1、第 9 讲 对数与对数函数项目一 知识概要1 对数的概念如果 abN(a0 且 a1)，那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数，记作 blog aN，其中 a 叫作对数的底数，N 叫作真数2 对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果 a0 且 a1，M0 ，N0，那么log a(MN)log aMlog aN；log a log aMlog aN；MNlog aMnnlog aM (nR)；log amMn logaM.nm(2)对数的性质alog aNN ； log aaNN(a0 且 a1)(3)对数的重要公式换底公式：log bN (a，b0，a，b1，N0)；logaNlogab
2、log ab ，推广 logablogbclogcdlog ad.1logba3 对数函数的定义我们把函数 ylog ax(a0，a1)叫作对数函数，函数定义域为(0 ，)4对数函数的图像与性质a1 01 时，y0当 01 时，y0性质(6)是(0 ，) 上的增函数 (7)是(0， )上的减函数4 反函数指数函数 ya x与对数函数 ylog ax 互为反函数，它们的图像关于直线 yx 对称项目二 例题精讲任务一 对数式的运算问题【例 1】 (1)若 xlog 43，则(2 x2 x )2 等于 ( )A. B. C. D.94 54 103 43(2)已知函数 f(x)Error!则 f(f
3、(1)f(log 3 )的值是 ( )12A5 B3 C1 D.72分析 (1)利用对数的定义将 xlog 43 化成 4x3；(2)利用分段函数的意义先求 f(1)，再求 f(f(1)；f(log3 )可利用对数恒等式进行计算12答案 (1)D (2)A解析 (1)由 xlog 43，得 4x3，即 2x ，2x ，333所以(2 x2 x )2( )2 .233 43(2)因为 f(1)log 210，所以 f(f(1)f(0)2.因为 log3 2log 49，(15) 35125532又 f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0 上是增函数，故 f(x)在0，)上是单调递减的，f(
4、0.2 0.6 ) bc Ba bc BbacCacb Dca b分析 (1)利用幂函数 yx 0.5 和对数函数 ylog 0.3x 的单调性， 结合中间值比较 a，b，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较 log23.4、log43.6、log 30.3log 3 的大小即可，可以利103用中间值或数形结合进行比较；解析 (1)根据幂函数 yx 0.5 的单调性，可得 0.30.5log0.30.31，即 c1.所以 blog3 log43.6.103方法二 log 3 log331，且 1，103log 43.6log3 log43.6.103由于 y5 x为增函数，5 5 5
5、.4.3log2310l6log4即 5 ( ) 5 ，故 acb.4.3log215 3.0log6.log4答案 (1)C (2)C 评注 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选 0 或 1.任务四 对数函数的综合应用问题【例 4】已知函数 f(x)log a(3ax)(1)当 x0,2 时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1
6、,2上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由分析 f(x) 恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数 a 来解决；探究 a 是否存在，可从单调性入手解析 (1)a0 且 a1，设 t(x)3ax，则 t(x)3ax 为减函数，x0,2时，t( x)最小值为 32a，当 x0,2时，f(x )恒有意义，即 x0,2时，3ax 0 恒成立32a0.a0 且 a1，a(0,1) .(1，32)(2)t(x)3ax，a0 ，函数 t(x)为减函数，f(x)在区间1,2上为减函数，ylog at 为增函数，a1，x1,2时，t(x )最小值为 32a， f(x)最大
7、值为 f(1)log a(3a)，Error!，即Error!，故不存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1,2 上为减函数，并且最大值为 1.评注 解决对数函数综合问题时，无 论是讨论函数的性质 ，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是 a(0,1)，还是 a(1， )；(2)确定函数的定义域，无 论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误项目三 感悟提高1 对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于 0 的，所以 对数函数 ylog ax 的定义域应为 x|x0对数函数的单调性和 a 的值
