1、 高二上期末考试模拟试题八 数 学 （测试时间： 120 分钟 满分 150 分） 一 :选择题 1、若 01,0 ba ，则 a 、 ab 、 2ab 的大小关系为 （ ） A、 aabab 2 B、 2ababa C、 aabab 2 D、 2abaab 2、 过点 ( 2,1)P 且垂直于向量 2, 1a 的直线方程是 （ ） A、 2 5 0xy B、 20xy C、 2 3 0xy D、 2 4 0xy 3、 已知一双曲线的两条渐近线方程为： 0xy及 0xy，则它的离心率是 （ ） A、 21 B、 22 C、 2 D、 22 4、 两圆 221xy与 2220x y x 的公共弦
2、所在的直线方程是 （ ） A、 1x B、 12x C、 yx D、 12x 5、 当点 ,xy 在直线 32xy上移动时 , 3 27 3xyz 的最小值是 （ ） A、 83 B、 223 C、 6 D、 9 6、 以点 1, 1A 为对称中心，直线 2 3 6 0xy 关于 A 对称的直线方程是（ ） A、 3 2 2 0xy B、 2 3 7 0xy C、 3 2 12 0xy D、 2 3 8 0xy 7、 抛物线 2y ax 的准线方程是 2y ，则 a 的值为： （ ） A、 81 B、 8 C、 81 D、 8 8 、一动圆与圆 2 234xy 外切，同时与圆 2 23 100
3、xy 内切，则动圆圆心的轨迹为 （ ） A、椭圆 B、双曲线的一支 C、抛 物线 D、圆 9、已知中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，一条弦所在直线方程是 30xy ，弦的中点坐标为 1,2 ，则椭圆的离心率 e 的值为 （ ） A、 12 B、 22 C、 32 D、 55 10、椭圆 22125 9xy上一点 P 与两焦点 12,FF组成一个直角三角形，则点 P 到 x 轴的距离是 （ ） A、 165 B、 94 C、 95 D、 95 或 94 二、填空题 (共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分把答案填在题中的横 线上 ) 11、若 22 ，则 2 的范围是 。 12、直线 1
4、: 3 2 0l x y 与 2 : 3 1 0l x y 的夹角是 。 13、过点 2, 1M 圆的 225xy的切线方程是 。 14、过点 2, 3 和 15,23的双曲线标准方程是 。 15、设抛物线 2 2yx 的焦点为 F，以 9,02P为圆心、 |PF 长为半径作一圆与抛物线交于点 M 、 N 两点，则 | | | |MF NF 的值是 。 16、直线 2kx y 与曲线 21 ( 1) | | 1yx 有两个不同交点，则 k 的取值范围是_。 三、解答题 (本大题共 6 小题，满分 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17、 14分 解不等式 2 02xaxx
5、0a 18、 12分 03yx 已知 求 2xy 的最大值与最小值。 2 3 6xy 19、 12分 已知圆 2 2 2x y r内有一点 2,1P ， AB 为过点 P 的弦 1 当弦 AB 最短时，求直线 AB 的方程； 2 若 3r ，且直线 AB 1,1a ，求弦 AB 的长。 20、 12分 某市用 37 辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以 /vkmh 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长 400km ，为安全需要两汽车间距不得小于 220v km。试求这批物资全部到达灾区所 用最短时间及车速。 21、 12分 设 x 、 y R ， i 、 j 为直角坐标平面内 x 、 y 轴
6、正方向上的单 位向量，若向量 2 , 2a x i y j b x i y j 且 8ab 1 求点 ,M xy 的轨迹 C 的方程 2 过点 0,3 作直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，设 OP OA OB。是否存在这样的直线 l ，使得四边形 OAPB 是矩形？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由。 22、 14分 直线 l 过定点 0,3 ，且是抛物线 2 4yx 上动弦 12PP 的中垂线。 1 求直线 l 的倾斜角的范围； 2 求直线 l 与动弦 12PP 交点 M 的轨迹方程。 答案 一、选择题： 1、 C 2、 C 3、 C 4、 B 5、 D 6、 D
7、7、 A 8 、 A 9、 B 10、 D 二、填空题： 11、 0,2 12、 6 13、 25xy 14、 22 13yx 15、 8 16、 442, , 233 三、解答题： 17. 解：不等式 ( ) ( 1 ) ( 2 ) 0x a x x 10a 时 解集为 ( , 1) ( , 2)a 当 1a 时 解集为 ( , 1) ( 1, 2) 当 1a 时 解集为 ( , ) ( 1, 2)a 18、 解：作出不等式组所表示的平面区域，如图： 其中 3 12( , )55A ， (3,0)B 令 2x y t， 则直线 :2l x y t经过 A 点时， t 最小 l 经过 B 点时
8、， t 最大 ( 2 )xy 最小 3 1 2 2 725 5 5 ( 2)xy 最大 3 2 0 3 x y 0 -2 B A C 3 3 2 19、 解：当弦 AB 最短时 OP AB 12OPk ， 2ABk 直线 AB 的方程为： 1 2( 2)yx 即： 25yx 直线 AB ( 1,1)a 1ABk ，又 (2,1)P 直线 AB 直线 AB 的方程为： 1 ( 2)yx ，即 3yx 把 3yx 代入圆的方程 229xy得： 22( 3) 9xx 即 2 30xx 设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ，则 120, 3xx 2 12| | 1 | | 1 1
9、| 0 3 | 3 2ABA B k x x 20、 设最后一辆车到达时所用时间为 th ，则 2 4 0 0 3 6 4 0 0 3 64 0 0 3 6 ( ) 2 1 22 0 4 0 0 4 0 0v v vtv vv 当且仅当 400 36400vv 即 200 ( / )3v km n 时 ，等号成立 12th最 小 答：这批物资全部到达灾区所用最短时间为 12h ，这时车速为 200 /3 km h 21、解： 设 120, 2 , 0, 2FF 8ab 128MF MF 所以点 M 的轨迹是以 2,FF为焦点的椭圆，其方程为： 22116 12yx 设存在这样的直线 l 椭圆交
10、于 11,Ax y ， 22,B x y .当直线的倾斜角为 2 时，经检验，不合题意 .当直线的斜率存在时，设直线方程为： 3y kx 与椭圆方程 223 4 48yx联立得： 223 4 18 21 0k x kx 12 21834kxx k 12 22134xx k 又由题意知： 2AOB 1 2 1 2 0x x y y 1 2 1 233y y kx kx 2 1 2 1 239k x x k x x 21 2 1 21 3 9 0k x x k x x 2 2222 1 1 54 903 4 3 4k kkk 解得 54k 存在这样的直 线 l ： 5 34yx ，使得四边形 OA
11、PB 是矩形 22.解： 解：由题意， l 斜率存在且不为零，设为 k ，则 l 的方程为 3y kx，设直线 12PP的方程为 1y x mk 由 方 程 组 2 41yxy x mk 消去 x 得 2 4 4 0y ky km 21 2 1 24 , 2 4y y k x x k m k ， 12PP 的中点 M 的坐标为 2( 2 , 2 )km k k， M 在直线 l 上， 22 ( 2 ) 3k k km k ，即 322 2 3kkm k 中 216 16 0k km ，即 2( 1)( 3) 0k k kk 10k l 的倾斜角的范围 为 3( , )4 设 M 点的坐标为 (, )xy 由得 222x km kyk 且 322 2 3kkm k ， 3 22x kyk 消去 k ，得 ( 2) 6xy 10k M 点的轨迹方程为 ( 2 ) 6 (0 2 )x y y
