1、 HBEFDCBA高二数学下学期 期末 考试卷 高二数学试卷 （实） 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、 选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 在复平面内，复数i3 i31 对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 设集合 A= 1, 0, 1，集合 B=0, 1, 2, 3，定义 A B=(x, y)| x A B, y A B，则 A B中元素个数是（ ） A.7 B.10 C.25 D.52 3、31lim ,1 ax xa bbx 则=（ ） A、 13 B、 3 C
2、、 1 D、 3 4、 函数 ( 2)y f x的图像过点（ -1， 3），则函数 ()fx的图像关于 y 轴 对称的图形一定过点（ ） A (1,-3) B (-1,3) C (-3,-3) D (-3,3) 5、 已知 ),42(3)( 为常数bxxf bx 的图象过点 (2,1)，则函数 )()()( 2121 xfxfxF 的值域为（ ） A 10,2 B ,1 C 5,2 D 13,2 6 在股票买卖过程中，经常用到两 种曲线：一种是即时价格曲线 )(xfy （实线表示），另一种是平均价格曲线 )(xgy （虚线表示）（如 10)3( f 是指开始买卖后三小时的即时价格为 10 元；
3、 10)3( g表示三个小时内的平均价格为 10 元）。下列给出的四个图像中，可能正确的是 （ ） A B C D 7 设方程 xx lg2 的两个根为 21,xx ，则 （ ） A 021 xx B 121 xx C 121 xx D 10 21 xx 8 有一矩形纸片 ABCD，按图所示方法进行任意折叠，使每次折叠后点 B 都落在边 AD 上，将 B 的落点 记为 B ，其中 EF 为折痕，点 F 也可落在边 CD 上，过 B作 B H CD 交 EF 于点 H，则点 H 的轨迹为（ ） A 四分之一 圆 B 四分之一 椭圆 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分 9 已知实数 x满足 |x|
4、1， n是大于 1的整数，记 (1 ) (1 )nna x x ，则（ ） A、 2na B、 2na C、 2na D、 2na与 的大小不定 10 已知 f ( x )是定义在实数集 R 上的不恒为零的函数，且对于任意 a、 b R，满足 f (ab) af ( b ) bf ( a )，f ( 2 ) 2，记 an f (2n)n ， bnf (2n)2n ，其中 n N*，考查下列结论： f ( o ) f ( 1 ) f ( x )是 R 上的偶函数 数列 an为等比数列 数列 bn等差数列，其中真命题的个数为（ ） A个 B个 C个 个 11 有编号分别为 1， 2， 3， 4，
5、5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中取出 4 个， 则取出的球的编号互不相同的概率为 ( ) A. 521 . B. 27 . C. 13 D. 821 12、 已知方程 2 ( 2 3 ) 1 0x m x m n 的两实根 12,xx满足 101x, 2 1x ,则 mn ( ) A.有最大值但无最小值 B. 有最小 值但无最大值 C. 既有最大值也有最小值 D. 既无最大值也无最小值 第 II 卷（选择题 共 90 分） 二、 填空题 (本大题 4个小题 ,每小题 4分 ,共 16分 ,把答案填在题中横线上 ) 13 已知 032:;4: xxxqaxxAp ，且非 p 是非 q 的充
6、分条件，则 a 的取值范围为 _ . 14 值域为 2,5,10，其对应关系为 2 1yx的函数的个数 _ . 15 已知 ,1, abba 则 ba ba 22 的最小值 是 _ . 16 给出下列四个命题 已知 函数 1 ( )()0 ( )xfx x 为 有 理 数为 无 理 数， 则 f(x)为偶函数 函数 21 1, 0y x x 与函数 1 1 , 1y x x 互为反函数 函数 2() xf x e x 在 2x 处取得极大值 1 0 00 .0 2 50 .0 1 50 .0 10 .0 0 5908070605040分数频率组距 已知函数 )(xfy 的图象在 M（ 1， f
7、（ 1）处的切线方程是 xy21+2，则 )1()1( ff 3. 其中 真 命题的 代 号是 ： _（写出所有真命题的代号） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分，解答写出必要的文字说明，注明过程及演算步骤） 17 (本 小 题满分 12分 ) 已知关于 x 的不等式 axxax 122 的解集为 A ，且 )1,(A ，求实数 a 的取值范围 18 (本 小 题满分 12分 ) 某校 从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生 ，将其成绩（均为整数） 分成六段 50,40 ， 60,50 100,90 后画出 如下部分 频率分 布直方图 .观察图形 的信息 ，回答下列问题：
