1、 高二数学 第 二 学期 期 中 考试试题 高二 数 学 (理科 ) 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 .满分 150 分，考试时间120 分钟 . 第 卷（选择题，共 40 分） 注意： 1.选择题答案要用铅笔在答题卡指定位置上填涂 ; 2.填空及解答题用黑色钢笔或签字笔在答题卷上指定位置作答 . 一、 选择题： (本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 ,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1.一个物体的运动方程为 21 tts 其中 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度是（ ） （ A） 7 米 /秒 （ B）
2、 6 米 /秒 （ C） 5 米 /秒 (D)8 米 /秒 2.若复数 )2)(1( ibi 是纯虚数（ i 是虚数单位， b 是实数），则 b （ ） (A)2 (B)21 (C) 21 (D) 2 3.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面 ,则平行于平面内所有直线；已知直线 b平面 ，直线 a 平面 ，直线 b 平面 ，则直线 b 直线 a ”的结论显然是错误的，这是因为 (A)大前提错误 (B)小前提错误 (C)推理形式错 误 (D)非以上错误 4.若 k dxxx1 ,2ln3)12(则 k =（ ） (A)6 (B) 4 (C) 3 (D).2 5. 在平面内对应的点位于那么复数
3、已知 zizi ),32(33 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 6.曲线 )12ln( xy 上的点到直线 032 yx 的最 短距离是 （ ） （ A） 5 (B) 52 (C) 53 (D) 0 7.利用数学归纳法证明“（ n+1） (n+2)(n+3) (n+n)=2n 1 3 (2n-1)(n N*)”时，从n=k 变到“ n=k+1”时，左边应增添的因 式是（ ） (A)2k+1 (B) 112kk (C) 1 )22)(12( k kk (D) 132kk 8.已知二次函数 0)0(),()( 2 fxfcbxaxxf 的导数为，对于任意实
4、数 x，有)0( )1(,0)( ffxf 则的最小值为 ( ) (A) 23 (B)25 (C) 3 (D) 2 第 卷（非选择题，共 110分） 二、填空题 : 本大题共 6 小题 ,每小题 5 分 ,共 30 分 ,把答案填在 答题卷中 相应横线上 . 9. 曲线 12 2 xy 在点 P（，）处的切线方程为 . 10. 图（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4）分别包含 1 个、 5 个、 13 个、 25 个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第 n 个图形包含 ()fn个“福娃迎迎 ”，则 )5(f ； )1()( nfnf = 。 （答案用数字或 n 的
5、解析式表示） 高二数学理试卷第 1 页（共 4 页） 高二数学理试卷第 2 页（共 4 页） 11.设数 函 c o s 3 0f x x 。若 /f x f x 是奇函数，则 _。 12.已知定义在区间 0,1 上的函数 ()y f x 的图像如图所示，对于满足 1201xx 的任意1x 、 2x ，给出下列结论： 2 1 2 1( ) ( )f x f x x x ； 2 1 1 2( ) ( )x f x x f x ； 1 2 1 2( ) ( )22f x f x x xf 其中正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填上 ） 13.已知 dxxaaxaf )2()( 2210，则
6、 )(af 的最大值是 . 14.在 RtABC 中，两直角边分别为 a 、 b ，设 h 为斜边上的高 ，则 2 2 21 1 1h a b，由此类比：三棱锥 S ABC 中的三条侧棱 SA 、 SB 、 SC 两两垂直，且长度分别为 a 、 b 、 c ，设棱锥底面 ABC 上的高为 h ，则 。 三、 解答题： 本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 , 把答案写在 答题卷 上指定位置处 . 15.已知 iiizzz 23)(2 ，其中 z 是 z 的共轭复数，求复数 z . 16.求由 xy 42 与直线 42 xy 所围成图形的面积 . 17.函数
7、()y f x 对任意实数 ,xy都有 ( ) ( ) ( ) 2f x y f x f y x y . （ 1）求 (0)f 的值； （ 2）若 (1) 1f ，求 (2), (3), (4)f f f 的值，猜想 ()fn的表达式并用数学归纳法证明你的结论； ()nN 18.已知 a、 b 为实数，且 b a e,其中 e 为自然对数的底，求证： ab ba .(提示 :可考虑用分析法找思路 ) 19.一物体按规律 3btx 作直线运动，式中 x 为时间 t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方试求物体由 x 0 运动到 x a 时，阻力所作的功 20.已知函数 aaxxxf ,13)
8、( 3 为实常数 （ 1） 、 a 在什么范围内时， 3)( yxfy 与 只有一个公共点？ （ 2） 、 若 2,0()0,21)()(2 在xxfx上有最小值 2，求 a 的值 高二数学理试卷第 3 页（共 4 页） 高二数学理试卷第 4 页（共 4 页） 南雄中学 2007-2008 学年第 二 学期 期 中 考试 答题卷 高二 数 学 (理科 ) 注意事项： 1.用黑色钢笔或黑色签字笔答在指定位置处 . 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚 . 二、填空题：（ 30 分） 9._. 10._. 11._. 12._. 13、 ； 14、 。 三、解答题： （共 6 小题， 80 分 .解