8、有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按 01 进行分类讨论2 比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2) 找中间量结合函数单调性3 多个对数函数 图像比较底数大小的问题，可通过图像与直线 y1 交点的横坐标进行判定4 在运算性质 logaMlog aM 中，要特别注意条件，在无 M0 的条件下应为logaM loga|M|(N ，且 为偶数)5 指数函数 ya x (a0，且 a1)与对数函数 ylog ax(a0，且 a1) 互为反函数， 应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别6 解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定 义域；(2)注意对
9、数底数的取值范围项目四 冲刺必练A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)一、选择题1 函数 y 的定义域是 ( )2 xlg xA x|0ln e，x 1.ylog 52 ， f(a)，则实数 a 的取值范围是 ( )A(1,0) (0,1) B(，1) (1， )C(1,0)(1，) D( ，1)(0,1)答案 C解析 f(a)f( a) Error!或Error!Error!或Error!a1 或10，且 a1，uax3 为增函数，若函数 f(x)为增函数，则 f(x)log au 必为增函数，因此 a1.又 yax 3 在1,3上恒为正，a30，即 a3，故选 D.6如果一个点是一个指数
10、函数和一个对数函数图像的交点，那么称这个点为“好点” 下列四个点 P1(1，1)，P 2(1，2)，P 3( ， )，P 4(2，2)中， “好点”的个数为 ( )12 12A1 B2 C3 D4答案 B解析 设指数函数和对数函数分别为 ya x(a0，a1)，y log bx(b0，b1)若为“好点” ，则 P1(1，1) 在 ya x的图像上，得 a1，与 a 0 且 a1 矛盾；P 2(1，2)显然不在ylog bx 的图像上；P 3( ， )在 ya x，ylog bx 的图像上时 ，a ，b ，故为“好点” ；12 12 14 14同理易得 P4(2， 2)也为“好点 ”故选 B.二
11、、填空题7 计算(lg lg 25)100 _.14 21答案 20解析 (lg lg 25)100 (lg )10114 21110021020.8 已知函数 f(x)Error!则使函数 f(x)的图像位于直线 y1 上方的 x 的取值范围 是_答案 x| 12解析 当 x0 时，3 x1 1x10， 10 时，log 2x1x 2，x2.综上所述，x 的取 值范围为12.9 若 log2a 1 时，log 2a 0 ，1a 21.1a0 ，1a 21a，1 a21 aa 2a0，a 1，此时不合题意综上所述，a .(12，1)10已知 f(x) log2 为奇函数，则实数 a 的值为_
12、a x1 x答案 1解析 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)0，即 log2 log 2 0，所以 a x1 x a x1 x a x1 x1，所以 a2x 21x 2，得 a21，所以 a1( 舍去 a1)a x1 x三、解答题11 已知函数 f(x)log a(x 1)log a(1x)，a0 且 a1.(1)求 f(x)的定义域；(2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当 a1 时，求使 f(x)0 的 x 的解集解 (1)要使函数 f(x)有意义则Error!解得11 时，f(x )在定义域x|10 1，解得 00 的 x 的解集是x|00，且 a1) 的最大值是 1
13、，最小值是12 ，求 a 的值18解 由题意知 f(x) (logax 1)(logax2)12 (log x3log ax2) (logax )2 .12 2a 12 32 18当 f(x)取最小值 时，log ax .18 32又x2,8，a(0,1)f(x)是关于 logax 的二次函数，函数 f(x)的最大值必在 x2 或 x8 时取得若 (loga2 )2 1，则 a2 ，12 32 18 31此时 f(x)取得最小值时，x (2 )13 2,8，舍去2若 (loga8 )2 1，则 a ，12 32 18 12此时 f(x)取得最小值时，x ( ) 2 2,8 ，符合 题意，a .12 32 12B 组 专项能力提升(时间：20 分钟)1 设 f(x)lg 是奇函数，则使 f(x)| 1| 1| ，13 12f( )f( )f(2)12 13