8、（ ） 求 第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； ( )估计这次考试的及格率（ 60分及以上为及格）和 平均分 ； ( ) 从成绩是 70分以上（包括 70 分）的学生中选两人， 求他们在同一分数段的概率 . 19 （本小题满分 12分） 有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排 成一组成 . 第一排 明文字符 A B C D 密码字符 11 12 13 14 第二排 明文字符 E F G H 密
9、码字符 21 22 23 24 第三排 明文字符 M N P Q 密码字符 1 2 3 4 设随机变量 表示密码中不同数字的个数 . （）求 P（ =2） （）求随机变量 的分布列和它的数学期望 . 20、（本小题满分 12分） 如图，在四棱锥 ABCDP 中，侧棱 PA底面 ABCD， AD BC， ABC=2， aADPAAB 31 ，52arc c o sADC （ ） 求点 D 到平面 PBC 的距离； （ ） 求二面角 APDC 的大小 21 （本小题满分 12分） (12 分 )设 a 为常数 , )1()1ln ()( xaxxxf . (1)若 ( ) 0fx 对 1, )x
10、恒成立 ,求 a 的取值范围 . (2)求 1)()( xaxxfxg 有极值的条件及相应的极值 . 22 （本小题满分 14分） 已知函数 fn(x)(n N*)具有性质 : fn(0)=21 , n fn( nk 1 )-fn(nk) = fn(nk )-1 fn( nk 1 ),k=(0,1,2, ,n-1). (1)当 n 为一定值时 ,记 ak=)(1nkfn,求 ak的表达式 (k=0,1,2, ,n); (2)对 n N*,证明 :41 fn(1) 31 参考答案 一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
11、1 12 答案 D B A B C C D D A C D A 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13 61 a 14 27 15 22 16 _ 三、解答题 17 解： 由 axxax 122 ，得： 0122 axxax ， 012xax ， 0)1)(2( xax 分2 当 0a 时，原不等式的解集 1| xxA 不是 )1,( 的子集 分3 当 0a 时， a aa 212 ， 分4 （ 1）当 2a 时， 02 aa ，则 12a ，此时，不等式 的解集 )1,(12| xaxA ；分6 （ 2）当 2a 时， 0)1( 2 x ,故 )1,(A ； 分8
12、 （ 3）当 20 a 时， 02 aa ，则 12a ，此时，不等式的解集 21| axxA 不是 )1,(的子集； 分10 （ 4）当 0a 时， 12a ，此时，不等式的解集 12| xaxxA 或 不是 )1,( 的子集综上， ),2 a 分12 18 解： （ ） 因 为 各 组 的 频 率 和 等 于 1, 故 第 四 组 的 频 率 ：4 1 ( 0 . 0 2 5 0 . 0 1 5 2 0 . 0 1 0 . 0 0 5 ) 1 0 0 . 0 3f 2 分 直方图如右所示 .4 分 （）依题意， 60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为 (0 . 0 1 5
13、0 . 0 3 0 . 0 2 5 0 . 0 0 5 ) 1 0 0 . 7 5 所以，抽样学生成绩的合格率是 75 %.6 分 利用组中值估算抽样学生的平均分 1 2 3 4 5 64 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 5f f f f f f .8 分 4 5 0 . 1 5 5 0 . 1 5 6 5 0 . 1 5 7 5 0 . 3 8 5 0 . 2 5 9 5 0 . 0 5 71 估计这次考试的平均分是 71 分 .9 分 （） 70,80) ， 80,90) ， 90,100 ”的人数是 18,15,3。所以从成绩是 70分以上（包括 70分）的学生中选两人，他们在同
14、一分数段的概率。 22218 15 3236CCCP C87210 12 分 19 解：（）密码中不同数字的个数为 2 的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第 1， 2 列分别总是 1， 2，即只能取表格第 1， 2 列中的数字作为密码 . .8142)2(33 P 4 分 （）由题意可知，的取值为 2， 3， 4 三种情形 . 若 = 3，注意表格的第一排总含有数字 1，第二排总含有数字 2 则密码中只可能取数字 1， 2， 3 或1， 2， 4. .32194 )122(2)3(323132 CAP 若 3294)4(,4322232213 AAAAP 则 （或用 )3()2(1 PP
