1、 结 束 开始 S=0， i=0 S=S+2i i=i+1 否 是 输出 S 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09年高考 理科数学 模拟考试 卷 数 学 试 卷（理科） 本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分 .共 150 分 .考试用时 120 分钟 . 题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 21 选做题 得分 第 卷 (选择题 共 60分 ) 参考公式 : 样本数据 1x ， 2x ， ， nx 的标准差 锥体体积公式 2 2 2121 ( ) ( ) ( ) ns x x x x x xn 13V Sh 其中 x 为样本平均数 其中 S 为底面面积， h
2、为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V Sh 24SR ， 343VR 其中 S 为底面面积， h 为高 其中 R 为球的半径 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一个是符合题目要求的 . 1已知全集 UR ， | 2 1A x x ， | 2 1B x x ， | 2C x x 或 1x ，2 | 2 0D x x x ，则下列结论正确的是（ ） A ABR B BCR C CAR D ADR 2已知 i是虚数单位， m 和 n 都是实数，且有 1i1im n ，则复数 imn 的倒数是（ ） A 21i55 B 21i55 C
3、12i55 D 12i55 3已知命题 p ： 1a 且 0a ，命题 q ：一元二次方程 2 2 1 0ax x （ 0a ）至少有一个负的实数根，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4右图给出的是计算 191 2 4 2 的值的 一个程序框图，则其中空白的判断框内，应填入 下列四个选项中的（ ） A i 19 B i 20 C i 19 D i 20 5在等差数列 na 中， 1 0a ， 10 11 0aa， 若此数列的前 10 项和 10 36S ，前 18项和 18 12S ，则数列 |na 的前 18项和 18T 的
4、 值是（ ） A 24 B 48 C 60 D 84 6曲线 ( ) s i n 3 c o s ( 0 , )f x x x x R 上的一个最大值点为 P ，一个最小值点为 Q ，则 P 、 Q 两点间的距离 |PQ 的最小值是（ ） A 22 B 2 C 2 D 22 7设 O为 ABC的外心， OD BC 于 D ，且 | | 3AB ， | | 1AC ，则 ()AD AB AC的值是（ ） A 1 B 2 C 2 D 3 8科研室的老师为了研究某班学生数学成绩 x 与英语成绩 y 的相关性，对该班全体学生的某次期末检测的数学成绩和英语成绩进行统计分析，利用相关系数公式 12211(
5、 ) ( )( ) ( )niiinniiiix x y yrx x y y计算得 0.001r ，并且计算得到线性回归方程为 y bx a，其中 121( )( )()niiiniix x y ybxx， a y bx 由此得该班全体学生的数学成绩 x与英语成绩 y 相关性的下列结论正确的是（ ） A相关性较强且正相关 B相关性较弱且正相关 C相关性较强且负相关 D相关性较弱且负相关 9 过双曲线 221xymn（ 0m ， 0n ）上的点 P（ 5 ， 3 ）作圆 22x y m 的切线，切点为 A、 B，若 0PA PB，则该双曲线的离心率的值是（ ） A 4 B 3 C 2 D 3 1
6、0甲、乙两人因工作需要每天都要上网查找资料，已知他们每天上网的时间都不超过 2小时，则在某一天内，甲上网的 时间不足乙上网时间的一半的概率是（ ） A 12 B 13 C 14 D 23 11设 m 、 n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面， 给出 下列四个命题： 若 mn ， m ， n ，则 /n ； 若 /m , ，则 m ； 若 m ， ，则 /m 或 m ； 若 mn ， m ， n ，则 则其中正确命题的个数为 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3 12已知函数 2( ) lnf x x m x x 是单调递增函数，则 m 的取值范围是（ ） A 22m B 22m C
