1、 高二数学下册 期末考试 卷 命题人：王 生 田京爱 审题人：李晓松 2009-07-09 说明：本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，总分 120 分；考试时间 120分钟 . 注意事项： 1答第 卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用 2B 铅笔涂写在答题卡上 . 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案 . 3将第 卷选择题的答案涂在答题卡上，第 卷每题的答案写在答题纸的指定位置 . 4考试结束，将答题纸和答题卡一并交回， 答案写在试卷上视为无效答案 . 第 卷（选择题 共 48 分） 一、选择题（本题共有 1
2、2 小题，每小题 4 分 , 共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是 x 轴，抛物线过点 ( 5 ， 2 5 )，则抛物线的标准方程是（ ） A y2 2x B y2 2x C y2 4x D y2 6x 2已知曲线 221 2 xy 上一点 P )23,1( ，则曲线在点 P 处的切线的倾斜角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 135 3正方体 1111 DCBAAB C D 中， AD 与 1BC 所成的角 等于 （ ） A 30 B 45 C 60 D 90 4 若方程 123 22 mymx 表示双曲线，则 m
3、 的取值范围是（ ） A m 2 B m 3 C m 2 或 m 3 D 2 m 3 5过点 P(3, 1)且离心率为 2 的双曲线的标准方程为（ ） A 188 22 yx B 13 22 yx C. 122 22 xy D 188 22 xy 6若曲线 3xy 在点 ),( 3aaM （其中 0a ）处的切线与 x 轴以及直线 ax 所围成的三角形的面积为 61 ，则 a 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 abxy )( xfy O7 F 是抛物线 y2 = 2x 的焦点，点 P 是抛物线上任意一点，点 A 的坐标为 (3, 1)，则 |PF|+|PA|的最小值是 （ ） A.
4、 2 B.25 C. 3 D. 27 8直线 )1( xky 与双曲线 14 22 yx 有且只有一个公共点，则 k 的不同取值有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 9已知圆 O ： 422 yx ，从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线，垂足为 P ，点 M 是线段 P 的中点，则点 M 的轨迹方程是（ ） A 14169 22 yx B 14169 22 xy C 1422 yx D 14 22 yx 10函数 )(xf 的定义域为区间 ),( ba ，导函数 )(xf 在 ),( ba 内的图象如图所示，则 )(xf 在),( ba 内的极小值点有（ ） A
5、 1个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 11已知函数 x xaxf lnln)( 在 ,1 上为减函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A. ea 10 B. ea0 C. ea D. ea 12点 ),( yxP 是椭圆 )20(14222 bbyx 上的动点，则 yx 22 的最大值为（ ） A 44 2b B 42b C 4 D 2b 第 卷（非选择题 共 72 分） 二、 填空题（本题共 4 小题 , 每小题 4 分 , 共 16 分） 13函数 13)( 3 xxxf 在区间 3 ， 0上的最小值是 . 14已知长方体 1111 DCBAAB C D 中， 4AB ， 2BC ，
6、 31AA ，则三棱锥 ADCB 1的体积为 . 15设 F1、 F2是双曲 线 14 22 yx 的两个焦点，点 P 在双曲线上， 6021 PFF ，则 F1PF2的面积为 . 16把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当 BD 与平面 ABC 所成的角为 30 时，点 D 到平 面 ABC 的距离为 . 三、解答题（本题共 6 小题 , 共 56 分 , 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17（本小题满分 8 分） 如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 是 BC1的中点求直线 DE 与平面 ABCD 所成角的正弦值 .