9、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .） 15（ 12 分） _16. 16。 （ 12 分） . 17. （ 14 分） 18. （ 14 分） 学校班别_姓名:_学号:_试室号.密封线.内.不.准.答.题. 第 3 页（共 4 页） 座位号： 高二数学理答题卡第 1 页（共 4 页） 高二数学理答题卡第 2 页（共 4 页） 19（ 14 分） 20. （ 14 分） 高二数学理答题卡第 3 页（共 4 页） 高二数学理答题卡第 4 页（共 4 页） x B ( 4,4 ) (1, 2)A 0 y C(2,0 ) 高二 数 学 (理科 )答案及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4
10、5 6 7 8 答案 C C A D B A C D 二、填空题 9 14 xy ； 10 41; )1(4 n ； 11 6 12 2,3； 13 92 ， ； 142222 1111 cbah 三、解答题 15解：由已知得 2| | ( ) 1z z z i i 设 , ( , )z x yi x y R ，代入上式得 22 21x y xi i 22121xyx ，解得1232xy 故复数 z 为 1322i 分 16、解：由 2 424yxyx 得交点坐标为 (1, 2),(4,4) ，如图 （或答横坐标） 方法一：阴影部分的面积 14012 2 2 ( 2 4 ) S x d x x
11、 x d x 331 2 422442 ( ) | ( 4 ) |33x x x x 9 方法二：阴影部分的面积 2424()24yyS d y 2 3 4 211( 2 ) |4 1 2y y y = 9 方法三：直线与 x 轴交点为（ 2， 0）所以阴影部分的面积 4 4 1 20 2 0 12 ( 2 4 ) ( 2 ) ( 2 4 )S x d x x d x x d x x d x 334 2 4 1 2 2220 2 0 144( ) | ( 4 ) | ( ) | ( 4 ) |33x x x x x x = 9 17. 解： （） 令 0yx ，得 0)0(002)0()0()
12、00( ffff 证明： （ ） (1) 1f ， ( 2) (1 1 ) 1 1 2 4( 3 ) ( 2 1 ) 4 1 2 2 1 9( 4) ( 3 1 ) 9 1 2 3 1 16ffffff 猜想 2)( nnf ，下用数学归纳法证明之 . （ 1）当 n=1 时 ,f(1)=1,猜想成立； （ 2）假设当 n=k 时，猜想成立，即 2)( kkf ， 则当 n=k+1 时， f(k+1)=f(k)+f(1)+2k1=k2+2k+1=(k+1)2 即当 n=k+1 时猜想成立。 由（ 1）、（ 2）可知，对于一切 n N*猜想均成立。 18 证法一： b a e, 要证 ab ba
13、 ,只要证 blna alnb,设 f(b)=blna alnb(b e),则 f(b)=lna ab . b a e, lna 1,且 ab 1, f(b) 0. 函数 f(b)=blna alnb 在 (e,+)上是增函数， f(b) f(a)=alna alna=0,即 blna alnb 0, blna alnb, ab ba . 证法二：要证 ab ba ,只要证 blna alnb(e a b) ,即证 ,设 f(x)=lnxx (x e)，则f(x)= 21 lnxx 0, 函数 f(x)在 (e,+)上是减函数，又 e a b, f(a) f(b),即 ln lnab , ab
14、 ba . 19 解：物体的速度 23 3)( btbtdtdxV 媒质阻力 42222 9)3( tkbbtkkvF zu ，其中 k 为比例常数， k0 当 x=0 时， t=0；当 x=a 时， 311 )(batt ，又 ds=vdt，故阻力所作的功为 3 277130 320 30 2 727727)3(111 baktkbdtbtkdtvkdtvkvdsFW tttzuzu 20解： 已知函数 aaxxxf ,13)( 3 为实常数 （ 1） a 在什么范围内时， 3)( yxfy 与 只有一个公共点？ （ 2）若 2,0()0,21)()(2 在xxfx上有最小值 2，求 a 的
15、值 【解析】 （ 1） )(333)( 22 axaxxf 当 0a 时， 0)( xf ，所以 )(xf 在 R 上单调增，此时 3)( yxfy 与 只有一个公共点； 当 0a 时， )(3)( axaxxf 由 0)( xf ， 得 axax 21 , 在 Rx 上列表： x ),( a a ),( aa a ),( a )(xf 0 0 )(xf 极大值 极小值 因为 3)( yxfy 与 只有一个公共点，所以 3)( 极大值xf 或 3)( 极小值xf 所以 3)(,3)( afaf 或，得 043 a 综上， 3 4a ， 3)( yxfy 与 只有一个公共点 （ 2）xaxxax
16、xxxfx 31131)()( 232 由 )()( xx ， 可知 )(x 为偶函数，则原题即为 )(x 在 2,0( 上有最小值 2 设 xaxxg 3)( （ 2,0(x ），则222 331)( x axx axg 0a 时， 0)( xg ，所以 )(xg 在 2,0( 上单调增，所以 232,()( axg 因为 )(x 在 ,0( 上有最小值 2，所以 2232 a ，所以 38a 0a 时， xx )( ，无最小值，不合题意 0a 时， )()( xgx ，222 )3)(3(3)(x axaxx axxg （ I ） 23 a ，即 34a 时， 0)( xg ，所以 )(xg 在 2,0( 上 单 调 减 ， 所 以),232)( axg ，此时 )(x 在 2,0( 上的最小值为 2232 a ，不合 题 （ II） 23 a ，即 340 a 时，由 0)( xg ， 得 ax 3 在 2,0(x 上列表： x )3,0( a a3 )2,3( a 2 )(xg 0 )(xg 极小值 232 a 232)3()()( mi nmi n aagxgx ，即 31a 综上， a 的值为 3138或