7、22m D 22m 第卷 （非选择题 共 90分） 本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22题 第 24题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题 共 4小题， 每小题 5分，共 20 分 .把答案直接填在题中的横线上 . 13已知函数 ()fx满足 1( 1) lgfxx ，则不等式 ( ) 0fx 的解集是 14如图 ， 是一个长方体 ABCD A1B1C1D1截 去 “ 一个角 ” 后的多面体的三视图，在这个多 面体中， AB=3， BC=4， CC1=2则这个多 面体的体积为 15 如果3 21(3 )nx x 的展开式中各项
8、系数之和为 128，则展开式中 31x 的系数是 16已知顶点在坐标原点的抛物线 C 的准线 方程为 14x ，直线 l ： 2yx ，则由抛物线 C 及直线 l 所围成的平面图形的面积是 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17 （本小题满分 12分） 已知各项为正数的数列 na 满足 2 2 2 2 31 2 3 1 ( 4 )3na a a a n n ，（ n N*） （） 求数列 na 的前 n 项和 nS ； （） 记数列 nna 的前 n 项和为 nT ，试用数学归纳法证明对任意 n N*，都有 nnT nS 左视图 主视图
9、俯视图 D1 A1 B C1 A1 B C C 1 A1 A B C1 18 （本小题满分 12分） 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ACB=90 ， CB=1， CA= 3 , AA1=3， M 为侧棱 CC1上一点 ， 1AM BA （） 求证 ： AM平面 1ABC ； （）求 平 面 ABM与平面 AB1C1所夹锐角的余弦值 19 （本小题满分 12分） 国际标准游泳池长 50m ，宽至少 21m ，深 1.80m 以上 ， 设 8 条泳道，每条泳道宽2.50m ，分道线由直径 5 10cm 的单个浮标连接而成 某位游泳教练员指导甲、乙两名游泳运动员在这样国际标准的游泳池
10、内同时进行游泳训练，甲、乙两名运动员可以随机的选择不同 的泳道进行训练 （）求 甲、乙两名运动员选择的泳道相隔数的分布列和期望； （）若教练员为避免 甲、乙两人训练的相互干扰，要求两人相隔的泳道数不少于 2，为了同时计时的方便，又要求两人相隔的泳道数不能超过 4，求甲、乙两名运动员随机的选择不同的泳道训练恰好符合教练员的要求的概率 20 （本小题满分 12分） 设椭圆 M ： )0(12222 babyax 的离心率为 22 ，点 A （ a ， 0）， B （ 0， b ），原点 O 到直线 AB 的距离为 233 （）求 椭圆 M 的方程； （）设直线 l ： 2y x m与 椭圆 M 相
11、交于 C 、 D 不同两点，经过线段 CD 上点 E的直线与 y 轴相交于点 P ，且有 0PE CD， | | | |PC PD ，试求 PCD 面积 S 的最大值 A B C A1 B1 C1 M 21 （本小题满分 12分） 已知函数 2( ) ( 1)e xf x x a x ，（ a 为常数， e 为自然对数的底） （）求函数 ()fx的单调区间； （ ）若 0a ，且经过点 P （ 0， t ）（ 1t ）有且只有一条直线与曲线 ()fx相切，求 t 的取值范围 考生注意：请在第 22、 23、 24 题中任选一题做答，如果多做，则在所做的题中，按题号顺序的第一题记分 做答时，用
12、2B铅笔把所选题目对应的题号涂黑 22 （本小题满分 10分） 选修 4 1：几何证明选讲 如图， O是以 AB 为直径的 ABC的外接圆，点 D 是劣弧 BC 的中点，连结 AD 并延长，与过 C 点的切线交于 P ， OD 与 BC 相交于点 E （） 求证： 12OE AC ； （） 求证： 22PD BDPA AC E D C O A B P 23 （本小题满分 10分 ） 选修 4 4：坐标系与参数方程 在 平面直角坐标系 xoy 中，曲线 1C 的参数方程为 4cos4sinxy （ 为参数，且02 ），点 M 是曲线 1C 上的动点 （）求线段 OM 的中点 P 的轨迹的直角坐标
13、方程； （）以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线 l 的极坐标方程为 c o s s in 1 0 （ 0 ），求点 P 到直线 l 距离的最大值 24 （本小题满分 10分） 选修 4 5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 3 | 2f x x ， ( ) | 1 | 4g x x （） 若函数 ()fx的值不大于 1，求 x 的取值范围； （）若不等式 ( ) ( ) 1f x g x m 的解集为 R，求 m 的取值范围 2009年模拟考试数学参考答案与评分标准 （理科） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
