn nT ，（用等比数列前 n 项和公式的推导方法）4)12(45434314 1432 nn nT ，相减得 4)12()444(24313 132 nnn nT ，所以 94)14(273249 12 11 nnn nT 14 分 （文）（ 1） 设数列 前 n 项和为 nS ，则 nnnnSn 22 )220( 3 分 （ 2）公比 121q ，所以由无穷等比数列各项的和公式得： A D A B C B C D 数列 nb 各项的和为21121=1 7
15、分 （ 3）设数列 nc 的前 n 项和为 nT ， 当 n 为奇数时， nnn bababT 1321 = 2 )1()41(1(32 221 nn ； 11 分 当 n 为偶数时， nnn abbabT 1321 = 2)41(1(32 22 nn 14 分 即为偶数时当，为奇数时当nnnnTnnn322)21(32,322 )1()21(3222)1( 15 分 20（ 1） cos)( f 即 a 3c o ss in ，又 )4s in (2c o ss in ， 2 分 所 以 232 a ，从而 a 的取值范围是 23,23 5 分 （ 2） 21s in )1(3)1( s i
16、n)()( aagf ，令 x1sin ，则 20 x ，因为1a ，所以 )1(32)1(3 axax ，当且仅当 )1(3 ax 时，等号成立， 8 分 由 2)1(3 a 解得 37a ，所以当 371 a 时，函数 )()( gf 的最小值是2)1(32 aa ； 11 分 下面求当 37a 时，函数 )()( gf 的最小值 当 37a 时， 2)1(3 a ，函数 xaxxh )1(3)( 在 2,0( 上为减函数所以函数)()( gf 的最小值为 2 )1(522 )1(32 aaa 当 37a 时，函数 xaxxh )1(3)( 在 2,0( 上为减函数的证明：任取 20 21
17、 xx ，)1(31)()()( 121212 xxaxxxhxh ， 因 为 40 12 xx ， 4)1(3 a ， 所 以0)1(31 12 xxa ， 0)()( 12 xhxh ，由单调性的定义函数 xaxxh )1(3)( 在 2,0( 上为减函数 于是，当 371 a 时，函数 )()( gf 的最小值是 2)1(32 aa ；当 37a 时，函数 )()( gf 的最小值 2 )1(5 a 15 分 21（ 1）由 .4 ,082 xyyx 解得 )8,16( A ；由 .4 ,02 xyyx 解得 )0,0(B 由点斜式写出 两条直线 21 ll、 的方程， 0:;08: 2
18、1 yxlyxl ， 所以直线 AB 的斜率为 21 4分 （ 2） 推广的评分要求分三层 一层 :点 P 到一般或斜率到一般 ,或抛物线到一般（ 3 分，问题 1 分、解答 2 分 ） 例： 1已知 BA、 是抛物线 xy 42 上的相异两点 设过点 A 且斜率为 1 的直线 1l ， 与过点 B 且斜率为 1 的直线 2l 相交于抛物线 xy 42 上的一定点 P ),4(2 tt ，求直线 AB 的斜率； 2已知 BA、 是抛物线 xy 42 上的相异两点 设过点 A 且斜率为 k 1 的直线 1l ， 与 过点B 且斜率为 k 的直线 2l 相交于抛物线 xy 42 上的一点 P（ 4
19、， 4），求直线 AB 的斜率； 3已知 BA、 是抛物线 )0(22 ppxy 上的相异两点 设过点 A 且斜率为 1 的直线 1l ，与 过点 B 且斜率为 1 的直线 2l 相交于抛物线 )0(22 ppxy 上的一定点 P ),2(2 tpt，求直线 AB 的斜率； AB 的斜率的值 二层 :两个一般或推广到其它曲线（ 4 分，问题与解答各占 2 分） 例： 4已知点 是抛物线 xy 42 上的定点过点 P 作斜率分别为 k 、 k 的两条直线21 ll、 ，分别交抛物线于 A、 B 两点，试计算直线 AB 的斜率 三层 :满分 （对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法） （
20、 7 分，问题 3 分、解答 4 分） 例如： 5.已知抛物线 pxy 22 上有一定点 P，过点 P 作斜率分别为 k 、 k 的两条直线 21 ll、 ，分别交抛物线于 A、 B 两点，试计算直线 AB 的斜率 过点 P （ 00,yx ）， 斜 率 互 为 相 反 数 的 直 线 可 设 为 00 )( yxxky ，00 )( yxxky ，其中 020 2pxy 。 由 pxy yxxky 2 )(2 00得 022 2002 kypypyky ，所以 )2,2 )2( 020ykppykpA 同理，把上式中 k 换成 k 得 )2,2 )2( 020ykpp ykpB ，所以 当
21、P 为原点时直线 AB 的斜率不存在，当 P 不为原点时直线 AB 的斜率为0yp 。 （ 3）（理）点 )0( 0，xQ ，设 ),(),( 2211 yxByxA ，则 )2,1(42 ixy ii 设线段 AB 的中点是 ),( mm yxM ，斜率为 k ，则1212 xx yyk =myyy2421 12 分 所以线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 )(2mmm xxyyy ， 又点 )05(，Q 在直线 l 上 ， 所 以 )5(2mmm xyy ，而 0my ，于是3mx 13 分 (斜率 ，MQ，ABxyk mmMQ 50 mmm yxy 52 ，则 3mx -13分 ) 线段 AB 所在直线的方程为 )3(2 xyyy mm， 14 分 代入 xy 42 ，整理得 03612244 242 mm yyxx 15 分 621 xx ， 4 3612 2421 mm yyxx 。设 AB 线段长为 l ，则 4) (41()(1( 21221222122 xxxxyxxkl m = 488)12)(4( 2422 mmmm yyyy 16 分 因为 1240 2 mm xy ，所以 ），（），（ 320032 my 18 分 即： 488 24 mm yyl （ 3232 my ）
