1、 高二 数学 第二学期期末考试模拟卷 数学试题 一、选择题 (本大题共 8 小题，每小题 5 分，计 40 分 ) 1 设 34)1(6)1(4)1( 234 xxxxS ，则 S等于 （ A ） A x4 B x4+1 C (x-2)4 D x4+4 2 从 1,2, ,9这九个数中 ， 随机抽取 3个不同的数，则这 3个数 的和为偶数的概率是 （ C ） A 95 B 94 C 2111 D 2110 3 已知自由落体运动的速率 gtv ，则落体运动从 0t 到 0tt 所走的路程为（ C ） A 320gt B 20gt C 220gt D 620gt 4 若 nxx )13( 3 )(
2、 Nn展开式中含有常数项，则 n 的最小值是 （ A ） A 4 B 3 C 12 D 10 5 设随机变量 (0,1)N ，记 )()( xPx ， 则 ( 1 1)P 等于 ( A ) A 2 (1) 1 B 2 ( 1) 1 C (1) ( 1)2 D (1) ( 1) 6 如果复数 Z ai Z 3 2 2满足条件 | | ,那么实数 a 的取值范围是（ D ） A ( , )2 2 2 2 B ( , )22 C ( ,)11 D ( , ) 3 3 7 已知复数 Z a bi Z b ai a b1 2 , ( 其中 、都是实数，且 ab0 ），在复平面内，Z1、 Z2所对应的点与
3、原点组成的三角形是 （ C ） A锐角三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 8 在下列四个命题中：已知 A、 B、 C、 D 是空间的任意四点，则 0 DACDBCAB ； 若 cba, 为空间的一组基底，则 accbba , 也构成空间的一组基底； |)(| cbacba ；对于空间的任意一点 O 和不共线的三点 A、 B、 C，若OCzOByOAxOP （其中 Rzyx , ），则 P、 A、 B、 C 四点共面 其中正确的个数是 （ B ） A 3 B 2 C 1 D 0 二、填空题 (本大题共 6 小 题，每小题 5 分，计 30 分 ) 9 若以连续投掷两次骰子分别得
4、到的点数 m、 n 作为点 P 的坐标，则点 P 落在直线 x+y=5下方的概率是 61 奎屯王新敞 新疆 10 已知 ABC， A(1,1)， B(2,3)， C(3, 1)，在矩阵2121 2121作用所得到的图形围成的面积是 _. 11设 )()11()11()( Nniiiinf nn ，则集合 )(nfxx 中元素的个数是 3 . 12曲线 1,0,2 yxxy ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 dxx 10 2)1( 13已知 34 12M ， 13 14N ，则满足方程 NMX 的二阶方阵 X =15129 14 如图，已知命题：若矩形 ABCD 的对角线 BD 与边 AB
5、和 BC 所成角分别为 、 ，则,1c o sc o s 22 若把它推广到长方体 ABCD A1B1C1D1中，试写出相应命题形式： 若长方体 ABCD-A1B1C1D1的对角线 BD1 与 BA1， BB1， BC 所成的角分别为 , ，则 1c o sc o sc o s 222 。 . D CBA D1 C1CDA BA1B1三、解答题 (共 90 分 ) 15 设虚数 z1,z2，满 足 221 zz . （ 1）若 z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两根，求 z1, z2 （ 2）若 z1=1+mi(i 为虚数单位， m R), 2| 1 z ,复数 w=z2+3,求 |w|的
6、取值范围 解： (1) z1, z2 是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭， 可设 z1=a+bi(a,b R 且 b 0),则 z2=a bi, 由 221 zz 得 (a+bi)2=a bi 即： a2 b2+2abi=a bi 根据复数相等， bab aba2 22 b 0 解得：2321ba或 2321ba， iziz2321232121或 iziz2321232121 (2)由于 221 zz ， z1=1+mi, w=z2+3, w=(1+mi)2+3=4 m2+2mi. 12)2(4)4(| 22222 mmmw , 由于 2|z| 1 且 m 0, 可解得 0m2 1
7、, 令 m2=u, 12)2(| 2 uw , 在 u (0,1)上， (u 2)2+12 是减函数， )4,13| w . 16 函数数列 )(xfn 满足： )0(1)( 21 xxxxf， )()( 11 xffxf nn (1)求 )(),( 32 xfxf ； (2)猜想 )(xfn 的表达式，并证明你的结论。 解： 2211112 21)(1)()()( xxxf xfxffxf 2 2222213 31)(1)()()( xxxf xfxffxf 2 猜想： )(1)( 2 Nnnxxxf n 3 下面用数学归纳法证明： 当 n=1时，21 1)( xxxf ，已知，显然成立 1
8、 假设当 )( NKKn 时 ，猜想成立，即21)( kxxxfk 则当 1Kn 时， 2222211 )1(1)1(11)(1)()()(xkxkxxkxxxfxfxffxfkkkk 3 即对 1Kn 时，猜想也成立。 结合可知：猜想21)( nxxxfn 对一切 Nn 都成立。 2 17 设有编号为 1， 2， 3， 4， 5 的五个球和编号为 1， 2， 3， 4， 5 的五个盒子，现将这五个球放入 5 个盒子内 . （ 1） 只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？ （ 2） 没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有 多少种投放方法？ （ 3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个