14、10 11 12 答案 C B A B C D A D C C D B 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13、（ 1， 2）； 14、 20； 15、 21； 16、 92 三、解答题 17、解： （）当 1n 时，有 221 1 (4 1 1) 13a ，又 0na ，所以 1 1a 1分 当 2n 时， 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1( ) ( )n n na a a a a a a a a = 3 3 3 31 1 4 1( 4 ) 4 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 3 3 3 3n n n n n n 2 2 2 2 241( 2 1 )
15、 4 4 1 ( 2 1 )33n n n n n n n n 所以 21nan，且当 1n 时， 1 2 1 1 1a 3分 又 1 ( 2 1 ) 2 ( 1 ) 1 2nna a n n ，因此 数列 na 是以 1为首项 且公差为 2的等差数列，所以 21 ( 1 ) 22nS n n n n 2分 （ ）证明：（ 1）当 1n 时， 1 1 1 1T ， 11 1 1 1S ，关系成立 1分 （ 2）假设当 nk 时，关系成立，即 kkT kS ，则 321 1 2 ka k a k 1分 那么 31 2 11 1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 1 )k k kT a k a
16、k a k k k 3 2 3 2 32 3 1 3 3 1 ( 1 )k k k k k k k ，即当 1nk时关系也成立 3分 根据（ 1）和（ 2）知，关系式 nnT nS 对任意 n N*都成立 1分 18、 解：（） 如图 ， 以 C 为原点 ， CA， CB， CC1所在直线分别为 x 轴 ， y 轴 ， z 轴建立空间直角坐标系，则 ( 3,0,0)A ， (0,1,0)B ， 1( 3,0,3)A ， 1(0,1,3)B ， 1(0,0,3)C ， (0,1,0)CB 1分 设 (0,0, )Mt，则 ( 3, 0, )AM t ， 0AM CB， 即 AM BC，又因为 1
17、AM BA ，且 1BC BA B ， 所以 AM平面 1ABC 3 分 A1 B1 M x z C B A C1 y （） 1 ( 3, 1,3)BA ，因为 1AM BA ，所以 1 3 3 0A M B A t ，得 1t ， 即 (0,0,1)M ，可得平面 ABM 的一个法向量为 1n =(1, 3, 3) 3分 11( 3 , 1 , 3 ) , ( 3 , 0 , 3 )A B A C ，设平面 11ABC 的一个法向量为 2 ( , , )x y zn ， 则 210ABn 且 210ACn ，得 0y ， 3xz ，令 1z ，得平面 11ABC 的一个法向量为 2n =(
18、3,0,1) 3 分设平 面 ABM与平面 AB1C1所夹锐角为 ， 则 1212| 2 3 2 1c o s | | | 727 nnnn 2分 19、 解： （） 随机变量甲、乙两名运动员选择的泳道相隔数 X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 6 p 728 628 528 428 328 228 128 6分 泳道相隔数 X的期望为： E（ X） = 7 6 5 4 3 2 10 1 2 3 4 5 6 22 8 2 8 2 8 2 8 2 8 2 8 2 8 2分 （） 5 4 3 1 2 3( 2 4 ) 2 8 2 8 2 8 2 8 7PX 4分 20、 解：（）由 2 2
19、 2 222 2 2 11 2c a b be a a a 得 2ab 2 分 可得直线 AB 的方程为 2 2 0x y b ，于是 | 2 | 2 333b ， 得 2b ， 2 2b ， 2 4a ，所以 椭圆 M 的方程为 22142xy 2 分 （）设 1 1 2 2( , ) , ( , )C x y D x y，由方程组 222142y x mxy 得 229 8 2 4 0x m x m ， 所以有12 89mxx ， 212 249mxx ，且 0 ，即 2 18m 2 分 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 1 2| | ( ) ( ) 5 ( ) 5 ( ) 4
