《实变函数》第四章习题解答(共15页).doc

第四章习题参考解答1设是上的可积函数，如果对于上的任意可测子集，有，试证：， 证明：因为，而，.由已知， .又因为，所以，.故,从而.即，.2.设，都是上的非负可测函数，并且对任意常数，都有，试证：，从而，.证明：我们证，是同一个简单函数序列的极限函数.及，令，并且.则是互不相交的可测集，并且，定义简单函数.下面证明：，.,若，则，所以，即；若，则可取正整数，时,.故，存在，.即，.所以，从而，.同理，定义简单函数列，其中：，.同上一样可证明：，.因为，有.故，.从而，有.即，.因此.3.若，计算.解：设为有理数，则.4.设是中个可测集，若内每一点至少属于个集中的个集，证明：中至少有一个测度不小于.证：令，其中为上的特征函数，有，所以.如果每个，则.这与矛盾.从而，使得.5.设，都是上的可积函数，试证明：也是上可积函数.证明：（1）先证：设与都是上的可测函数且