3 泰勒展开式一、问题提出1.何谓泰勒展开式？有何意义？2.如何求泰勒展开式？3.泰勒展开式有哪些应用？二、主要事实1.带皮亚诺余项的泰勒展开式若在处有直至阶导数，那么有.其中，称之为在处的泰勒多项式.注（i）（背景介绍）泰勒展开式（也称泰勒公式）最早以泰勒级数的形式出现在泰勒（Taylor,1685-1731,英）在1715年出版的著作增量及其逆中，泰勒没有给予证明. 现在的形式及其严格的证明是由柯西在十九世纪初才给出. 泰勒公式的特殊情形即时的泰勒公式称为马克劳林（Maclaurin,1698-1746，英）公式.（ii）带皮亚诺（Peano,1858-1932，意）余项的泰勒展开式的实质是局部增量公式的深化. 即把局部地用“线性函数替代”改作“用多项式替代”，将产生一个高阶无穷小. 值得注意的事项是既使存在多项式使得，也未必能保证泰勒多项式存在.例如考虑函数（其中是狄利克雷函数）即可.（iii）带皮亚诺余项的泰勒公式仅是一个定性估计式，但它在近似计算尤其是计算一些比较复杂的极限非常有效
