“对数平均数不等式”应用举隅(共5页).doc

“对数平均数不等式”应用举隅江苏省姜堰中学 张圣官（225500）已知为两不等的正实数，我们称为的“对数平均数”它与的“几何平均数”及“算术平均数”之间有如下不等关系：证明：不妨设先证，即证， 令，设， 则，所以在递减，而，因此当时，恒成立，即成立 再证，即证， 令， 则，所以在递增，而，因此当时，恒成立，即成立 该不等式本身的证明乃通过构造函数，借助于导数作为工具，利用函数单调性而得在处理某些与指数、对数相关的不等式问题时，可以尝试应用它来帮助思考分析 例1 已知函数（1）当时，求过点的曲线的切线方程；（2）当存在两个不同零点时，求证： 分析：第（1）题易得切线方程为；第（2）题中我们先要探究：当存在两个不同零点时，需要具备什么条件，又能推得什么结论？转化为研究曲线和直线，当直线与曲线相切时，设切点为，则切线方程为，因此这样当存在两个不同零点时，必有进一步思考，要证明，可转化为证明，或等思路 方法