1、2000 年全国高中数学联赛试题第一试（10 月 15 日上午 8:009:40）一、选择题本题共有 6 小题，每题均给出（A ） 、 （B） 、 （C） 、 （D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得 0 分。1设全集是实数，若 A=x| 0 ，B=x| = ,则 是 【答】 （ ）2210xBA(A) 2 (B) 1 (C) x|x2 (D) 2设 sin0,cos 0,且 sin cos ,则 的取值范围是 【答】 （ ）33(A) (2k+ ,2k+ ), k
2、Z (B) ( + , + ),kZ6 2k63(C)(2k+ ,2k+),kZ (D)(2k+ ,2k+ ) (2k+ ,2k+),kZ5 4653已知点 A 为双曲线 x2y2=1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，ABC 是等边三角形，则ABC 的面积是 【答】 （ ）(A) (B) (C) 3 (D) 6323 34给定正数 p,q,a,b,c，其中 pq，若 p,a,q 是等比数列，p,b,c,q 是等差数列，则一元二次方程 bx22ax+c=0 【答】 （ ）(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5平面上整点（纵、横坐标都是
3、整数的点）到直线 的距离中的最小值是543xy(A) (B) (C) (D) 【答】 （ ）1703485342013016设 ，则以 ,3,7,9 为根的方程是 【答】 （ ）sin5co(A) x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4x3+x2x+1=0(C) x4x3x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2x1=0二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上。7arcsin(sin2000)=_.8设 an 是(3 的展开式中 x 项的系数( n=2,3,4,)，则 )nx) nnaa33(lim2=_.9等比数列 a+log23,a+
4、log43,a+log83 的公比是_.10 在椭圆 (ab 0) 中，记左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方的端点为 B.若1yx该椭圆的离心率是 ，则ABF=_.2511 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 a，则这个球的体积是_.12 如果：(1)a,b,c,d 都属于1,2,3,4；(2)ab,bc,cd,da ；(3)a 是 a,b,c,d 中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数 的个数是_.三、解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分)13 设 Sn=1+2+3+n,nN，求 f(n)= 的最大值 .132nS14 若函数 在区间a,b 上的最小值为 2a，
5、最大值为 2b，求a,b.213)(xf15 已知 C0:x2+y2=1 和 C1: (ab0)。试问：当且仅当 a,b 满足什么条件时，2yx对 C1 上任意一点 P，均存在以 P 为项点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形？并证明你的结论。【加试】 （10 月 15 日上午 1000-1200）一 （本题满分 50 分）如图，在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F，满足BAE= CAF，作FMAB，FNAC（M、N 是垂足） ，延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D证明：四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等二 （本题满分 50 分）设数列a n和b n
6、满足，且AB CDE FMN-2 -1 1 221-1-2OBACD3,210 478361nban证明 a n（n=0，1，2，）是完全平方数三 （本题满分 50 分）有 n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意 n2 个人之间通电话的次数相等，都是 3 k 次，其中 k 是自然数，求 n 的所有可能值2000 年全国高中数学联合竞赛试题答案1. 答案：D 由 得 x=2，故 A=2；由 得 ，故2x xx10202B=-1，2.所以 =.BA2 答案：D 由 ， 得0sincosZkk,2,从而有 3Zkk,32,6又因为 ，所以又有 cosin Zk,452,如上图所示