15、 求得） . 8 分 的分布列为： 2 3 4 p 81 3219 329 .321 0 1329432193812 E 12 分 20 解： 解法一 （ （ ）如图，在四棱锥 ABCDP 中， BC AD， 从而点 D 到平面 PBC 间 的距离等于点 A 到平面 PBC 的距离 . ABC=2 ， AB BC， 又 PA底面 ABCD， PA BC， BC平面 PAB， 2 分 平面 PAB平面 PBC，交线为 PB，过 A 作 AE PB，垂足为 E，则 AE平面 PBC， AE 的长等于点 D 到平面 PBC 的距离而 aPAAB ， aAE 22 5 分 即点 D 到平面 PBC 的
16、距离为 a22 6 分 （ ） PA底面 ABCD， 平面 PAD底面 ABCD， 引 CM AD 于 M， MN PD 于 N，则 CM平面 PAD， MN 是 CN 在平面 PAD 上的射影，由三垂线定理可知 CN PD， CNM 是二面角 APDC 的平面角 9 分 依题意52arc c o sADC， aADPAAB 31 ， 213t a n BCa aBCAD ABA DC ， aBC ， 可知 ADDM 32 ， aaa aaPAAD PAADMN 529 33232 2222 ， 21052t a n aaMNCMC M N ，二面角 APDC 的大小为 210arctan 1
17、2 分 解法二：如图 , A 为原点，分别以 AD、 AB、 AP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 . （ ）依题意52arc c o sADC， aADPAAB 31 ， 213t a n BCa aBCAD ABA DC ， aBC . 则 )0,( aaC ， )0,0( aB ， ),0,0( aP ， )0,0,3( aD ， ),0( aaPB ， )0,0,(aBC ， )0,2( aaDC . 设平面 PBC 的一个法向量为 ),( zyxn ，则 .0 ,0ax azayx令 1z ，得 )1,1,0(n ， 则点 D 到平面 PBC 的距离等于 2anDC
18、n a22 6 分 （ ） AB PA， AB AD， AB底面 PDA， 平 面 PDA 的一个法向量为 )0,1,0(1 n . 设平面 PDC 的一个法向量为 ),(2 zyxn ， )0,2( aaDC ， ),0,3( aaPD ， .03 ,02 azax ayax令 1x ，得 )3,2,1(2 n ，714141 2,c o s 21 nn. 二面角 APDC 是锐二面角， 二面角 APDC 的大小为 714arccos 12 分 21 解 .(1)易得 ( ) ln (1 ) 01 xf x x ax ,故原条件化为 ln(1 ) 1 xax x 对 1, )x 恒成立 .
19、令 ( ) ln (1 ) 1 xh x x x , 则211() 1 (1 )hx xx , 当 1, )x 时 显 然 有 ( ) 0hx , 故),1)( 在xh 上单调递增 ,从而 1(1) ln 22ah .故所求 a 的取值范围是 )2ln21,( 6 分 (2)2( 1 ) 2( ) l n ( 1 ) , ( 1 , ) , ( )1 ( 1 )a x x ag x x a x g xxx . 若 1a ,则 ( 1, 2)xa 时 ( ) 0gx ,即 ()gx 在 ( 1, 2a单减 ; ( 2, )xa 时 , ( ) 0gx ,即 ()gx 在 2, )a 单增 ,从而
20、 ()gx 有极小值 ( 2 ) 2 ln ( 1)g a a -2a 若 1a ,则 ( 1, )x 时 ( ) 0gx ,即 ()gx 在其定义域上是增函数 ,从而无极值 . 综上所述 ,当且仅当 1a 时 ()gx 有极小值 2 ln( 1)a. 12 分 22 解： (1)因为 n fn( nk 1 )-fn(nk ) = fn(nk )-1 fn( nk 1 ),所以)(1nkfnn -)1( nkfnn=1, 2 分 即 (n+1)ak-nak+1=1. 3 分 所以111kkaa=1+n1 . 5 分 因为 n 为定值 , 所 以 数 列 ak-1 是以 a0-1 为首项 ,1+
21、 n1 为 公 比 的 等 比 数 列 , 可得ak=1+(1+n1 )k(k=0,1,2, ,n). 6 分 (2)证明 :因为 ak=)(1nkfn,所以 fn(1)=na1 =nn)11(11).要证 41 f(1) 31 ,只需证 2(1+n1 )n3. 8 分 因为 (1+n1 )n=1+C1n n1 +C2n21n+ +Cnnnn1=1+1+ 2. 10 分 又 (1+ n1 )n=1+C1n n1 +C2n21n+ +Cnnnn1=1+1+22 )1(nnn + +nnnnn ! 1)1( 1+1+ !21 + !31 + !1n 1+1+21 +221+ +n21=3-(21 )n3, 所以原命题成立 . 14 分
