1、 本资料来源于七彩教育网http:/ 题 号 一 二 三 总 分 1-10 11-13 14 15 16 17 18 得 分 09 年高考理科数学模拟考试试卷 数学（理科） （考试时间： 120 分钟 满分： 150 分） 一 填空题 (本大题满分 50 分）本大题共有 10 题，只要求直接填写结果， 每题填对得 5 分，否则一律得零分 . 1函数 xy 5.0log 的定义域为 _. 2若 21cot ，则 tan2 的值为 3增广矩阵为 851231 的线性方程组的解用向量的坐标形式可表示为 4 若 9)12( x 展开式的 第 9 项的值为 12，则 )(lim 2 nn xxx = 5
2、 已知向量 a 和 b 的夹角为 120 ， 2| a ，且 aba )2( ，则 |b _ 6在极坐标系中，定点 A )2,3( ，点 B 在曲线 cos2 上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的极坐标是 7设圆 C 与双曲线 2219 16xy的渐近线相切，且 圆心在 双曲线 的右焦点，则圆 C 的标准方程为 . 8方程 1|2sin| xx 的实数解的个数为 9如图 1 是一个跨度和高都为 2 米的半椭圆形拱门，则能通过该拱门 的正方形玻璃板（厚度不计）的面积范围用开区间表示是 _ 图 1 10设 Rba , ，且 bababa 22 ，则 a 的取值范围为 二选择题（本大题满分 15
3、 分）本大题共有 3 题，每题都给出代号为 A、 B、 C、 D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 5 分，不选、得分 评卷人 得分 评卷人 MABDCO选错 一律得零分 11已知复数 1zi ，则 122z zz （ ） A 2i B 2i C 2 D 2 12过 点 )2,1( A ，且与向量 (4, 3)m平行的直线的 方程是 ( ) A 01034 yx B 01034 yx C 0543 yx D 0543 yx 13在 ABC 中，设 a 、 b 、 c 分别是 A 、 B 、 C 所对的边长，且满足条件 abc 2,2 ，则
4、 ABC 面积的最大值为 ( ) A 1 B 23 C 34 D 2 三解答题 (本大题满分 85 分 )本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤 . 14（本小题满分 14 分） 如图 2，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， OA ABCD 底 面 ， 2OA ， M 为 OA的中点 （ ）求异面直线 OC 与 MD 所成角的大小； （ ）求点 M 到平面 OCD的距离 15（本小题满分 15 分） 一种填数字彩票 2 元一张，购买者在卡上依次填上 09 中的两个数字（允许重复）中奖规则如下： 如果购买者所填的两个数字依次与开奖的两个有序数字分别对
5、应相等，则中一等奖 10元； 如果购买者所填的两个数字中，只有第二个数字与开奖 的第二个数字相等，则中二等奖2 元； 其他情况均无奖金 （ ）小明和小辉在没有商量的情况下各买一张这种彩票，求他俩都中一等奖的概率； （ ）设“购买一张这种彩票中一等奖”为事件 A，“购买一张这种彩票中二等奖”为事件B，请指出事件 BA 的含义，并求事件 BA 发生的概率； （ ）设购买一张这种彩票的收益为随机变量 ，求 的数学期望 得分 评卷人 得 分 评卷人 16（ 本小题 满分 16 分） 设xxaxf 21 2)( ，其中实常数 1a （ ）求函数 )(xf 的定义域和值域； （ ） 试研究函数 )(xf
6、的基本性质，并证明你的结论 17（本小题满分 20 分） 将数列 na 中的所有项按第一行排 3 项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 记表中的第一列数 1a ， 4a ， 8a ， ，构成数列 nb （ ）设 mab8 ，求 m 的值； （ ）若 11b ，对于任何 Nn ，都有 0nb ，且 0)1( 122 1 nnnn bbnbbn 求数列 nb 的通项公式； （） 对于（ ）中的数列 nb ，若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为)0( qq 的等比数列，且 5266a ，求上表中第 k
7、 （ Nk ）行所有 项的和 )(kS 18（本小题满分 20 分） 和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹一般来说，在空间直角坐标系 xyzO 中，空间曲面的方程是一个三元方程 0),( zyxF （）在直角坐标系 xyzO 中，求到定点 )1,2,0(0 M 的距离为 3 的动点 P 的轨迹（球面）方程； （）如图 3，设空间有一定点 F 到一定平面 的距离为常数 0p ，即 pFM| ，定义得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 曲面 C 为到定点 F 与到定平面 的距离相等（ | PNPF ）的动点 P 的轨迹，试建立适当的空间直角坐标系 xy
8、zO ，求曲面 C 的方程； （）请类比平面解析几何中对二次曲线的研究，讨论曲面 C 的几何性质并在图 4 中通过画出曲面 C 与各坐标平面的交线（如果存在）或与坐标平面平行的平面的交线（如果必要）表示曲面 C 的大致图形画交线时，请用虚线表示被曲面 C 自身遮挡部分 图 3 闸北区 09 届高三数学（理）学科模拟考试 参考答案与评分标准 一 填空题： 1 1,0( ； 2 43 ； 3 )1,3( 4 2； 5 8 ； 6. )3,1( ； 7 16)5( 22 yx ； 8 3； 9 )316,0( ； 10 4,0 二选择题： 11 B ； 12 C； 13 C 三解答题： 14 解 （