7、，是、同时成立的公共部分为.32,4kkk,6523答案：C 如图所示，设 BD=t，则 OD= t-1，从而 B（ t-1，t）33满足方程 ，可以得到 t= ,所以等边三角形，12yx3ABC 的面积是 .34 答案： A由题意知pq=a2，2b=p+c,2c=q+b ， bc= 32qpb32qc3qp2=pq=a2 .3pq因为 pq，故 bc a2，方程的判别式 = 4a 2 -4bc0，因此，方程无实数根.5 答案：B 设整点坐标 (m,n)，则它到直线 25x-15y+12=0 的距离为22)15(nmd341)(nm由于 m,nZ，故 5(5m-3n)是 5 的倍数，只有当 m
8、=n=-1，时 5(5m-3n)=-10 与 12 的和的绝对值最小，其值为 2，从而所求的最小值为 .856 答案： B 由 知，sin5co102sinco， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10(=1)是 1 的 10 个 10 次方根.从而有(x-)(x- 2)(x- 3)(x- 4)(x- 5)(x- 6)(x- 7)(x- 8)(x- 9)(x- 10)=x10-1由因 2， 4， 6， 8， 10 是 1 的 5 个 5 次方根，从而有(x- 2)(x- 4)(x- 6)(x- 8)(x- 10)=x5-1 得 (x-)(x- 3)(x- 5)(x- 7)(x-
9、9)=x5+1 的两边同除以(x- 5)=x+1，得(x-)(x- 3) (x- 7)(x- 9)= x4-x3+x2-x+1.所以 ， 3， 7， 9 为根的方程是 x4-x3+x2-x+1=0.二、填空题（满分 54 分，每小题 9 分）7 答案：-20sin2000=sin(5360+200)=sin200=-sin20故 rcsin(sin2000)= rcsin(-sin20)= - rcsin(sin20)= -20aaa8答案：18由二项式定理知， ，因此23nnCnn18)1(23= =18.nnaa32lim 18li9答案： 1=3logl4824aq 3logl42841
10、10答案：90 如图所示，由 c2+ac-5ac-5 5a5-5bO ABcF10a2=0，=022cosbacABF则ABF=90.11 答案： 324解 如图，设球心为 O，半径为 r,体积为 V，面 BCD 的中心为 O1，棱 BC 的中心点为 E，则 AO1= = = ,21Ba23a6由 OB =O1O +O1B = +O1B 得2221OB+ 故 OB=23a6,032a,46a于是 r = OE = = =2BE2183.V= r = = .342216a3412答案：28 中恰有 2 个不中数字时，能组成 C = 6 个不中数字 bcd24中恰有 3 个不中数字时，能组成 C
11、+ =12+4=16 个不中数字abcd13212中恰有 4 个不中数字时，能组成 P =6 个不中数字所以，符合要求的数字共有 6+16+6=28 个13答案： 501解 由已知，对任何 n N, 有 f (n)= =132NnS23n= = 又因 n+ +34 +34=50,6432nn64316464.故对任何 n N, 有 f (n)= 由于 f(8)= ,故 f(n)的最大值为4501501501ABCD0E OH114答案：所求区间为1,3或-2- .1743解 化三种情况讨论区间a,b.(1) 若 0 ab, 则 f (x)在 a, b 上单调递减，故 f(a) =2b, f(b
12、)=2a 于是有，解之得 a, b = 1, 3 , 21322ab(2)若 a 0 b, f (x)在 a, b 上单调递增，在 0,b 上单调递减，,因此 f (x)在 x=0 处取最大值 2b 在 x=a 或 x=b 处取最小值2a.故 2b= ,b= .由于 a0, 4又 f(b)=- ( ) + =213029故 f(x)在 x=a 处取最小值 2a,即 2a= + ,21a3解得 a=-2- ;于是得 a,b=-2- , .1774(2) 当 ab 0 时，f(x)在a,b 上单调递增，故 f(a)=2a, f(b)=2b,即 2a=- + ,2b=- + .2a32a13由于方程
13、 x +2x- =0 的两根异号，故满足 a b 0 的区间不存在 .1综上所述，所求区间为1,3或-2- .17415 答案：所求条件为 + =1.2ab证明：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心.假设论成立,则对点( a, 0 ), 有 ( a, 0 )为项点的菱形与 C1 内接,与Co 外切. ( a, 0 )的相对顶点为( - a, 0 ),由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在 y 轴上,为(0, b) 和 (0, -b) .菱形一条边的方程为 + =1,即 bx+ay=ab.由于菱形与 CO 外切,axb故必有 =1,整理得 + =1. 必要性得证.22