7、 18（本小题满分 8 分） 设函数 8332)( 23 bxaxxxf 在 1x 及 2x 时取得极值 （ 1）求 a、 b 的值； （ 2）求 )(xf 的单调区间 . 19 （本小题满分 8 分）已知直线 l 过定点 0,4A ，且与抛物线 2: 2 ( 0 )C y p x p 交于 P 、Q 两点，若以 PQ 为直 径的圆经过原点 O ，求抛物线的方程 . 20 （本小题满分 10 分） 在三棱锥 S ABC 中， ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 , 2 3A B C S A S C， M 、 N 分别为 ,ABSB 的中点 . （ 1）证明： AC SB ； （
8、 2）求二面角 BCMN 的余弦值 . 21 （本小题满分 10 分）已知函数 xxaaxxf ln2)( 在其定义域内为单调函数，求 a 的取值 范围 . 22（本小题满分 12 分）如图 ,AB 为半圆直径， O 为半圆圆心，且 ABOD ， Q 为线段 OD的中点， 4AB ，曲线 C 过点 Q ，动点 P 在曲线 C 上运动，且保持 PBPA 的值不变 . （ 1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程； （ 2）若过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M 、 N ，且点 中间在 NDM , ，设)0( DNDM ，求 的取值范围 . 20082009 学年 东北师
9、大附中 高二数学（文科）试卷 下学期期末考试 命题人：王 生 田京爱 审题人：李晓松 2009-07-09 第 卷（选择题 共 48 分） 一、选择题（本题共有 12 小题，每小题 4 分 , 共 48 分 ） 1 C 2 B 3 B 4 C 5 A 6 A 7 D 8 D 9 C 10 A 11 D 12 A 二、填空题（本题共 4 小题 , 每小题 4 分 , 共 16 分） 13 17 14 4 15 3 16 46 三、解答题（本题共 6 小题 , 共 56 分 , 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17 解法 1： 过 E 作 BCEF 于点 F,连接 DF,则 EDF 即
10、为 直线 DE 与平面 ABCD 所成角 . 因为 E 为 BC1的中点 ,所以 F 为 BC 的中点 . 1EF ， 522 CFDCDF ， 622 EFDFDE ， 61s in DEEFE DF= 66 . 解法 2：以 D 为坐标原点 ,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 zyx , 轴建系 . 则 )1,2,1(),0,0,0( ED ， )1,2,1(DE ，平面 ABCD 的法向量 )1,0,0(n ， 6661,c o s nDE nDEnDE，所以直线 DE 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 66 . 18（本小题满分 8 分） 设函数 8332)( 23 bxaxx
11、xf 在 1x 及 2x 时取得极值 （ 1）求 a、 b 的值； （ 2）求 )(xf 的单调区间 . 解：（ 1） baxxy 366 2 ，由已知 ，得 0)2( 0)1(ff解得 43ba（ 2） )(),( xfxf 随 x 的变化情况如下表： x )1,( )2,1( ),2( )(xf )(xf 增 减 增 所以 )(xf 在 )1,( 上是 增函数，在 )2,1( 上 为减函数，在 ),2( 上 是增函数 . 19 （本小题满分 8 分）已知直线 l 过定点 0,4A ， 且与抛物线 2: 2 ( 0 )C y p x p 交于 P 、Q 两点，若以 PQ 为直径的圆经过原点
12、O ，求抛物线的方程 . 解 ： 可设直线 l 的方程为 4x my代入 2 2y px， 得 2 2 8 0y pm y p 设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y， 则 pyy 821 ， 164 )(22 2221222121 pyypypyxx由题意知， ,OQOP 则 0OQOP ， 即 1 2 1 2 1 6 8 0x x y y p ， 2p , 此时，抛物线的方程为 2 4yx 20 （本小题满分 10 分） 在三棱锥 S ABC 中， ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 , 2 3A B C S A S C， M 、 N 分别为 ,A
