1、 高二数学 第二学期 期末模拟试卷 一、填空题 1完成下面的三段论： 大前提：互为共轭复数的乘积是实数 小前提： yix 与 yix 是互为共轭复数 结 论： 22x y i x y i x y 是实数 2、 设 P 为曲线 C： 2 23y x x 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 04，则点 P 横坐标的取值范围为 _。 -1， -12 3 已知如下结论：“等边三角形内任意一点到各边的距离之和等于此三角形的高”，将此结论拓展到空间中的正四面体（棱长都相等的三棱锥），可得出的正确结论是： 正四面体体内任意一点到各面的距离之和等于此正四面体的高。 4 从 4 位男教师和
2、3 位女教师中选出 3 位教师，派往郊区 3 所学校支教，每校 1 人，要求这3 位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案有 种（ 用数字作答） 180 5设随机变量 X )1,0(N ，且 ( 2)P X m，则 )22( XP 。 2m-1 6 已知 5 2 3 4 50 1 2 3 4 5( 1 )x a a x a x a x a x a x , 则 ( )( 531420 aaaaaa 的 值 等于 。 -256 7 通过随机询问 250 名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明书，得到如下 22联表： 女 男 总 计 读营养说明书 90 60 150 不读营养说明书 30 7
3、0 100 总计 120 130 250 从调查的结果分析，认为性别和读营养说明书的有关的可能性在 _以上。 99.9% 8 抛掷一颗质地均匀的骰子，将向上一面的点数看作随机变量 X，则 X 的方差是 3512 9从一副不含大小王的 52 张扑克牌中不放回地抽取 2 次，每次抽 1 张，已知第 1 次抽到 A，那么第 2 次也抽到 A 的概率为 _ 117 10 函数 2siny x x 在（ 0， 2 ）内的单调增区间为 3 ， 53 11设 z=x+yi（ Ryx , ）， 且 4,2| x yz 则 的最小值 是 _ 3 3 12、 在 102 )1)(1( xxx 的展开式中，含 x
4、的系数为 -9 13 如右图，在杨辉三角形中， 从上往下数共有 n(n N*)行， 在这些数中非 1 的数字之和为 2n-2n 14 函数 ()fx由下表定义： 若 1 1a ， 2 5a , *2 ( ),nna f a n N 则 2008a 的值 _ 1 二、解答题 15 已知 ,z 为复数， 求且为纯虚数， ,25|,2)31( izzi . 解：设 ),( Ryxyixz 则 iyxyxyixi )3()3()(31( zi)31( 为纯虚数 0303 yxyx 且 于是 x=3y )3( iyz 25|25 |10|2 )3( yyi iy |y|=5 即 y=5 故 )7(5 )
5、7(2 )3( iiyi iy 16 在一次面试中，每位考生从 4 道题 a,b,c,d 中任抽两题做，假设每位考生抽到各题的可能性相等，且考生相互之间没有影响 （ 1）若甲考生抽到 a,b 题，求乙考生与甲考生恰好有一题相同的概率； （ 2）设某两位考生抽到的题中恰好有 X 道相同，求随机变量 X 的概率分布和期望 E(X) x 1 2 3 4 5 f (x) 3 4 5 2 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 解：（ 1）32241212 CCC答：乙考生与甲考生恰有一题相同的概率为 32 （ 2） X 的可能取值为 ,2,1,0 61)0( 24242224
6、CC CCXP611)2( 242424 CCCXP， 32)2()0(1)1( XPXPXP 所以随机变量 X 的概率分布为 X 0 1 2 P 1/6 2/3 1/6 X 的期望 1612321610)( xE 17 某电脑公司有 6名 产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表 : 推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限 x /年 3 5 6 7 9 推销金额 y /万元 2 3 3 4 5 ( )求年推销金额 y 与工作年限 x之间的相关系数； ( )求年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程； ( )若第 6名推销员的工作年限为 11年，试估计他的年推销金额 . （参考数
7、据： 1.04 1.02；由检验水平 0.01及 23n,查表得 0.01 0.959r .） 解： ( )由1 ( )( )niii x x y y =10， 21 ()n ii xx 20， 21 ()n ii yy 5.2， 可得 12211( ) ( ) 100. 98104( ) ( )niiinniiiix x y yrx x y y . 年推销金额 y 与工作年限 x之间的相关系数约为 0.98 ( ) 由 ( )知， 0 .0 10 .9 8 0 .9 5 9rr , 可以认为年推销金额 y 与工作年限 x之间具有较强的线性相关关系 . 设所求的线性回归方程为 y bx a，
8、则 121( ) ( ) 100.520()niiiniix x y ybxx ， 0.4a y bx . 年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程为 0.5 0.4yx. ( ) 由 ( ) 可知 ,当 11x 时 , 0 .5 0 .4 0 .5 1 1 0 .4 5 .9yx 万元 . 可以估计第 6名推销员的年推销金额为 5.9万元 18 已知 a+b+c=0 且 abc。求证： 32 a acb 证明 ： a+b+c=0 且 abc a0， c0 （ 2a+c）（ a-c） 0 a0， c0 a+b+c=0 且 ab a-a-c 即 2a+c0 （ 2a+c）（ a-c） 0
9、 成立 故原不等式得证。 19 已知 an=4n+5， bn=3n，求证：对任意正整数 n，都存在正整数 p，使得 ap= b2n 错误 !未定义书签。 成立 解法一：当 1n 时， 514921 b ，即存在 1P ，使 211 ba ，结论成立； 假设当 kn （ Nkk ,1 ）时，存在正整数 p ，使 2pkab ，即 4 5 9kp 成立 2 1 2 11 ( 3 ) 9 9 9 9 ( 4 5 )k k kkbp 3 6 4 5 4 ( 9 1 0 ) 5pp 当 1kn 时，存在正整数 9 10p ，使得 29 10 1pkab ，即当 1kn 时，结论成立。 由可得，对 Nn
10、，存在正整数 p ，使 2np ba . 法二： 0111102 8888)18(9 nnnnnnnnnnn CCCCb 0 1 1 2 14 2 ( 8 8 ) 1 5n n nn n nC C C ， 又 Nn ， 0 1 1 2 12 ( 8 8 ) 1n n nn n np C C C N 对任意正整数 n ，存在 0 1 1 2 12 ( 8 8 ) 1n n nn n np C C C N ，使 2np ba 。 20 已知 a 是实数，函数 2( ) ( )f x x x a。 （）若 (1) 3f ，求 a 的值及曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程； （
11、）求 ()fx在区间 2,0 上的最大值。 解：（ ） 2( ) 3 2f x x ax ， 因为 (1) 3 2 3fa ， 所以 0a 又当 0a 时， (1) 1f ， (1) 3f ， 所以曲线 ()y f x 在 (1 (1)f， 处的切线方程为 3 2 0xy （ ）解：令 ( ) 0fx ，解得 1 0x ，2 23ax 当 2 03a ，即 0a 时， ()fx在 02， 上单调递增，从而 m ax (2 ) 8 4f f a 当 2 23a ，即 3a 时， ()fx在 02， 上单调递减，从而 max (0) 0ff 当 2023a，即 03a 时， ()fx 在 203a，上单调递减，在 2 23a，上单调递增，从而m a x 8 4 0 20 2 3aaf a ， ， 综上所述， m a x 8 4 202aaf a ， ，