14、1ab充分性:设 + =1,P 是 C1上任意一点,过 P、O 作 C1 的弦1abPR，再过 O 作与 PR 垂直的弦 QS，则 PQRS 为与 C1 内接菱形.设 OP = r1, OQ =r2, 则点 O 的坐标为(r 1cos , r1sin ),点-2 22-2O PRQS15-2 22-2OPRQSM15CBAFDNMEQ 的坐标为(r 2cos( + ),r2sin( + ),代入椭圆方程,得+ =1, + =1,21cosar21inbr2)cos(ar2)sin(br于是, + = =( )+ + 2OPQ21R2sic2)(cosa2)(sinb= + =1. 21ab又在
15、 RtPOQ 中，设点 O 到 PQ 的距离为 h，则 = + =1,故得 h=112OPQ同理，点 O 到 QR，RS，SP 的距离也为 1，故菱形 PQRS 与 C0 外切.充分性得证.注对于给出 ， =1 等条件者，应同样给分 .22ba22000 年全国高中数学联合竞赛试卷答案加试一、证明：连结 MN、BD，FM AB，FNAC，A，M，F ，N 四点共圆.AMN=AFN ,AMN+BAE=AFN+CAF=90，即 MNAD. S AMDN= ADMN21CAF=DAB，ACF=ADB ，AFC ABC ABAC=ADAF . ADCBF又 AF 是过 A、 M、F、N 四点的圆的直经
16、， =AF AF sinBAC=MN.Csin ABACsinBAC21abcS= ADAFsinBAC= ADM N=SAMDN二证法一 ：由假设得 a1=4, b1=4 且当 n 1 时（2a n+1-1）+ =(14an+12bn-7)+ (8an+7bn-4)3n3=(2an-1)+ (7+4 )依次类推可得（2a n-1）+ = (7+ (2a1 -1+ )=(7+4nb3)4n13bn)同理（2a n-1+ ）- =(7+4从而 an= (7+4 + (7+4 + .41n)4n)2由于 7 4 =（2 ，32所以 an = (2+ + (2- )n)132n由二项式展开得 c n
17、 = (2+ + (2- ) = ,nnknC20k3n2显然 Cn 为整数，于是 an 为完全平方数.证法二 ：由已知得 an+1=7an+6bn-3=7an+6(8an-1+7bn-1-4)-3=7an+48an-1+42bn-1-27 ,由 an=7an-1+6bn-1-3 ,得 42bn-1=7an-49an-1+21 ,从而 an+1=7an+48an-1+7an-49an-1+21-27=14an-an-1-6 .也就是 an+1=14an-an-1-6 .设(a n+1-kan+t)=p(an-kan-1+t) 则有 6)1(4ptk解得 或32472t 3247tpk分别代入，
18、根据数列 an+1-kan+t 是以 a1-ka0+t 为首项、p 为公比的等比数列，整理得nnnna 21 )3()347(2)3()347( a2-，整理得231321nnna由二项式展开得 c n = (2+ + (2- ) = ,n)2nknC20k3n2显然 Cn 为整数，于是 an 为完全平方数.三解析：显然 n 5. 记 n 个人为 A1，A 2， AN ，设 A1 通话的次数为 m1, Ai 与 Aj 之间通话的数为 yij, l .则njim i +m j y i . j = - = c . （*）ns12k3其中 c 是常数 ，l .ji,根据（*）知， = 1 , l .
19、ji )()(sjsi msjiy.nji, l1jimn,设 mi =maxms ,1 ,m j = minms,1 s n. ,.则 m i +m j 1.若 m i +m j=1 ,则对于任意 s 1 s n ,ji都有(m i +ms-y I ,s)- (m j +ms-y I ,s)=1-(y I ,s y j ,s)=0 , 即 y I ,s y j ,s = 1故 y I ,s =1 , y j ,s = 0 . s 1 s n ,ji因此 mi n -2 , m j 1 . 于是 ，m i +m j n -3 2 .出现矛盾 ，故 m i +m j=0 ，即 ms(1 s n)
20、恒为常数 。根据 （*）知，y I ,j = 0 或 y I ,j = 1 。若 y I ,j = 0 ,则 ms=0 , 1 s n 。与已知条件矛盾 。因此 ，y I ,s =1 ms=n-1 , 1 s n . 所以n(n-1)-(2n-3)= , 即 (n-2)(n-3)=2 .21k3k3设 n-2=2 ,n-3= ,k1 k2 , 则 2 - =1 ，于是1k212（ -1）=1 ，得 =1 , -1=1 , 因此 k2=0 , k1=0 .2321221k这与 k 1 矛盾 .设 n-2= ， n-3=2 , ,k1 k2+1 , 则 -2 =1 , 于是23k13k2（ -2）= 1 ， 得 =1 ， -2=1 ，因此 k2=0 , k1=1 , n=5 .23k21k 21k此时，若 5 人中每两人之间都通话一次，则其中任意 3 个人之间通话的总次数为 次13综上所述，n=5 为 n 的所有可能值.