9、 ） 方法一（综合法） 设线段 AC 的中点为 E ，连接 ME ， 则 EMD 为异面直线 OC 与 MD 所成的角（或其补角 ） .1分 由已知，可得 5,3,2 MDEMDE ， 222 )5()3()2( DEM 为直角三角形 .1分 32ta n EMDEE M D， .4分 3 23a rc ta n E M D 所以， 异面直线 OC 与 MD 所成角的大小 323arctan .1分 方法二 (向量法 ) 以 AB,AD,AO 所在直线为 ,xyz 轴建立坐标系， 则 )0,2,0(),1,0,0(),0,2,2(),2,0,0( DMCO , 2分 )2,2,2( OC ，)
10、1,2,0( MD ， .1分 设 异面直线 OC 与 MD 所成角为 ， 515| |c o s MDOC MDOC . 2分 OC 与 MD 所成角的大小为 515arccos 1分 （ ） 方法一（综合法） 作 ODMF 于 F ， 1分 CDOA 且 CDAD ， CD 平面 ADO MFCD MF 平面 OCD 4分 所以，点 M 到平面 OCD的距离 22ME 2分 方法二 (向量法 ) 设平面 OCD的一个法向量 ),( zyxn ， 0220200zyxnDOnDC 2分 yzx ,0 )1,1,0(n .2分 设 M 到平面 OCD的距离为 h 则22| 1 DMnnh 3
11、分 15 解 （ ） 设“小明中一等奖”为事件 1B ，“小辉中一等奖”为事件 2B ，事件 1B 与事件 2B 相互独立， 1B 2B 他们俩都中一等奖，则 0 0 0 1.001.001.0)()()( 2121 BPBPBBP 所以，购买两张这种彩票都中一等奖的概率为 0001.0 .4分 （ ）事件 BA 的含义是“买这种彩票中奖”，或“买这种彩票中一等奖或中二等奖” 1分 显然，事件 A 与事件 B 互斥 ， 所以， 1.0101109101101)()()( BPAPBAP .3分 故购买一张这种彩票能中奖的概率为 1.0 .1分 （ ）对应不中奖、中二等奖、中一等奖， 的分布列如
12、下： 2 0 8 P 9.0 09.0 01.0 .3 分 72.101.0809.009.02 E 购 买 一 张 这 种 彩 票 的 期 望 收 益 为 损 失 72.1元 .3 分 16 解 （ ）由于 021 x 恒成立，所以 函数 )(xf 的定义域为 R .2 分 12 1121 221)( xxx axf ， （ 1）当 1a 时，函数 1)( xf ，函数 )(xf 的值域为 1 1 分 （ 2）当 1a 时，因为 02x ，所以 112 x ， 112 10 aax ，从而 axf )(1 ， .3 分 所以函数 )(xf 的值域为 ),1( a .1 分 （ ） 假设函数
13、)(xf 是奇函数，则，对于任意的 Rx ，有 )()( xfxf 成立， 即 10)12)(1(21 221 2 aaaa xxxxx 当 1a 时，函数 )(xf 是奇函数 .2 分 当 1a 时，函数 1)( xf 是偶函数 .2 分 当 1a ，且 1a 时，函数 )(xf 是非奇非偶函数 .1 分 对于任意的 Rxx 21, ，且 21 xx ， )( 1xf )( 2xf 0)21)(21( )12(2)1(21121 xxxxxa .3 分 所以，当 1a 时， 函数 )(xf 是常函数 .1 分 当 1a 时，函数 )(xf 是递减函数 .1 分 17 解 （ ）由题意， 43
14、19876543 m 6 分 （ ）解法 1：由 11b 且 0)1( 122 1 nnnn bbnbbn 知 012 222 bb ， 02b ， 212 b 012 323 bb ， 03b ， 213 b 因此，可猜测 nbn 1（ Nn ） 4分 将 nbn 1， 111 nbn代入原式左端得 左端 11n n1 0)1( 1 nn即原式成立，故 nbn 1为数列的通项 .3分 用数学归纳法证明得 3 分 解法 2：由 0)1( 122 1 nnnn bbnbbn ， 0nb 令nnaat 1 得 0t ，且 0)1( 2 nttn 即 0)1)(1( ntnt ， .4分 所以11
15、nnbbnn因此2112 bb，3223 bb，nnbbnn 11 将各式相乘得nb13 分 （） 设上表中每行的公比都为 q ，且 0q 因为 6311543 ， 所以表中第 1 行至第 9 行共含有数列 nb 的前 63 项，故 66a 在表中第 10 行第三列， 2分 因此 5221066 qba又 10110b，所以 2q .3分 则)12(11 )1()( 22 kkk kqqbkS Nk 2 分 18 解 （ ）动点 P 的轨迹是以 0M 为原点，以 3 为半径的球面 1分 并设动点 P 的坐标为 ),( zyx ，动点 P 满足 3| 0 PM 则 球 面 的 方 程 为9)1(
16、)2( 222 zyx 4 分 （）设动点 ),( zyxP ，则 | PNPF 所以p 5分 整理得曲面 C 的方程： pzyx 222 （ *） 2分 若坐标系原点建在平面 上的点 M 处，可得曲面 C 的方程： )2(222 pzpyx 同样得分 （）（ 1）对称性：由于 ),( zyxP 点关于 xOz 平面的对称点 ),( zyx 、关于 yOz 平面的对称点 ),( zyx 均 满 足 方程 （ * ）， 所 以 曲 面 C 关于 xOz 平面 与 yOz 平面对称 2 分 又由于 ),( zyxP 点关于轴的对称点 ),( zyx 满足方程（ *），所以曲面 C 关于轴对称 （ 2）范围：由于 022 yx ，所以， 0z ，即曲面 C 在 xOy 平面上方 2分 （ 3）顶点：令 0z ，得 0 yx ，即坐标原点在曲面 C 上， O 点是曲面 C 的顶点 2分 2 分