9、球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？ 解：（ 1） C52A54=1200（种） 4 分 （ 2） A55-1=119（种） 8 分 （ 3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法： 1 种 第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法： 0 种 第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法： 10 种 第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法： 2C52=20 种 满足条件的放法数为： 1+10+20=31（种） 14 分 18如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点 （）试确定点 F 的位置，使得 D1E平面 AB
10、1F； （）当 D1E平面 AB1F 时，求二面角 C1 EF A 的余弦值以及 BA1 与面 C1EF 所成的角的大小 解：（ 1）以 A 为原点，直线 AB、 AD、 AA1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为 1，且 xDF ，则 )0,1,0(),0,0,1(),000()1,0,0(1 DBAA ， )0,1,(),0,21,1()1,1,0(),1,0,1( 11 xFEDB 于是 )0,1,(),1,0,1(),1,21,1(11 xAFABED 由 AFEDABEDFABED 11111 且面 于是 00 111 AFEDABED 与 ，可
11、解得 21x 所以当点 F 是 CD 的中点时， FABED 11 平面 （ 2）当 FABED 11 平面 时， F 是 CD 的中点， )0,1,21(F 平面 AEF 的一个法向量为 )1,0,0(m 而在平面 C1EF 中， )0,21,21(),1,21,0(1 EFEC所以平面 C1EF 的一个法向量为 )1,2,2( n 31,cos nm ， 31arc c o s, nm 又因为当把 m ,n 都移向这个二面角内一点时， m 背向平面 AEF，而 n 指向平面 C1EF 故二面角 C1 EF A 的大小为 31arccos D1 C1 B1 A1 D C B A E F 又
12、)1,0,1(1 BA , nBA ,cos 1 22 , 所以 01 135, nBA BA1 与平面 C1EF 所成的角的大小为 045 19 在一个盒子中，放有标号 分别为 1， 2 ， 3 的三张卡片，现从这个盒子中， 有放回 地先后抽得两张卡片的标号分别为 x 、 y ，记 xyx 2 （ ）求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率； （ ）求随机变量 的分布列和数学期望 解： （ ） x 、 y 可能的取值为 1、 2 、 3 ， 12x ， 2xy ， 3 ，且当 3,1 yx 或 1,3 yx 时， 3 因此， 随机变量 的最大值为 3 有放回抽两张卡片的所有情况有
13、 933 种， 92)3( P 答： 随机变量 的最大值为 3，事件“ 取得最大值”的概率为 92 （） 的所有取值为 3,2,1,0 0 时，只有 2,2 yx 这一种情况， 1 时，有 1,1 yx 或 1,2 yx 或 3,2 yx 或 3,3 yx 四种情况， 2 时，有 2,1 yx 或 2,3 yx 两种情况 91)0( P ， 94)1( P ， 92)2( P 则 随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 P 91 94 92 92 因此，数学期望 914923922941910 E 20 当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起
14、见，不妨做如下假设： （ 1）由于自然繁殖，兔子数每年增长 10%，狐狸数每年减少 15%； （ 2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的 0.15 倍，狐狸数每年增加兔子数的 0.1倍； （ 3）第 n年时，兔子数量 nR 用表示，狐狸数量用 nF 表示； （ 4）初始时刻（即第 0年），兔子数量有 1000 R 只，狐狸数量有 300F 只。 请用所学知识解决如下问题： （ 1）列出兔子与狐狸的生态模型； （ 2）求出 nR 、 nF 关于 n的关系式； （ 3）讨论当 n 越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。 解： )1(85.01.0 15.01.
15、1 11 11 nFRF FRR nnn nnn 4 设 nnn FR ， 1.01.1M 85.0 15.0 )( 21 nnn MMM = = n 又矩阵 M的特征多项式1.0 1.1)( f85.015.0= )95.0)(1(95.095.12 令 0)( f 得： 95.0,1 21 特征值 11 对应的一个 特征向量为 231特征值 95.02 对应的一个特征向量为 112 6 且210 1 1 070111 1 02370301 0 0 22110 11070 nnnn M = nnn95.01 1 01 4 0 95.01 1 02 1 01195.01 1 02370nnnnFR95.01 1 01 4 095.01 1 02 1 0 14 当 n越来越大时， n95.0 越来越接近于 0， nR , nF 分别趋向于常量 210,140。即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态。 2
