1、 高二 第一学期期中考试数学 试卷 （考试时间 90 分钟，满分 100 分） 一、 填空题 （共 12 小题，每题 3 分，共 36 分） 1、 设 (3,4)AB ，点 A 的坐标为 ( 1,0) ，则点 B 的坐标为 _. 2、 设 (2, 3), ( 1,1)ab ， 0c 是与 ab 同向的单位向量，则 0c 的坐标是 _. 3、 若等差数列 na 的公差 2d ， 15 10a ，则它首项 1a =_. 4、 若等比数列 na 中， 1 111, 1024aa，则它的公比 q =_. 5、 计算： 223 4 2lim (2 1)n nnn =_. 6、 已知向量 ( 4 , 5
2、), (8 , )AB AC k，若 ,ABC 三点共线，则 k =_. 7、 2 , 3 , 4a b a b ，则 a 与 b 的夹角是 _. 8、 已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点，设 ,O A a O B b O C c ，则 OD =_. 9、 在 1 与 9 之间插入两个数，得到数列 1, , ,9xy ，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则其中的一组数列是 _. 10、已知无穷等比数列 na 各项的和是 2 ，则首项 1a 的取值范围是 _. 11 、对 n 个 向 量 12,na a a ， 如 果 存 在 不 全 为 零 的 实 数 12, nk k k 使
3、得1 1 2 2 0nnk a k a k a ，则称 12,na a 线性相关 .若已知 1 (1,1)a ， 2 (3, 2)a ，3 (3, 7)a 是线性相关的，则 1 2 3:k k k =_. 12、若数列 na 是等差数列，则数列 12 nn a a ab n ()nN也为等差数列；类比上述性质，相应地，若数列 nc 是等比数列，且 0nc ，则有 nd =_()nN 也是等比数列 . 二、 选择题 （共 4 小题，每题 3 分，共 12 分） 13、下列各式中 错误 的是（ ） A. 2 2aa B. AB BA C.00a D. ()m n a mn a ( , )mn R
4、14、已知 (3,1), (6 , 0 ), (4 , 2 )A B C， D 为线段 BC 的中点，则向量 AC 与 AD 的夹角是（ ） A.45 B.60 C. 90 D.135 15、已知等差数列 na 中， 2 4 112, 2a a a ，则 5a 的值是（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 10 16、在 ABC 中，有命题若 0AB AC，则 ABC 为锐角三角形 0AB BC CA ( ) ( ) 0A B A C A B A C ,则 ABC 为等腰三角形 AB AC BC.上述命题正确的是 （ ） A. B. C. D. 二、 解答题 （共 6 小题，第 17 题
5、 6 分，第 18、 19、 20 题每题 8 分，第 21 题 10 分，第 22 题 12分，共 52 分） 17 已知 (0 , 1), ( 5 ,1), (7 , 2 )A B D ，且 AB DC ， BC AB ，求点 C 的坐标 . 18 已知一个等差数列的前 10项的和是 110，前 20 项的和是 20 .求此等差数列的前 n 项和 nS ，并求出当 n 为 何值时， nS 最大，最大值是多少？ 19 设数列 na 的首项1 12a，且1 21 nn naa a （ nN ） .（ 1）求 234,a a a ； （ 2）根据上述结果猜想数列 na 的通项公式，并用数学归纳法
6、加 以证明 . 20、在一次人才招聘会上，有甲、乙两家公司分别公布它们的工资标准： 甲公司：第一年月工资数为 1500 元，以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元； 乙公司：第一年月工资数为 2000 元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增 5%. 设某人年初同时被甲、乙公司录取，试问： （ 1） 若该人打算连续工作 n 年，则在第 n 年的月工资收入分别是多少元？ （ 2） 若该人打算连续工作 10 年，且只考虑工资收入的总量， 该人应该选择哪家公司？为什么？(精确到 1 元 ) 21、已知 i ， j 分别是与 x 轴， y 轴正方向相同的单位向量， 1 6OB ai j ()
7、aR ，对任意正整数 n ， 11 6 3 2 nnnB B i j . （ 1）若 1 2 3OB BB ，求 a 的值； （ 2）求向量 nOB . 22、我们在下面的表格中填写数值：先将第 1 行的所有空格填上 1；再把一个首项为 1，公比为 q的数列 na 依次填入第一列的空格 内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格 . 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 n 列 第 1 行 1 1 1 1 第 2 行 q 第 3 行 2q 第 n 行 1nq （ 1）按照填写规则，请在上述表格内填写第二行的空格以及第二列的空格； （ 2）试用 n 、