20、C D x x y y x x x x x x 22 26 4 2 4 2 1 05 4 1 88 1 9 9mm m 2 分 因为 0PE CD，所以 PE CD ，又 | | | |PC PD ，所以 E 是线段 CD 的中点， 点 E 的坐标为 1 2 1 2( , )22x x y y，即 E 的坐标是 4( , )99mm ，因此 直线 PE 的方程为 14()2 9 9mmyx ，得点 P 的坐标为（ 0， 9m ）， 所以 224 2 5 | | | ( 0 ) ( ) 9 9 9 9m m m mPE 2 分 因此 2 2 41 1 2 1 0 2 5 | | 1 0 2| |
21、 | 1 8 1 82 2 9 9 8 1mS C D P E m m m 所以当 2 9m ，即 3m 时， S 取得最大值，最大值为max 10 29S 2 分 21、 解：（ ） 2( ) ( 2 ) e ( 1 ) exxf x x a x a x 2e ( ) 1 x x a a e ( 1)( 1 )x x x a 2分 若 0a ，则 2( ) e ( 1) 0xf x x ， ()fx为 R 上的单调递增函数； 若 0a ， ( ) 0fx 的解为 1x 或 1xa， ( ) 0fx 的解为 11xa ， 此时 ()fx在区间 ( , 1), ( 1, )a 单调递增，在区间
22、( 1, 1)a单调递减； 若 0a ， ( ) 0fx 的解为 1xa或 1x ， ( ) 0fx 的解为 11ax ， 此时 ()fx在区间 ( , 1), ( 1, )a 单调递增，在区间 ( 1, 1)a 单调递减 3分 （ ） 当 0a 时， 2( ) ( 1)e xf x x， 2( ) e ( 1)xf x x ， 因为 (0) 1f ，所以点 P （ 0， t ）不在曲线 ()fx上，设过点 P 的直线与曲线 ()fx相切于点 ( , )Amn ，则切线方程为 2( 1)my e m x t ，所以有 2( 1)mn e m m t 及 2( 1)mn e m，得 32e (
23、1)mt m m m 2分 令 32( ) e ( 1 )xg x x x x ， 则 3 2 2( ) e ( 1 ) e ( 3 2 1 ) ( 1 ) ( 3 ) ex x xg x x x x x x x x x ， 令 ( ) 0gx ，得 1 3x ， 2 1x ， 3 0x ，可得 ()gx 在区间 ( , 3),( 1,0) 单调递增，在区间 ( 3, 1),(0, ) 单调递减，所以 ()gx 在 3x 时取极大值322( 3) eg ， 在 1x 时取极小值 2( 1) eg ，在 0x 时取极大值 (0) 1g ，又3221e ， 所以322( 3) eg 是 ()gx
24、的最大 值 3分 y x o 322e如图， 过点 P （ 0， t ）有且只有一条直线与曲线 ()fx 相切等价于直线 yt 与曲线 32( ) e ( 1 )xg x x x x 有且只有一个交点，又当 3x 时， ( ) 0gx ，所以322et或 0t 2 分 22、 （）证明： 因为 AB为 O直径， 所以 ACB 90，即 AC BC， 因为 D是弧 BC 的中点，由垂径定理 得 OD BC，因此 OD AC 3分 又因为点 O为 AB 的中点，所以点 E为 BC的中点，所以 OE 21 AC 2分 （）证明： 连结 CD，因为 PC 是 O 的切线，所以 PCD CAP，又 P
25、是公共角，所以 PCD PAC得 PCPA PDPC ACCD ，得 22PD CDPA AC 3分 因为 D是弧 BC 的中点，所以 CD BD ，因此 22PD BDPA AC 2分 23、解： （）曲线 1C 上的动点 M 的坐标为（ 4cos ， 4sin ），坐标原点 O （ 0， 0）， 设 P 的坐标为（ x ， y ），则由中点坐标公式得 1 (0 4 c o s ) 2 c o s2x ，1 (0 4 s in ) 2 s in2y ，所以点 P 的坐标为（ 2cos ， 2sin ） 3分 因此 点 P 的轨迹的参数方程为 2cos2sinxy （ 为参数，且 02 ）， 消去参数 得点 P 轨迹的 直角坐标方程为 224xy 2分 （）由直角坐标与极坐标关系 cossinxy 得直线 l 的直角坐标方程为 10xy 2分 又由 （） 知点 P 的轨迹 为圆心在原点半径为 2的圆， 因为原点（ 0， 0）到直线 10xy 的距离为22| 0 0 1 | 1 2221 ( 1) 所以点 P 到直线 l 距离的最大值 22 2 3分 24、解： （）由题意得 ( ) 1fx ，即 | 3| 2 1x 得 | 3| 3x 2分 E D C O A B P
