方向导数与梯度在工程和生活中的应用(共5页).docx

姓名：张江帆 学号：201311217方向导数与梯度在工程和生活中的应用一、方向导数1概念设是平面上以为始点的一条射线是与同方向的单位向量射线的参数方程为 设函数在点的某个邻域内有定义，为上另一点，且,到的距离 若当沿着趋于即时的极限存在，则称此极限为函数在点沿方向的方向导数记作 即有定义可知是在点沿方向的变化率若在点偏导数存在则 又若则 但反之 若 存在则不一定存在如在点处沿方向的方向导数，而偏导数不存在2方向导数的存在性及其计算方法 函数具备什么条件才能保证在点沿任一方向的方向导数存在？它和该点偏导数又有什么关系？有如下定理定理若在点可微分，则函数在该点沿任一方向的方向导数存在且有其中是方向的方向余弦证在点可微分点在以 为始点的射线上时应有 ， ，所以这就证明了方向导数存在，且其值为 同样可以证明在点可微分，则函数在该点沿着方向的方向导数二、梯度1二元函数梯度定义设在区域