8、q 表示第二列的各数之和； （ 3）设第 3 列的数依次为 1 2 3, , ,., nc c c c ，若 1 2 3,c c c 成等比数列，试求 q 的值；能否找到 q 的值，使得数列 1 2 3, , ,., nc c c c 的前 m 项 1 2 3, , ,., mc c c c ( 3)m 成为等比数列？若能找到， m 的值有多少个？若不能找到，说明理由 . 上海南汇中学 2007 学年第一学期高二期中考试 数学 答案及评分标准 （考试时间 90 分钟，满分 100 分） 命题：吴世星 审核：李家齐 三、 填空题 （共 12 小题，每题 3 分，共 36 分） 10、 设 (3,
9、4)AB ，点 A 的坐标为 ( 1,0) ，则点 B 的坐标为 _(2,4) _. 11、 设 (2, 3), ( 1,1)ab ， 0c 是与 ab 同向的单位向量，则 0c 的坐标是 _ 34( , )55 _. 12、 若等差数列 na 的公差 2d ， 15 10a ，则它首项 1a =_ 38 _. 13、 若等比数列 na 中， 1 111, 1024aa，则它的公比 q =_2 _. 14、 计算： 223 4 2lim (2 1)n nnn =_34 _. 15、 已知向量 ( 4 , 5 ), (8 , )AB AC k，若 ,ABC 三点共线，则 k =_10 _. 16
10、、 2 , 3 , 4a b a b ，则 a 与 b 的夹角是 _ 1arccos4 _. 17、 已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点 ，设 ,O A a O B b O C c ，则 OD =_a b c _. 18、 在 1 与 9 之间插入两个数，得到数列 1, , ,9xy ，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则其中的一组数列是 _ 1,1,3,9 或（ 131, , ,942 ） _. 19、 已知无穷等比数列 na 各项的和是 2 ，则首项 1a 的取值范围是 _(0,2) (2,4) _. 20、 对 n 个向量 12,na a a ， 如 果 存 在 不 全
11、为 零 的 实 数 12, nk k k 使得1 1 2 2 0nnk a k a k a ，则称 12,na a a 线性相关 .若已知 1 (1,1)a ， 2 (3, 2)a ，3 (3, 7)a 是线性相关的，则 1 2 3:k k k =_3: 2:1 _. 12、若数列 na 是等差数列，则数列 12 nn a a ab n ()nN也为等差数列；类比上述性质，相应地，若数列 nc 是等比数列，且 0nc ，则有 nd =_ 12n ncc c _()nN 也是等比数 列 . 二、 选择题 （共 4 小题，每题 3 分，共 12 分） 13、下列各式中 错误 的是（ C ） A.
12、2 2aa B. AB BA C.00a D. ()m n a mn a ( , )mn R 14、已知 (3,1), (6 , 0 ), (4 , 2 )A B C， D 为线段 BC 的中点，则向量 AC 与 AD 的夹角是（ A ） A.45 B.60 C. 90 D.135 15、已知等差数列 na 中， 2 4 112, 2a a a ，则 5a 的值是（ D） A. 7 B. 8 C. 15 D. 10 16、在 ABC 中，有命题若 0AB AC，则 ABC 为锐角三角形 0AB BC CA ( ) ( ) 0A B A C A B A C ,则 ABC 为等腰三角形 AB AC
13、 BC.上述命题正确的是（ C ） A. B. C. D. 四、 解答题 （共 6 小题，第 17 题 6 分，第 18、 19、 20 题每题 8 分，第 21 题 10 分，第 22 题 12分，共 52 分） 17 已知 (0 , 1), ( 5 ,1), (7 , 2 )A B D ，且 AB DC ， BC AB ，求点 C 的坐标 . 解：设点 C 的坐标是 (, )xy ， 则 ( 5,2)AB ， ( 5, 1)BC x y ， ( 7, 2)DC x y 2 分 由 AB DC 2 ( 7) 5 ( 2 )xy BC AB 5 ( 5 ) 2 ( 1) 0xy 2 分 3,
14、6xy ，所以 ( 3,6)C 2 分 18 已知一个等差数列的前 10项的和是 110，前 20 项的和是 20 .求此等差数列的前 n 项和 nS ，并求出当 n 为何值时， nS 最大，最大值是多少？ 解：设等差数列的首项为 1a ，公差为 d 1 分 则 10 120 11 0 4 5 1 1 02 0 1 9 0 2 0S a dS a d 2 分 所以 1 20a ， 2d 所以 2 21nS n n 2 分 又 222 1 4 4 12 1 ( )24nS n n n ， nN 所以当 10n 或 11n 时 nS 最大， 10 11 110SS 3 分 19 设数列 na 的首