13、BSB 的中点 . （ 1）证明： AC SB ； （ 2）求二面角 BCMN 的余弦值 . 解法 1： (1)连接 S 与 AC 的中点 O， 因为 SA=SC，所以 ACSO ， 因为平面 SAC 平面 ABC ， SO 平面 ABC .连接 BO, 则 BO为 SB在平面 ABC 内的 射影 . AOCOBCAB , , ACBO ， SBAC . (2)连接 N 与 BO 的中点 D, 则 ND SO, ND 平面 CMB. 过 D 作 CMDE 于点 E, 连接 NE, 则 NED 即为所求二面角 N -CM -B 的平面角 . BMAMBCAC , , DECMBM , BM. 设
14、 BO与 CM交点为 F, 则 F为 ABCPQA ( 4 ,0 )oyx的重心 . BOBOBODF 612132 , BOCMCF 3232 , CODECFDF , 21DE ， 221 SODN , 2322 DENDNE , 31c o s NEDEN E D . 解法 2: 连接 S 与 AC 的中点 O， 因为 SA=SC，所以 ACSO ， 因为平面 SAC 平面 ABC , SO 平面 ABC . 连接 BO, AOCOBCAB , , ACBO . 如图 ， 以 O 为坐标原点 ,分别以 OA,OB,OS 所在直线为zyx , 轴建系 . 则 )0,0,2(A , )0,0
15、,2(C , )22,0,0(S , )0,32,0(B , )0,3,1(M , )2,3,0(N . (1) )22,32,0(),0,0,4( SBAC , 0SBAC , SBAC . (2) )0,3,3(CM , )2,3,2(CN ，设平面 CMN 的法向量为 ),(1 zyxn ，则0011nCNnCM ,所以平面 CMN 的一个法向量为 )2,32,2(1 n ， 平面 CMB 的一个法向量为 )1,0,0(2 n . 3123 2,c o s 21 2121 nn nnnn. 所以二面角 N -CM -B 平面角的余弦值为 31 . 21 （本小题满分 10 分）已知函数
16、xxaaxxf ln2)( 在其定义域内为单调函数，求 a 的取值 范围 . 解： xxaaxxf ln2)( 的定义域为 (0, ) ，则222 22)( x axaxxxaaxf . 令 axaxxh 2)( 2 （ 0x ） ， 当 0a 时， ( ) 2h x x ，因为 x 0 ，所以 ()hx 0， 22() xfx x 0， ()fx在 (0, ) 内是单调递减函数，即 0a 符 合题意； 当 a 0 时， axaxxh 2)( 2 的图像为开口向上的抛物线，对称轴为 ax 1 ，而 01 a ， axaxxh 2)( 2 在 (0, ) 内有最小值 aa 12 ， 只需 012
17、 aa ，即 1a 时， 02)(22 x axaxxf . ()fx在 (0, ) 内为单调递增函数，故 1a . 当 a 0 时， axaxxh 2)( 2 的图像为开口向下的抛物线，对称轴为 ax 1 ，而 01 a ， axaxxh 2)( 2 在 (0, ) 内单调递减，只要 (0) 0h ，即 0a 时， ( ) 0hx 在 (0, )内恒成立，此时， ()fx在 (0, ) 内是减函数，故 a 0 符合题意 . 综上所述， a 的取值范围是 0a 或 1a . 22（本小题满分 12 分）如图 ,AB 为半圆直径， O 为半圆圆心，且 ABOD ， Q 为线段 OD的中点， 4A
18、B ，曲线 C 过点 Q ，动点 P 在曲线 C 上运动，且保持 PBPA 的值不变 . （ 1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程； （ 2）若过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M 、 N ，且点 中间在 NDM , ，设)0( DNDM ，求 的取值范围 . 解： (1) 以 ODAB， 所在直线分别为 x 轴、 y 轴， O 为原点，建立平面直角坐标系， QBQAPBPA =2 5212 22 4AB . 曲线 C 为以原点为中心， A 、 B 为焦点的椭圆 . 设其长半轴为 a, 短半轴为 b, 半焦距为 c, 则522 a , 5a , 1,2 bc .
19、曲线 C 的方程为 15 22 yx . (2) 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 2kxy , ),(),( 2211 yxNyxM ， 代入 15 22 yx , 得 01520)51( 22 kxxk . 由 0)51(154)20( 22 kk , 得 532k . 由韦达定理得22122151155120kxxkkxx由 )0( DNDM 得 21 xx ，代入上式得2222222225115)51(4 0 0)1(kxkkx 两式相除得)15(380)51(15400)1(2222kkk . 316)51(3804,320515,3510,532222 kkkk 即 ， 331,316)1(4 2 解得 ， ,DNDM 中间在 NDM , ， 1 . 当 k 不存在时，显然 31 (此时直线 l 与 y 轴重合 ). 综上所述， 的取值范围是 131 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
