1、均值不等式求最值策略应用平均值不等式求最值时，要把握平均值不等式成立的三个条件“一正二定三相等” 。忽略了任何一个条件，就会导致解题失败，若出现问题，又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求最值呢？本文提出一些思路。1. 调整符号，化负为正，使之适合“一正”条件，过第一关例 1. 已知 ，求函数 的最值。45x541xy解：因为所以 05x故 4所以 41xy045)(24x当且仅当 ，即 或 时，等号成立，但 不合条件，舍x743x457去，故当 时，43x0may2. 拆添配凑，变动为定，使之适合“二定”条件，过第二关利用均值不等式求最值，变形构造出“定值”是难点，其方法如下：（1）变形法例 2.
2、求函数 的最小值。)(12Rxy解：因为 Rx所以 02故 11)(222 xxy212x当且仅当 ，即 时，22 0x2miny（2）配凑法例 3. 已知 ，求函数 的最小值。3x38xy解：因为则有 03862x，所以 6382xy14638)(2x当且仅当 ，即 时，5x14miny3. 分离常数（1）拆项法例 4. 当 时，求 的最小值。1x132xy解：因为所以 0所以 15)()(2xy521)(5x当且仅当 ，即 取等号5)1(2x1x另一解 （舍去）所以 miny（2）倒数法例 5. 若 ，求函数 的最大值。0x12xy解：因为 3112xxy所以 30故 1maxy（3）平方
3、法例 6. 已知 ，求函数 的最大值。251xxxy2512解： )(2y84)23(451x由于 所以0yy当且仅当 时取等号，所以2513，x 2maxy4. 化归转化，寻求相等，过第三关例 7. 设 ，求 的最小值。0x)1(2xy解：因为231231)(xxy当且仅当 ，即 时取等号1所以 32miny点评：若 与 分别利用平均值不等式，再相乘求最值，问题出现在：前后取x1等条件不一致。例 8. 已知 ，且 ，求 的最小值。Rba， 1ba)1(bay解：因为 ，且，所以 )(1bay425)231(4)1(22baabbab5. “三关”难过，前进受阻，应另辟蹊径（1）利用代数、三角
4、换元例 9. 若 a，b 为正实数，且 ，求 的最小值。1ba)1(bay解：因为 ，且0，所以可设 )20(cossin22 ， ba则 )1)(i1(22y9cottan451)(2t)t )cosinsicon222当且仅当 ，即 时取等号，这时 ，满足4tan2， 21ba，所以1baminy（2）引入参数，巧渡难关例 10. 已知 ，且 ，求 Pxy 的最小值。Ryx， 19yx解：设 ，由已知有00)(所以 19yxyxP892)()(yx欲取等号，当且仅当 时，有yx9， 3yx，代入 中 ，此时19yx6168所以 minP说明：请读者用三角换元解此题，可令 )20(sin9cos22 ， yx（3）利用函数单调性例 11. 求 的最小值。)(452Rxy解：设 则 )2(1452xy易知 )(f在 上单调递增，所以 时，2， 2521)(minff此时 42x即 时，05miny