15、项1 12a，且1 21 nn naa a （ nN ） .（ 1）求 234,a a a ； （ 2）根据上述结果猜想数列 na 的通项公式，并用数学归纳法加以证明 . 解：（ 1）2342 4 8,3 5 9a a a 2 分 （ 2）猜想 11221nn na ，（ nN ） 2 分 证明：当 1n 时，左边 1a ，右边 1111212 1 2，猜测成立； 假设当 nk （ kN ）时有 11221kk ka 成立 则当 1nk时，左边1111222 22121 2 1121kkkkk kkkaa 右边 .故猜测也成立 . 由可得对一切 nN ，数列 na 的通项公式为 11221nn
16、 na （ nN ） 4 分 20、在一次人才招聘会上，有甲、乙两家公司分别公布它们的工资标准： 甲公司：第一年月工资数为 1500 元，以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元； 乙公司：第一年月工资数为 2000 元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增 5%. 设某人年初同时被甲、乙公司 录取，试问： （ 3） 若该人打算连续工作 n 年，则在第 n 年的月工资收入分别是多少元？ （ 4） 若该人打算连续工作 10 年，且只考虑工资收入的总量，该人应该选择哪家公司？为什么？(精确到 1 元 ) 解：（ 1）设在甲公司第 n 年的工资收入为 na 元，在乙公司第 n 年的工资收入为
17、 nb 元 则 230 1270nan， 12000 1.05nnb 4 分 （ 2）设工作 10 年在甲公司的总收入为 S甲 ，在甲公司的总收入为 S乙 (1 0 1 5 0 0 4 5 2 3 0 ) 1 2 3 0 4 2 0 0S 甲 2 0 0 0 (1 1 . 0 5 ) 1 2 3 0 1 8 6 91 1 . 0 5 nS 乙由于 SS 乙甲 ，所以该人应该选择甲公司 . 4 分 21、已知 i ， j 分别是与 x 轴， y 轴正方向相同的单位向量， 1 6OB ai j ()aR ，对任意正整 数 n ， 11 6 3 2 nnnB B i j . （ 1）若 1 2 3O
18、B BB ，求 a 的值； （ 2）求向量 nOB . 解：（ 1）依题可知 23 66B B i j 由 1 2 3OB BB 知 6 36 0a，所以 6a ； 4 分 （ 2） 1 1 2 1n n nO B O B B B B B 2 分 2( , 6 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 3 2 ) ( 6 , 3 2 )na 1( 6 6 , 3 2 9 )nna 所以 1( 6 6 , 3 2 9 )nnO B n a . 4 分 22、我们在下面的表格中填写数值：先将第 1 行的所有空格填上 1；再把一 个首项为 1，公比为 q的数列 na 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意
19、一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格 . 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 n 列 第 1 行 1 1 1 1 第 2 行 q 1q 2q ( 1)nq 第 3 行 2q 21 qq 第 n 行 1nq 11 nqq （ 1）按照填写规则，请在上述表格内填写第二行的空格以及第二列的空格； （ 2）试用 n 、 q 表示第二列的各数之和； （ 3）设第 3 列的数依次为 1 2 3, , ,., nc c c c ，若 1 2 3,c c c 成等比数列，试求 q 的值；能否找到 q 的值，使得数列 1 2 3, , ,., nc c c c 的前 m 项 1
20、2 3, , ,., mc c c c ( 3)m 成为等比数列？若能找到， m 的值有多少个？若不能找到，说明理由 . 解：（ 1）如表 3 分 （ 2） 211 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nS q q q q q 当 1q 时， 11nqqSnq； 2 分 当 1q 时， ( 1)2nnS 2 分 所以综上可知 1( 1) 1211nnn qS qqnqq 1 分 （ 5） 可知 21 2 31 , 2 , 3 2c c q c q q 由 22 1 3 12c c c q ，则1 2 3391, ,24c c c 若 3m 时， 1 2 3, , ,., mc c c c 为等比数列，那么 1 2 3,c c c 一定是等比数列 由上可知此时 12q ，又 234 4 3 2c q q q 得知4 238c而 4323389 24cc ，所以对于任意的 4m ， 1 2 3, , ,., mc c c c 一定不是等比数列 综上所述，当且仅当 3m 且 12q 时，数列 1 2 3, , ,., mc c c c 是等比数列 . 4 分
