M矩阵的性质、定理及证明一、M矩阵的概念定义1 设，且，称A为M矩阵。定义2 设，且，若为M矩阵，则称A为逆M矩阵。引理1 如果，且，A为M矩阵的充要条件是A可做三角分解，,其中L为下三角阵，R为上三角阵，L和R的主对角元都是正值。二、M矩阵的判定定理与证明定理1 若为M矩阵，则，其中下三角阵L和上三角阵R的主对角线元素为正，且其余元素为非正值。证明 若A为M阵，则当，；，。由引理1，A可做三角分解。设 ， 则，故。因，故；因故；因，故，从而；因，故。类似的有，（）。又因有及故相应有，。类似的有，（）。假设时有，（），当时，由于，故。又由于，故；类似的可得到，（）。证毕。定理2 设，的代数余子式为，如果则为M矩阵的充要条件。证明 必要性：如果为M矩阵，由于，故 。充分性：由于，且，就由定义1知为M矩阵，证毕。定义3 设有n阶矩阵，如果存在正向量X（即它的分量都是正值），使得成立，则称A为拟对角占优。引理2 设，满足，并且矩阵为拟对角占优，则A为M矩阵。定理
